2.5.1 Bemessungskonzept

Bemessungskonzept

Schalen stellen hinsichtlich ihrer Schnittgrößen eine Mischform aus Wänden (Kapitel 2.3) und Platten (Kapitel 2.4) dar, da sowohl Normalkräfte als auch Momente in ihnen wirken.

Für jede Bewehrungsrichtung auf jeder Flächenseite wird so eine Bemessungsnormalkraft und ein Bemessungsmoment ermittelt. Dabei kann eine der Schnittgrößen oder auch beide zu Null werden – falls die Suche nach der optimalen Richtung der Betondruckstrebe bei der Ermittlung der Bemessungsschnittgrößen ergibt, dass die Bewehrung in diese Richtung nicht aktiviert wird.

Sind die Bemessungsschnittgrößen für die jeweilige Bewehrungsrichtung bestimmt, gilt das Hauptaugenmerk jener Bewehrungsrichtung, für die Bemessungsmomente vorliegen. Für sie findet nun eine übliche eindimensionale Bemessung eines Balkens mit der Breite von einem Meter statt. Ziel dieser Bemessung ist jedoch nicht, eine erforderliche Bewehrung zu finden, sondern den Hebelarm der inneren Kräfte zu bestimmen.

Sobald in dieser Vorbemessung alle Hebelarme derjenigen Bemessungsrichtungen ermittelt sind, in denen ein Bemessungsmoment auftritt, wird der kleinste Hebelarm für jede Plattenseite bestimmt. Mit dieser Exzentrizität lassen sich nun die Momente der linearen Plattenstatik in Membrankräfte umwandeln. Dazu werden die Momente der linearen Plattenstatik einfach durch den kleinsten Hebelarm z_min geteilt.

Zählt man nun die halbe Normalkraft aus der linearen Plattenstatik dazu, die senkrecht auf dem Momentenvektor des durch den Hebelarm der inneren Kräfte geteilten Moments steht, erhält man die endgültige Membrankraft. Dieser Prozess lässt sich wie folgt ausdrücken:

$$\begin{gathered} n_{xs}=\frac{m_x}{z_{min}} + \frac{n_x}{2} \\ {n}_{ys }= \frac{m_y}{z_{min}} + \frac{n_y}{2} \\ {n}_{xys} = \frac{m_{xy}}{z_{min}} + \frac{n_{xy}}{2} \end{gathered}$$

Die Momente an Plattenoberseite und Plattenunterseite werden mit unterschiedlichen Vorzeichen berücksichtigt.

Sind die Momente m_x, m_y und m_xy und die Normalkräfte n_x, n_y und n_xy der linearen Plattenstatik mithilfe des Hebelarms z_min aus der Vorbemessung durch die Membrankräfte n_xs, n_ys und n_xys substituiert, können aus diesen Membrankräften die Hauptmembrankräfte n_Is und n_IIs für die Plattenoberseite und die Plattenunterseite bestimmt werden.

Aus den Hauptmembrankräften n_Is und n_IIs werden wie im Kapitel 2.3 beschrieben die Bemessungsmembrankräfte n_α, n_β und n_γ nach Gleichung 2.5 bis Gleichung 2.7 ermittelt. Diese Bemessungsmembrankräfte n_α, n_β und n_γ werden dann den Bewehrungsrichtungen φ₁, φ₂ und φ₃ zugeordnet. Man erhält so die Bemessungsmembrankräfte n₁, n₂ und n₃ in die Bewehrungsrichtungen.

Aus den Bemessungsmembrankräften lässt sich die erforderliche Stahlmenge bestimmen, indem diese durch die Stahlspannungen σ_s geteilt werden, die sich im Zuge der Ermittlung des minimalen Hebelarmes z_min in der jeweiligen Bewehrungsschar ergeben hat.

$$\begin{gathered} a_{s1} = \frac{n_1}{{\sigma }_s} \\ {a}_{s2} = \frac{n_2}{{\sigma }_s} \\ {a}_{s3} = \frac{n_3}{{\sigma }_s} \end{gathered}$$

Falls es sich bei der Bemessungsmembrankraft um eine Druckkraft handelt, wird zunächst mit der Betondruckzonenhöhe x, die sich bei der Ermittlung des Hebelarms ergeben hat, die aufnehmbare Normalkraft n_c des Betons bestimmt.

$n_c = f_{cd} · b · x$

Sollte die aufnehmbare Normalkraft n_c des Betons nicht ausreichend sein, wird für die Differenzkraft zwischen der einwirkenden Normalkraft und der aufnehmbaren Normalkraft eine Druckbewehrung ermittelt. Die Bemessungsspannung für diese Druckbewehrung ergibt sich aus der Verformung der Druckbewehrung bei der Bestimmung des Hebelarms z.

Wenn der Hebelarm unter der Annahme des Dehnungsbereichs III bestimmt wurde, wird keine Druckbewehrung ermittelt, da diese nicht vorausgesetzt wurde. Die Dehnungsbereiche I bis V sind im folgenden Kapitel bei der Bestimmung des Hebelarms beschrieben.