4.12 Orthotrope Flächen und Membranen

Bei orthotropen Flächen liegen unterschiedliche Steifigkeiten in Richtung der lokalen Flächenachsen x und y vor. Damit lassen sich z. B. Brettschichtholzträger oder Rippendecken modellieren. Orthotropieeigenschaften sind nicht nur für ebene Flächen, sondern auch für Quadrangelflächen möglich.

Die orthotropen Eigenschaften können über das Material (Materialorthotropie mit unveränderlicher Geometrie), die Geometrie (uneinheitliche Flächenform bei isotropem Material) oder in kombinierter Form definiert werden.

Die allgemeine Steifigkeitsmatrix einer orthotropen Fläche in RFEM ist wie folgt:

$\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_{xy}\\ v_x\\ v_y\\ n_x\\ n_y\\ n_{xy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}{D}_{11}& D_{12}& D_{13}& 0& 0& D_{16}& D_{17}& D_{18}\\ & D_{22}& D_{23}& 0& 0& D_{26}& D_{27}& D_{28}\\ & & D_{33}& 0& 0& D_{36}& D_{37}& D_{38}\\ & & & D_{44}& D_{45}& 0& 0& 0\\ & & & & D_{55}& 0& 0& 0\\ & & \text{sym.}& & & D_{66}& D_{67}& D_{68}\\ & & & & & & D_{77}& D_{78}\\ & & & & & & & D_{88}\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}{\kappa }_x\\ {\kappa }_y\\ {\kappa }_{xy}\\ {\gamma }_{xz}\\ {\gamma }_{yz}\\ {\epsilon }_x\\ {\epsilon }_y\\ {\gamma }_{xy}\end{array}\right]$

Orthotrope Flächen können nach Theorie I., II. oder III. Ordnung berechnet werden. Bei Matrizen mit reinen Membrankoeffizienten ist nur eine Analyse nach Theorie III. Ordnung möglich.

Eine Orthotropie wird nicht direkt eingegeben, sondern zunächst als Parameter bei der Flächendefinition gesetzt: Beim Neuanlegen der Fläche ist die Steifigkeit als Orthotrop oder Membran orthotrop festzulegen (siehe Kapitel 4.4). Damit werden die links dargestellten Schaltflächen [Parameter bearbeiten] im Dialog bzw. in der Tabelle zugänglich.

Der Dialog gliedert sich in mehrere Register, die vom gewählten Orthotropietyp abhängig sind.

Im Abschnitt Steifigkeitsbeiwerte können die Steifigkeiten entweder global mit dem Faktor k oder individuell für die Biege-, Torsions-, Schub- und Membransteifigkeitsanteile abgemindert werden (siehe Abschnitt Steifigkeitsbeiwerte).

Im Register Steifigkeitsmatrix werden jeweils die Elemente der Matrix ausgewiesen (siehe Bild 4.121).

Orthotrope Flächen können über Material- und Geometrieparameter oder auch direkt durch die Koeffizienten der lokalen Steifigkeitsmatrix definiert werden. Je nach Vorgabe ändern sich die Register des Dialogs.

Die Orthotropietypen werden auf den folgenden Seiten vorgestellt. Bei jeder Definitionsart ist die Äquivalente Dicke anzugeben, die zur Ermittlung des Eigengewichts angesetzt werden soll.

Es werden die im Dialog Materialmodell - Orthotrop definierten Orthotropieeigenschaften des Materials benutzt (siehe Bild 4.48). Dieser Typ eignet sich nur für homogene, gleich dicke Flächen, deren Material ausgeprägte Orthotropieeigenschaften aufweist.

Im Register Wirksame Dicke können unterschiedliche Dicken in Richtung x' und in Richtung y' definiert werden, um ungleiche Steifigkeitsverhältnisse abzubilden.

Das Eigengewicht wird nicht aus den Dicken dieses Dialogs ermittelt, sondern es wird die Flächendicke benutzt, die im Dialog Fläche bearbeiten bzw. in Tabelle 1.4 Flächen eingetragen ist.

Zur Kontrolle werden die Elastizitäts- und Schubmoduln des verwendeten Materials angezeigt (siehe Kapitel 4.3). Alternativ wäre es möglich, die Orthotropieeigenschaften über das Material zu steuern und gleiche Dicken für die Richtungen x' und y' anzusetzen.

Die Koeffizienten der lokalen Steifigkeitsmatrix können manuell festgelegt werden.

Die [Info]-Schaltfläche gibt Aufschluss über die Rolle der Koeffizienten in der Steifigkeitsmatrix.

Falls die Achsen der Orthotropie nicht mit den Achsen des Element-Koordinatensystems übereinstimmen, müssen die Matrizen transformiert werden (siehe [4], S. 305 - 313).

Falls sich bei der Kontrolle vor der Berechnung herausstellt, dass die Steifigkeitsmatrix nicht positiv definit ist, sind entsprechende Anpassungen der Koeffizienten erforderlich.

Damit lassen sich Verbindungen zwischen Flächen oder Stäben modellieren, die durch Kopplungselemente aus iso- oder orthotropem Material gegeben sind.

Im Dialogregister Kopplung sind die Parameter Kopplungsdicke d_p, Kopplungsabstand a und Koppelbreite b gemäß Schema anzugeben. Ein realistisches Kopplungsmodell liegt vor, wenn der Abstand a größer ist als die Breite b der gekoppelten Elemente.

