7.2.1 Základy konečných prvků v RFEMu

Základy konečných prvků v RFEMu

Pro prutové prvky se předpokládá zachování rovinnosti průřezu při deformaci prutu. Pro modelování nosníků, příhradových prutů, žeber, lan a tuhých spojení jsou použity 1D prutové prvky. 1D prutový prvek má celkem 12 stupňů volnosti, po 6 na počátku a na konci prvku. Jsou to posunutí (u_x, u_y, u_z) a pootočení (φ_x, φ_y, φ_z). Tah, tlak a kroucení jsou při lineárním výpočtu vyjádřeny jako lineární funkce osy x prutu nezávisle na ohybu a posouvající síle. Ty jsou pak přiblíženy polynomem 3. řádu v x včetně vlivu smykového namáhání v důsledku posouvajících sil V_y a V_z. Matice tuhosti K_L(12, 12) popisuje lineární chování 1D prvků. Vzájemná interakce mezi normálovou silou a ohybem v geometricky nelineárních úlohách je vyjádřena v matici tuhosti K_NL(12, 12). Více informací najdeme v publikacích [6] a [7], které jsou uvedeny v seznamu literatury na konci této příručky.

Pokud výpočet probíhá podle teorie III. řádu, doporučujeme pro přesný výpočet výsledků zahustit síť konečných prvků na liniích (viz kapitola 4.23).

Jako 2D prvky se zpravidla používají čtyřúhelníky. Tam, kde je to nutné, vytvoří generátor sítě trojúhelníkové prvky.

Stupně volnosti čtyřúhelníkových, resp. trojúhelníkových prvků jsou v uzlových bodech stejné jako u 1D prvků: stupně volnosti posunu (u_x, u_y, u_z) a stupně volnosti natočení (φ_x, φ_y, φ_z). Tím je zaručena kompatibilita mezi 1D a 2D prvky v uzlech. Parametry jsou definovány v tzv. planárním lokálním souřadném systému prvku a při sestavování globální matice tuhosti se přepočítají do globálního souřadného systému.

V případě rovinných skořepinových prvků se vychází z teorie Mindlina/Reissnera. Na obrázku 7.8 jsou znázorněny používané prvky. Pro přímé napojení na prutové prvky se použije kvadratický prvek v rovině skořepiny (u_x, u_y). Eliminací mezilehlých uzlů vznikne prvek o čtyřech uzlech s přidaným stupněm volnosti φ_x. To umožňuje přímé napojení stěnových prvků na nosníky. Při smíšené interpolaci příčných posunů, natočení průřezu a příčných smykových deformací se používají také prvky MITC4 (Mixed Interpolation of Tensorial Components) Batha a Dvorkina [8].

V současnosti se prutové prvky řeší přímo diferenciální rovnicí podle teorie II. řádu. Zohlednit kroutící účinky při postupu Saint Vénantovou metodou nelze.

Při výpočtu membránových účinků se vychází z Berganových principů (Bergan [9], [10], [11]). Základní funkce se např. u trojúhelníkových prvků rozloží do třech deformací tuhých těles, třech konstantních stavů protažení a třech zvláštních lineárních průběhů napětí/protažení. V jednom prvku je pole deformace kvadratické a pole napětí lineární. Matice tuhosti prvku K_L se následně přepočítá do devíti společných parametrů typu u_x, u_y, φ_z. Komponenty této matice se spolu s komponenty pro ohyb a smyk vloží do celkové matice tuhosti (18, 18). Tato matice odpovídá Lynn-Dhillonovým předpokladům. Poté je aplikováno řešení desek podle Mindlinovy teorie, tzn. desky s významným vlivem smyku se řeší podle Timošenka se zohledněním smykových deformací. RFEM umožňuje řešení jak silných, tak i tenkých (Navier) desek.

Při geometricky nelineárních úlohách není výše uvedené rozložení vztahu mezi napětím a deformací na rovinné řešení a smyk s ohybem možné. Vzájemný vztah mezi těmito stavy se zohledňuje v matici K_NL. V RFEMu se používá relativně jednoduchý, ale účinný tvar matice K_NL. Ten vychází z předpokladů podle Zienkiewicze [12]. Je použit kvadratický člen ε₂ Green-Lagrangeova tenzoru deformace ε = ε₁ + ε₂. Přitom se předpokládá lineární průběh u_z(x, y) pro rovinné napětí a lineární průběhy u_x(x, y) a u_y(x, y) při střídavém působení ohybu. Tento předpoklad lze použít, neboť účinek hlavní interakce závisí na 1. derivaci diferenciální rovnice a vliv členů vyššího řádu velmi rychle klesá při použití menších prvků. Správnost tohoto řešení byla dokázána numerickými testy.

V RFEMu se používají následující 3D prvky: čtyřstěn, pětistěn (hranol, jehlan) a šestistěn. Podrobný popis těchto prvků přesahuje rámec tohoto manuálu. Více informací můžeme najít v [13]. Tuto dokumentaci lze objednat u firmy Dlubal Software.

Obecně je nutné u těles považovat všechny rotační stupně volnosti za kritické. Protože se deformace tělesa stanovuje výlučně z vektorů posunu, potočení uzlu sítě KP např. z důvodu singulárně aplikovaného kroucení nemá vliv na deformaci v tělese.