7.2.1 Les éléments finis dans RFEM

Les éléments finis dans RFEM

Pour les éléments de barre, il est supposé que la section reste plane lors de la déformation. Les éléments de barre 1D sont utilisés pour représenter les poutres, treillis, nervures, câbles et couplages rigides. Un élément de barre 1D a au total 12 degrés de liberté : six en début et six en fin de l'élément. Ils sont relatifs aux déplacements (u_x, u_y, u_z) et rotations (φ_x, φ_y, φ_z). Lorsque vous calculez les données de structure linéairement, la traction, la compression et la torsion sont exprimées comme des fonctions linéaire de l'axe de barre x et indépendantes de la flexion et cisaillement. Elles sont approximées par un polynôme de 3^e degré de x comprenant l'influence des contraintes de cisaillement résultant des efforts tranchants V_y et V_z. La matrice de rigidité K_L(12, 12) décrit le comportement linéaire des éléments 1D. L'interaction mutuelle de l'effort normal fléchissant en cas de problèmes géométriquement non-linéaires est exprimée dans la matrice de rigidité K_NL(12, 12). Retrouvez plus d'informations dans [6] et [7].

Pour des calculs plus précis selon l'analyse des grandes déformations, nous recommandons d'utiliser un raffinement de maillage EF des lignes (voir le Chapitre 4.23).

Les éléments quadrangles sont habituellement utilisés comme des éléments 2D. Le générateur de maillage ajoute des éléments triangulaire là où ils sont nécessaires

Les degrés de liberté aux nœuds de coin des éléments quadrangles et triangulaires sont les mêmes comme pour les éléments 1D : degrés de liberté de déplacement (u_x, u_y, u_z) et de rotation (φ_x, φ_y, φ_z). Ainsi, la compatibilité d'éléments 1D et 2D dans les nœuds est garantie. Les paramètres sont définis dans le système de coordonnées local 2D des éléments et sont convertis dans le système de coordonnées global lors de la création de la matrice de rigidité globale.

Les éléments en coque 2D sont basés sur la théorie de Mindlin/Reissner. La Figure 7.8 montre les approches des éléments en représentations graphiques. Pour qu'un couplage direct soit assuré avec les éléments de barre, une approche carrée du plan de coque (u_x, u_y) est définie. Par l'élimination des nœuds intermédiaires, un élément à quatre nœuds est créé avec des degrés de liberté additionnels φ_x. Les éléments de voile peuvent être couplés avec des éléments de poutre. À partir des interpolations croisées des déformations transversales, des rotations de section ainsi que des déformations dues à l'effort tranchant, les éléments MITC4 (Mixed Interpolation of Tensorial Components) tels que présentés par Bathe et Dvorkin [8] sont également appliqués.

Les éléments de barre sont ici considérés par la résolution directe de l'équation différentielle selon l'analyse au second ordre. Considérer les effets de forage n'est pas possible avec la torsion de Saint-Venant.

L'analyse des membranes se base sur les principes de Bergan [9], [10], [11]. Par exemple, pour des éléments triangulaires, les fonctions de base sont divisées en trois déformations rigides, trois conditions de déformation constante et trois gradients linéaires spéciaux de contrainte et de déformation. Dans un élément, le champ de déformations est quadratique et le champ de contraintes est linéaire. La matrice de rigidité des éléments K_L est ensuite transformée en neuf paramètres collectifs des types u_x, u_y, φ_z. Les composants de cette matrice sont ensuite ajoutés à la matrice de rigidité générale (18, 18) avec les composants provoquant les effets fléchissants et de cisaillement. Cette matrice est le résultat du concept de Lynn-Dhillon. Puis, les plaques dites de Mindlin (plaques avec déformations dues au cisaillement) sont analysées selon Timoshenko. Ainsi, RFEM peut trouver la solution adéquate pour les plaques fines et épaisses (plaques Navier).

En cas de problèmes géométriquement non-linéaires, il est impossible de diviser la condition de contrainte-déformation en état 2D et en flexion avec cisaillement. Les influences de ces états sont considérées dans la matrice K_NL. RFEM utilise le type simple, mais efficace, de la matrice K_NL basé sur les approches de Zienkiewicz [12]. Le composant carré ε₂ de la déformation Green/Lagrange ε = ε₁ + ε₂ est appliqué. Une distribution linéaire de u_z(x, y) des conditions de contraintes 2D et des distributions linéaires de u_x(x, y) et u_y(x, y) de l'interaction avec la flexion sont supposés. Cette supposition est possible car l'effet principal de l'interaction dépend de la première dérivation de l'équation différentielle. De plus, l'influence des composants d'ordre plus élévé diminue rapidement avec la division en plusieurs éléments. L'exactitude de cette procédure a été prouvée dans plusieurs analyses numériques.

Pour appliquer les éléments de coque, l'épaisseur des éléments doit être considérablement inférieure à leur dimension. Si ce n'est pas le cas, nous recommandons de modéliser les objets comme solides. De plus, lorsque vous utilisez des éléments en coque, évitez d'introduire des contraintes de torsion de manière ponctuelle : Le degré de liberté en rotation autour de la surface normale réagit de manière très sensible.

Les éléments 3D suivants sont inclus dans RFEM : tétraèdre, pentaèdre (prisme, pyramide) et hexaèdre. Pour des informations détaillés à propos d'éléments et matrices, consultez [13]. La documentation associée peut être demandée à Dlubal Software.

En général, tous les degrés de liberté en rotation doivent être considérés comme critiques pour les solides. Puisque la déformation d'un solide est déterminée par les vecteurs de déplacement, la rotation d'un nœud de maillage, par exemple due à la torsion introduite comme singulière, n'affecte pas la déformation dans le solide.