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15. Dezember 2023

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Spannungen

Legen Sie im Navigator fest, welche Spannungen an den Flächen dargestellt werden sollen. Die Tabelle listet die Spannungen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind.

Flächenspannungen im Navigator auswählen

Spannungen der Flächen in Tabelle

Die Flächenspannungen sind in folgende Kategorien unterteilt:

Grundspannungen: Spannungen in Richtung der Flächenachsen
Hauptspannungen: Spannungen in Richtung der Hauptachsen
Elastische Spannungskomponenten: Spannungen aus Momenten und aus Normalkräften
Vergleichsspannungen: Spannungen nach verschiedenen Vergleichsspannungshypothesen

Grundspannungen

Die Grundspannungen sind auf die Richtungen der lokalen Flächenachsen bezogen. Bei gekrümmten Flächen beziehen sie sich auf die lokalen Achsen der einzelnen finiten Elemente (siehe Bild FE-Achsensysteme anzeigen ).

Die Grundspannungen sind im Bild Flächenschnittgrößen und Flächenspannungen dargestellt. Sie bedeuten im Einzelnen:

σ_{x, +} = \frac{n_{x}}{d} + \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

d	Dicke der Fläche

Spannung σ_x,+ (in Richtung der lokalen x-Achse auf positiver Flächenseite)

σ_{y, +} = \frac{n_{y}}{d} + \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Spannung σ_y,+ (in Richtung der lokalen y-Achse auf positiver Flächenseite)

σ_{x, -} = \frac{n_{x}}{d} - \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

Spannung σ_x,- (in Richtung der x-Achse auf negativer Flächenseite)

σ_{y, -} = \frac{n_{y}}{d} - \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Spannung σ_y,- (in Richtung der y-Achse auf negativer Flächenseite)

τ_{x y, +} = \frac{n_{x y}}{d} + \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Drillspannung τ_xy,+ an positiver Flächenseite

τ_{x y, -} = \frac{n_{x y}}{d} - \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Drillspannung τ_xy,- an negativer Flächenseite

τ_{x z} = \frac{3 v_{x}}{2 d}

Schubspannung τ_xz rechtwinklig zur Fläche in Richtung der x-Achse

τ_{y z} = \frac{3 v_{y}}{2 d}

Schubspannung τ_yz rechtwinklig zur Fläche in Richtung der y-Achse

Hauptspannungen

Während sich die Grundspannungen auf das xyz-Koordinatensystem einer Fläche beziehen, stellen die Hauptspannungen die Extremwerte der Spannungen in einem Flächenelement dar. Die Hauptachsen 1 (Maximalwert) und 2 (Minimalwert) sind orthogonal angeordnet. Sie können die Hauptachsenrichtungen α grafisch als Trajektorien anzeigen (vergleiche Bild Trajektorien der Hauptachsen darstellen ).

Die Hauptspannungen werden wie folgt aus den Grundspannungen ermittelt:

σ_{1, +} = \frac{1}{2} [σ_{x, +} + σ_{y, +} + \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{x y, +}}^{2}}]

Spannung σ_1,+ in Richtung der Hauptachse 1 an positiver Flächenseite

σ_{2, +} = \frac{1}{2} [σ_{x, +} + σ_{y, +} - \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{x y, +}}^{2}}]

Spannung σ_2,+ in Richtung der Hauptachse 2 an positiver Flächenseite

α_{+} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, +}}{σ_{x, +} - σ_{y, +}}) \in (- 90 °, 90 °]

Winkel α₊ zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Spannungen an positiver Flächenseite

σ_{1, -} = \frac{1}{2} [σ_{x, -} + σ_{y, -} + \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{x y, -}}^{2}}]

Spannung σ_1,- in Richtung der Hauptachse 1 an negativer Flächenseite

σ_{2, -} = \frac{1}{2} [σ_{x, -} + σ_{y, -} - \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{x y, -}}^{2}}]

Spannung σ_2,- in Richtung der Hauptachse 2 an negativer Flächenseite

α_{-} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, -}}{σ_{x, -} - σ_{y, -}}) \in (- 90 °, 90 °]

Winkel α_- zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Spannungen an negativer Flächenseite

σ_{1, m} = \frac{1}{2} [σ_{x, m} + σ_{y, m} + \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{x y, m}}^{2}}]

Membranspannung σ_1,m in Richtung der Hauptachse 1

σ_{2, m} = \frac{1}{2} [σ_{x, m} + σ_{y, m} - \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{x y, m}}^{2}}]

Membranspannung σ_2,m in Richtung der Hauptachse 2

α_{m} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, m}}{σ_{x, m} - σ_{y, m}}) \in (- 90 °, 90 °]

Winkel α_m zwischen lokaler Achse x und Hauptachse 1 für Membranspannungen

τ_{\max} = \sqrt{{τ_{x z}}^{2} + {τ_{y z}}^{2}}

Maximale Schubspannung τ_max senkrecht zur Fläche

Weitere Spannungen / Elastische Spannungskomponenten

Diese Kategorie enthält die Spannungsanteile infolge der Biegemomente und Membrankräfte. Sie sind auf die Richtungen der lokalen Flächenachsen bezogen. Bei gekrümmten Flächen beziehen sie sich auf die Achsen der finiten Elemente.

