8.34 Volumenkörper - Spannungen

Die grafische Anzeige der Volumenspannungen wird über den Eintrag Volumenkörper im Ergebnisse-Navigator gesteuert. Die Tabelle 4.34 stellt die Spannungen der Volumenkörper in numerischer Form dar.

Die Volumenspannungen werden nach Flächen geordnet ausgegeben. Die Auflistung erfolgt für die Rasterpunkte einer jeden Fläche.

Die Nummern der Rasterpunkte sind flächenweise aufgelistet. Nähere Informationen zu den Rasterpunkten finden Sie im Kapitel 8.13.

In den Tabellenspalten C bis E werden die Koordinaten der Rasterpunkte im globalen XYZ-Koordinatensystem angegeben.

Volumenspannungen lassen sich nicht wie Flächenspannungen mit einfachen Gleichungen beschreiben. Die Grundspannungen σ_x, σ_y und σ_z sowie die Schubspannungen τ_xy, τ_yz und τ_xz werden vom Rechenkern direkt ermittelt.

Wird ein Würfel mit den Kantenlängen d_x, d_y und d_z aus einem mehrachsig beanspruchten Körper herausgeschnitten, so können die Spannungen in jeder Würfelfläche in Normal- und Schubspannungen zerlegt werden. Unter Vernachlässigung der Raumkraft und auch der Spannungsunterschiede an parallelen Flächen lässt sich im lokalen Koordinatensystem des Würfels der Spannungszustand durch neun Spannungskomponenten beschreiben.

Die Matrix des Spannungstensors lautet:

$S=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

Aus den Eigenwerten des Tensors ergeben sich die Hauptspannungen σ₁, σ₂ und σ₃ gemäß folgender Formel:

Hauptspannungen:

$\text{det}(S-\sigma E)=0$

mit

E : 3x3-Einheitsmatrix

Die maximale Schubspannung τ_max wird nach dem Mohrschen Spannungskreis bestimmt:

Maximale Schubspannung:

${\tau }_{\text{max}}=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3)$

Über den Navigatoreintrag σ₁₂₃ lassen sich die Trajektorien der Hauptspannungen grafisch darstellen.

Die Vergleichsspannung σ_v nach von Mises lässt sich durch zwei gleichwertige Formeln ausdrücken:

Vergleichsspannung aus Hauptspannungen nach von Mises :

${\sigma }_v=\sqrt{\frac{1}{2}\left[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2\right]}$

Vergleichsspannung aus Grundspannungen nach von Mises:

${\sigma }_v=\sqrt{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+{\sigma }_z^2-{\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_x{\sigma }_z-{\sigma }_y{\sigma }_z+3({\tau }_{xy}^2+{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2)}$

Für die Ermittlung der Vergleichsspannung σ_v nach Tresca werden die Differenzen aus den Hauptspannungen untersucht, um daraus den Maximalwert zu bestimmen.

Ermittlung der Vergleichsspannung nach Tresca:

${\sigma }_v=\text{max}\left(\left|{\sigma }_1-{\sigma }_2\right|, \left|{\sigma }_2-{\sigma }_3\right|, \left|{\sigma }_3-{\sigma }_1\right|\right)$

Die Vergleichsspannung σ_v nach Rankine ermittelt sich aus den größten Absolutwerten der Hauptspannungen.

Ermittlung der Vergleichsspannung nach Rankine:

${\sigma }_v=\text{max}\left(\left|{\sigma }_1\right|, \left|{\sigma }_2\right|, \left|{\sigma }_3\right|\right)$

Zur Ermittlung der Vergleichsspannung σ_v nach Bach werden die Hauptspannungsdifferenzen unter Berücksichtigung der Querdehnzahl ν untersucht, um daraus den Maximalwert zu bestimmen.

Ermittlung der Vergleichsspannung nach Bach:

${\sigma }_v=\text{max}\left[\left|{\sigma }_1-\nu ({\sigma }_2+{\sigma }_3)\right|, \left|{\sigma }_2-\nu ({\sigma }_3+{\sigma }_1)\right|, \left|{\sigma }_3-\nu ({\sigma }_1+{\sigma }_2)\right|\right]$