4.12 Ortotropní plochy a membrány

Ortotropní plochy mají rozdílnou tuhost ve směru lokální osy x a y. Můžeme tak například modelovat nosníky z lepeného lamelového dřeva nebo žebrové stropy. Ortotropii lze použít nejen u rovinných ploch, ale také u zobecnělých čtyřúhelníků.

Ortotropní vlastnosti můžeme definovat při zadání materiálu (materiálová ortotropie s konstantní geometrií), při zadání geometrie (nejednotný tvar plochy u izotropního materiálu) nebo jako kombinaci obou možností.

Na následujícím obrázku je znázorněna obecná matice tuhosti ortotropní plochy v programu RFEM.

$\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_{xy}\\ v_x\\ v_y\\ n_x\\ n_y\\ n_{xy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}{D}_{11}& D_{12}& D_{13}& 0& 0& D_{16}& D_{17}& D_{18}\\ & D_{22}& D_{23}& 0& 0& D_{26}& D_{27}& D_{28}\\ & & D_{33}& 0& 0& D_{36}& D_{37}& D_{38}\\ & & & D_{44}& D_{45}& 0& 0& 0\\ & & & & D_{55}& 0& 0& 0\\ & & \text{sym.}& & & D_{66}& D_{67}& D_{68}\\ & & & & & & D_{77}& D_{78}\\ & & & & & & & D_{88}\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}{\kappa }_x\\ {\kappa }_y\\ {\kappa }_{xy}\\ {\gamma }_{xz}\\ {\gamma }_{yz}\\ {\epsilon }_x\\ {\epsilon }_y\\ {\gamma }_{xy}\end{array}\right]$

Ortotropní plochy lze počítat podle teorie I., II. nebo III. řádu. V případě matic s koeficienty čistě membránové tuhosti lze provést analýzu pouze podle teorie III. řádu.

Ortotropii nelze zadávat přímo, ale pouze jako parametr při zadávání plochy. Při vytváření nové plochy je třeba vybrat v sekci Typ plochy pro zadání tuhosti volbu ortotropní nebo ortotropní membrána (viz kapitola 4.4). Zpřístupní se tak tlačítko [Upravit parametry typu plochy…] v dialogu, popř. v tabulce.

Otevře se dialog, který obsahuje v závislosti na zvoleném typu ortotropie několik záložek.

V sekci Součinitele násobení tuhosti lze tuhost redukovat buď celkově součinitelem K nebo jednotlivě u složky tuhosti v ohybu, v kroucení, ve smyku nebo u složky membránové tuhosti (viz Součinitele násobení tuhosti).

V záložce Matice tuhosti se vždy zobrazí příslušné prvky matice (viz obr. 4.121).

Ortotropní plochy lze zadat tak, že definujeme příslušné parametry při zadání materiálu či geometrie, nebo můžeme také přímo definovat součinitele lokální matice tuhosti. Podle vybrané možnosti se pak zobrazí či naopak zmizí určité záložky v dialogu.

Jednotlivé typy ortotropie popíšeme na následujících stránkách. Ať už je způsob zadání jakýkoli, je nezbytné uvést ekvivalentní tloušťku, která se má uvažovat při výpočtu vlastní tíhy.

V programu se použijí vlastnosti materiálu, které uživatel zadal v dialogu Materiálový model - ortotropní (viz obr. 4.48). Tento typ je vhodný pouze pro homogenní plochy s rovnoměrnou tloušťkou z materiálu, který vykazuje zjevné ortotropní vlastnosti.

V záložce Účinná tloušťka můžeme zadat odlišnou tloušťku ve směru osy x' a y', což v důsledku vede k rozdílným hodnotám tuhosti.

Při výpočtu vlastní tíhy se nebudou uvažovat tloušťky zadané v tomto dialogu, ale zohlední se tloušťka plochy, kterou jsme uvedli v dialogu Upravit plochu, resp. v tabulce 1.4 Plochy.

Pro kontrolu se zobrazí moduly pružnosti a smykové moduly použitého materiálu (viz kapitola 4.3). Další možností je definovat ortotropní vlastnosti při zadání materiálu a pro směry x' a y' nastavit stejnou tloušťku.

Koeficienty lokální matice tuhosti lze stanovit také ručně.

Pomocí tlačítka [Informace o prvcích matice tuhosti] zobrazíme informace o úloze jednotlivých součinitelů v matici tuhosti.

Pokud se osy ortotropie neshodují s osami souřadného systému daného prvku, musí se matice transformovat (viz [4], str. 305 - 313).

Pokud se při kontrole před výpočtem ukáže, že matice tuhosti nebyla zadána v kladných hodnotách, je potřeba příslušné součinitele upravit.

Tato volba umožňuje modelovat spojení ploch nebo prutů spojovacími prvky z izotropního nebo ortotropního materiálu.

V záložce Spojení je třeba zadat tloušťku spojení d_p, vzdálenost mezi spojeními a a šířku spojení b podle uvedeného schématu. Realistického modelu spojení dosáhneme, pokud zadáme vzdálenost a větší, než je šířka b spojených prvků.