Die Biege- und Membranspannungen bedeuten im Einzelnen:

σ_{x, b} = \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

d	Dicke der Fläche

Spannung σ_x,b infolge Biegemoment m_x

σ_{y, b} = \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Spannung σ_y,b infolge Biegemoment m_y

τ_{x y, b} = \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Spannung τ_xy,b infolge Drillmoment m_xy

σ_{x, m} = \frac{n_{x}}{d}

Membranspannung σ_x,m infolge Normalkraft n_x

σ_{y, m} = \frac{n_{y}}{d}

Membranspannung σ_y,m infolge Normalkraft n_y

τ_{x y, m} = \frac{n_{x y}}{d}

Spannung τ_xy,m infolge Schubfluss n_xy

Vergleichsspannungen

Die Grundspannungen werden nach vier Vergleichsspannungshypothesen für den ebenen Spannungszustand kombiniert.

Von Mises

Die Hypothese nach von Mises wird auch als "Gestaltänderungsenergiehypothese" bezeichnet. Sie basiert auf der Annahme, dass der Werkstoff versagt, wenn die Gestaltänderungsenergie eine bestimmte Grenze überschreitet. Die Gestaltänderungsenergie stellt diejenige Energie dar, die eine Verzerrung oder Deformation des Körpers hervorruft. Dieser Ansatz stellt die bekannteste und am häufigsten angewandte Vergleichsspannungshypothese dar. Sie eignet sich für alle Materialien, die nicht spröde sind. Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist somit der Stahlhochbau. Die Hypothese nach von Mises eignet sich nicht für hydrostatische Spannungszustände mit gleichen Hauptspannungen in alle Richtungen, da hier die Vergleichsspannung null ist.

Die Vergleichsspannungen nach von Mises für den ebenen Spannungszustand bedeuten:

σ_{v, Mises, Max} = \max (σ_{v, Mises, +}; σ_{v, Mises, -})

Größte Vergleichsspannung σ_v,Mises,Max an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Mises, +} = \sqrt{{σ_{x, +}}^{2} + {σ_{y, +}}^{2} - σ_{x, +} σ_{y, +} + 3 {τ_{x y, +}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Mises,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Mises, -} = \sqrt{{σ_{x, -}}^{2} + {σ_{y, -}}^{2} - σ_{x, -} σ_{y, -} + 3 {τ_{x y, -}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Mises,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Mises, m} = \sqrt{{σ_{x, m}}^{2} + {σ_{y, m}}^{2} - σ_{x, m} σ_{y, m} + 3 {τ_{x y, m}}^{2}}

Membran-Vergleichsspannung σ_v,Mises,m

Tresca

Die Hypothese nach Tresca ist auch als "Schubspannungshypothese" bekannt. Es wird davon ausgegangen, dass das Versagen durch die maximale Schubspannung hervorgerufen wird. Da sich diese Hypothese für spröde Werkstoffe eignet, wird sie oft im Maschinenbau angewandt.

Die Vergleichsspannungen nach Tresca werden wie folgt ermittelt:

σ_{v, Tresca, Max} = \max (σ_{v, Tresca, +}; σ_{v, Tresca, -})

Größte Vergleichsspannung σ_v,Tresca,Max an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Tresca, +} = \max (|σ_{1, +} - σ_{2, +}|; |σ_{2, +}|; |σ_{1, +}|) bzw .

σ_{v, Tresca, +} = \max (\sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}; |σ_{2, +}|; |σ_{1, +}|)

Vergleichsspannung σ_v,Tresca,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Tresca, -} = \max (|σ_{1, -} - σ_{2, -}|; |σ_{2, -}|; |σ_{1, -}|) bzw .

σ_{v, Tresca, -} = \max (\sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}; |σ_{2, -}|; |σ_{1, -}|)

Vergleichsspannung σ_v,Tresca,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Tresca, m} = \max (|σ_{1, m} - σ_{2, m}|; |σ_{2, m}|; |σ_{1, m}|) bzw .

σ_{v, Tresca, m} = \max (\sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}; |σ_{2, m}|; |σ_{1, m}|)

Membran-Vergleichsspannung σ_v,Tresca,m

Rankine

Die Vergleichsspannungshypothese nach Rankine wird auch als "Normalspannungshypothese" bezeichnet. Es wird davon ausgegangen, dass die größte Hauptspannung zum Versagen führt.

Die Vergleichsspannungen nach Rankine werden wie folgt ermittelt:

σ_{v, Rankine, Max} = \max (σ_{v, Rankine, +}; σ_{v, Rankine, -})

Größte Vergleichsspannung σ_{v,Rankine,Max} an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Rankine, +} = \frac{1}{2} |σ_{x, +} + σ_{y, +}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Rankine,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Rankine, -} = \frac{1}{2} |σ_{x, -} + σ_{y, -}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Rankine,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Rankine, m} = \frac{1}{2} |σ_{x, m} + σ_{y, m}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Rankine,m

Bach

Die Vergleichsspannungshypothese nach Bach wird auch als "Hauptdehnungshypothese" bezeichnet. Dabei wird davon ausgegangen, dass das Versagen in Richtung der größten Dehnung auftritt. Dieser Ansatz ähnelt der Spannungsermittlung nach Rankine. Anstelle der Hauptspannung wird hier jedoch die Hauptdehnung verwendet.

Die Vergleichsspannungen nach Bach werden wie folgt ermittelt:

σ_{v, Bach, Max} = \max (σ_{v, Bach, +}; σ_{v, Bach, -})

Größte Vergleichsspannung σ_v,Bach,Max an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Bach, +} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, +} + σ_{y, +}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}; ν |σ_{x, +} + σ_{y, +}|)

ν	Querdehnzahl

Vergleichsspannung σ_v,Bach,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Bach, -} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, -} + σ_{y, -}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}; ν |σ_{x, -} + σ_{y, -}|)

Vergleichsspannung σ_v,Bach,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Bach, m} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, m} + σ_{y, m}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}; ν |σ_{x, m} + σ_{y, m}|)

Membran-Vergleichsspannung σ_v,Bach,m

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