Die effektive Dicke d* ermittelt sich gemäß folgender Gleichung:

$d^{*}=d_p\frac{b}{a}$

Die orthotropen Eigenschaften einer Rippendecke beruhen auf dem Prinzip einer einachsig gespannten Plattenbalkendecke. RFEM ermittelt die Steifigkeiten aus den Geometrieparametern Deckendicke d_p, Rippenhöhe d_r, Rippenabstand a und Rippenbreite b, die im Dialogregister Rippendecke gemäß Schema anzugeben sind.

Bitte beachten Sie, dass die Entwicklung von Rissen (z. B. Zustand II für Beton) bei der Ermittlung der Steifigkeiten nicht berücksichtigt wird. Es sind nur isotrope Materialien zulässig.

Dieser Deckentyp ist durch Stege charakterisiert, die sich orthogonal in einem gleichmäßigen Raster kreuzen und so die Decke kassettenartig gliedern. Die orthotropen Eigenschaften lassen sich wie bei einer Rippendecke (siehe oben) anhand der Geometrie beschreiben. Hierzu sind die Steifigkeitsparameter für zwei Richtungen anzugeben.

Im Dialogregister Kassettendecke sind die Parameter Deckendicke d_p sowie Rippenhöhe d_r Rippenabstand a und Rippenbreite b für die Richtungen x' und y' gemäß Schema anzugeben.

Die Möglichkeit, Trapezbleche als Flächen mit Orthotropieeigenschaften abzubilden, erleichtert die Modellierungsaufgabe erheblich. RFEM ermittelt die Steifigkeitskoeffizienten aus den Geometrieparametern des Profils. Dabei sind nur isotrope Materialien zulässig.

Im Dialogregister Trapezblech sind die Parameter Blechdicke t, Gesamtprofilhöhe h, Rippenabstand a, Sickenbreite oben b_t und Sickenbreite b_b gemäß Schema anzugeben.

Hohlkörper in einer Decke reduzieren das Eigengewicht, begünstigen jedoch ein orthotropes Tragverhalten. RFEM ermittelt die Steifigkeiten aus den Geometrieparametern Deckendicke d_p bzw. Profilhöhe h und obere/untere Plattendicke d_p, Hohlkörper- bzw. Rippenabstand a sowie Hohlkörperdurchmesser bzw. Rippenbreite b. Die Parameter sind im Dialogregister Hohlkörperdecke gemäß Schema anzugeben.

Wie bei den übrigen geometrischen Orthotropien (Wirksame Dicken, Trapezblech, Rippen- und Kassettendecke, Trägerrost) sind nur isotrope Materialien zulässig.

Ein Trägerrost kann nicht nur als Stabmodell, sondern auch als orthotrope Fläche abgebildet werden. Wie bei den übrigen geometrischen Orthotropien sind nur isotrope Materialien zulässig.

RFEM ermittelt die Steifigkeitskoeffizienten aus den Geometrieparametern Deckendicke d_p, Rippenabstand a_x' und a_y' sowie Rippenbreite b_x' und b_y', die im Dialogregister Trägerrost gemäß Schema anzugeben sind.

Die Orthotropierichtung ist auf die lokalen Achsen x und y der Fläche bezogen. Der Winkel β beschreibt die Drehung der x'-Achse zur lokalen x-Achse der Fläche. Er bewirkt, dass die Matrizen transformiert werden, die im Register Transformierte Steifigkeitsmatrix abrufbar sind.

Die Koordinatensysteme der Flächen können über den Zeigen-Navigator oder das Kontextmenü einer Fläche eingeblendet werden (siehe Bild 4.122).

Ein positiver Winkel β ist rechtsschraubig um die positive lokale z-Achse der Fläche definiert.

Die Steifigkeiten können global mit dem Faktor k oder individuell für die Biege-, Torsions-, Schub- und Membrananteile der Matrix (siehe Gleichung 4.20) abgemindert werden.

Alle Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix werden global mit einem Faktor multipliziert.

Über den Faktor k_b können die Koeffizienten D₁₁, D₁₂, D₂₂ und D₃₃ der Steifigkeitsmatrix angepasst werden, die die Biegeanteile repräsentieren. Es sind Faktoren zwischen 0 (keine Biegesteifigkeit) und 1 (volle Biegesteifigkeit) zulässig.

Das Eingabefeld k₃₃ steuert den Faktor für die Torsionssteifigkeit D₃₃ um die Achsen x' und y'. Die Bandbreite reicht dabei von 0 (keine Drillsteifigkeit) bis 1 (volle Drillsteifigkeit). Ein kleiner Wert empfiehlt sich z. B. bei Verbundkonstruktionen mit semisteifen Verbindungen.

Die Faktoren k₄₄ und k₅₅ beeinflussen die Koeffizienten D₄₄ und D₅₅ der Matrix (Schubanteile).

Über den Faktor k_m können die Koeffizienten D₆₆, D₇₇, D₆₇ und D₈₈ der Steifigkeitsmatrix angepasst werden, die die Normalkraftanteile repräsentieren. Es sind Faktoren zwischen 0 (keine Membransteifigkeit ) und 1 (volle Membransteifigkeit) zulässig.