Účinná tloušťka d* se spočítá pomocí následující rovnice:

$d^{*}=d_p\frac{b}{a}$

Ortotropie žebrového stropu je založena na principu jednoose napjatého deskového nosníku. Tuhosti se v RFEMu spočítají na základě tloušťky desky d_p, výšky žebra d_r, vzdálenosti mezi žebry a a šířky žebra b, tyto geometrické parametry je třeba zadat v záložce Žebrovaná deska podle uvedeného schématu.

Je třeba upozornit na to, že rozvoj trhlin (např. stav II u železobetonových ploch) se při výpočtu tuhostí nezohledňuje. Přípustné jsou pouze izotropní materiály.

Tento typ stropu je charakterizován trámy v obou navzájem kolmých směrech, které se kříží v pravidelných vzdálenostech, a tak vznikají čtvercová nebo obdélníková pole. Ortotropní vlastnosti lze popsat stejně jako u žebrového stropu (viz výše) pomocí příslušných geometrických parametrů. V tomto případě je třeba zadat tuhostní charakteristiky ve dvou směrech.

V záložce Kazetová deska stanovíme tloušťku desky d_p a dále výšku žebra d_r, vzdálenost mezi žebry a a šířku žebra b vždy pro směr x' a y' podle uvedeného schématu.

Možnost modelovat trapézové plechy jako plochy s ortotropními vlastnostmi výrazně usnadňuje modelování konstrukce. RFEM stanoví součinitele tuhosti na základě geometrických parametrů profilu. Přípustné jsou pouze izotropní materiály.

V záložce Trapézový plech je třeba zadat tloušťku plechu t, celkovou výšku průřezu h, vzdálenost mezi žebry a, šířku horní pásnice b_t a šířku dolní pásnice b_b podle uvedeného schématu.

Dutinové stropní vložky snižují vlastní tíhu desky, přispívají ovšem k ortotropnímu chování. RFEM stanoví tuhosti na základě tloušťky desky d_p, resp. výšky průřezu h a šířky horní/dolní pásnice d_p, vzdálenosti dutého tělesa, resp. vzdálenosti mezi žebry a a dále průměru dutého tělesa, resp. šířky žebra b. Tyto parametry je třeba zadat v záložce Dutinová deska podle uvedeného schématu.

Stejně jako u ostatních typů geometrické ortotropie (účinná tloušťka, žebrovaná deska, trapézový plech, kazetová deska, rošt) jsou přípustné pouze izotropní materiály.

Rošt můžeme modelovat nejen jako prutovou konstrukci, nýbrž také jako ortotropní plochu. Stejně jako u ostatních typů geometrické ortotropie jsou přípustné pouze izotropní materiály.

RFEM stanoví součinitele tuhosti na základě tloušťky desky d_p, vzdálenosti mezi žebry a_x' a a_y' dále šířky žebra b_x' a b_y', tyto parametry se zadávají v záložce Rošt tohoto dialogu podle uvedeného schématu.

Směr ortotropie je vztažen k lokálním osám plochy x a y. Úhel β udává natočení osy x' okolo lokální osy x dané plochy. Na něm závisí, zda dojde k transformaci matic, příslušné údaje se zobrazí v záložce Transformovaná matice tuhosti.

Souřadné systémy ploch můžeme zobrazit zaškrtnutím příslušné položky v navigátoru Zobrazit nebo příkazem z místní nabídky plochy (viz obr. 4.122).

Kladný úhel β je definován jako pravotočivý okolo kladné lokální osy z dané plochy.

Tuhost lze redukovat buď celkově součinitelem k, nebo můžeme redukovat jednotlivé složky tuhosti v ohybu, v kroucení, ve smyku nebo složky membránové tuhosti (viz rovnice 4.20).

Všechny koeficienty matice tuhosti se vynásobí tímto součinitelem.

Součinitelem k_b lze upravit koeficienty D₁₁, D₁₂, D₂₂ a D₃₃, které v matici tuhosti představují složky ohybové tuhosti. Přípustná je hodnota součinitele v rozmezí 0 (žádná tuhost v ohybu ) a 1 (naprostá tuhost v ohybu).

V políčku k₃₃ se zadává součinitel pro tuhost v kroucení D₃₃ okolo osy x' a y'. Rozmezí přitom sahá od 0 (žádná tuhost v kroucení) do 1 (naprostá tuhost v kroucení). Menší hodnotu doporučujeme zadat např. v případě spřažených konstrukcí s polotuhými spoji.

Součiniteli k₄₄ a k₅₅ lze ovlivnit koeficienty D₄₄ a D₅₅ v matici tuhosti (složky smykové tuhosti).

Součinitelem k_m lze upravit koeficienty D₆₆, D₇₇, D₆₇ a D₈₈, které v matici tuhosti představují složky normálových sil. Přípustná je hodnota součinitele v rozmezí 0 (žádná membránová tuhost ) a 1 (naprostá membránová tuhost).