2.4.4.1 Querkrafttragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung

Querkrafttragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung

$V_{Rd,c} = \left[C_{Rd,c} · k · (100 · {\rho }_{1 }· f_{ck}{)}^{\frac{1}{3}} + k_{1 }· {\sigma }_{cp}\right] · b_w · d \text{(6.2a)}$

mit

Es darf folgender Mindestwert der Querkrafttragfähigkeit V_Rd,c angesetzt werden:

$V_{Rd,c} = ({\nu }_{min} + k_1 · {\sigma }_{cp}) · b_w · d \text{(6.2b)}$

mit

Diese Gleichungen sind in erster Linie für den eindimensionalen Bemessungsfall (Balken) gedacht. Dort gibt es nur eine vorhandene Längsbewehrung, aus der der Längsbewehrungsgrad ermittelt wird. Bei zweidimensionalen Bauteilen mit bis zu drei Bewehrungsscharen kann nicht so leicht gesagt werden, wie groß die anzusetzende Längsbewehrung ist.

In Maske 1.4 Bewehrung, Register Längsbewehrung stehen drei Möglichkeiten zur Auswahl, um die vorhandene Längsbewehrung für den Querkraftnachweis festzulegen.

Zunächst wird untersucht, welche der Bewehrungsrichtungen an beiden Plattenseiten nach der Bemessung einschließlich einer gemäß Abschnitt 6.2.3 (7) eingeleiteten Zugkraft gezogen sind. Gemäß EN 1992-1-1 darf der vorhandene Längsbewehrungsgrad nur aus der Fläche der vorhandenen Zugbewehrung bestimmt werden.

Um die Bewehrung aus den verschiedenen Bewehrungsrichtungen mit Zugkräften in Richtung β der maximalen Querkraft zu transformieren, wird die Richtung der maximalen Querkraft wie folgt bestimmt.

$\beta = arc\tan \frac{v_y}{v_x}$

Damit wird der Differenzwinkel δφ_i zwischen der jeweiligen Bewehrungsrichtung φ_i und der Richtung der maximalen Querkraft ermittelt.

$\delta {\phi }_i = \beta - {\phi }_{i }$

Mit dem Differenzwinkel δφ_i kann der Anteil a_sl,i einer bestimmten gezogenen Längsbewehrung a_s,i bestimmt werden.

$a_{sl,i} = a_{s,i} · {\cos }^2 \left(\delta \phi i\right)$

In Gleichung 2.22 ist dann die zur Ermittlung von V_Rd,c anzusetzende Zugbewehrung a_sl die Summe der Anteile aus den einzelnen Bewehrungsrichtungen, die Zug erhalten.

$a_{sl} = \underset{}{\sum a_{s,i} ·{\cos }^2 \left(\delta \phi i\right)}$

Bei der zweiten im Bild 2.40 dargestellten Möglichkeit wird die anzusetzende Zugbewehrung a_sl wie bereits beschrieben ermittelt. Zunächst wird überprüft, ob die erforderliche Längsbewehrung eine Zugkraft erhält. Die vorhandene Längsbewehrung a_sl wird dann nach Gleichung 2.26 und Gleichung 2.27 ermittelt.

Anschließend wird die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,c ohne Querkraftbewehrung bestimmt. Dabei kann sich herausstellen, dass der Querkraftnachweis ohne Querkraftbewehrung möglich ist. Ist die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,ct negativ oder nicht ausreichend, wird untersucht, ob für eine Bewehrungsrichtung die statisch erforderliche Längsbewehrung a_s,dim oder die benutzerdefinierte Grundbewehrung a_s,def die jeweils größere Bewehrung a_s,max darstellt.

Mit dieser größeren Bewehrung a_s,max wird dann die vorhandene Längsbewehrung a_sl wieder nach Gleichung 2.26 und Gleichung 2.27 ermittelt. Anschließend wird wiederum die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,c ohne Querkraftbewehrung bestimmt.

Zeigt sich, dass die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,c ohne Querkraftbewehrung mit der jeweils größeren aus statisch erforderlicher und benutzerdefinierter Längsbewehrung ausreichend ist, ist der Querkraftnachweis erfüllt. Bleibt trotz dieser Längsbewehrung der Querschnitt unbemessbar, weil er völlig gerissen ist, wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.

Falls sich trotz Ansatz der jeweils größeren aus statisch erforderlicher und benutzerdefinierter Längsbewehrung eine Querkraftbewehrung nicht vermeiden lässt, wird erneut die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,c mit der statisch erforderlichen Längsbewehrung bestimmt. Es wäre wenig sinnvoll, die benutzerdefinierte Längsbewehrung anzusetzen und damit später als erforderlich auszugeben, wenn sich durch sie ohnehin keine Querkraftbewehrung vermeiden lässt.

Die Querkraftbemessung umfasst den Nachweis der Querkrafttragfähigkeit V_Rd,max der Betondruckstrebe sowie der Querkrafttragfähigkeit V_Rd,s der Querkraftbewehrung sowie die Ermittlung der erforderlichen Querkraftbewehrung.

Bei der dritten im Bild 2.40 gezeigten Option wird Gleichung 2.22 für V_Rd,c nach dem Längsbewehrungsgrad ρ_l aufgelöst. V_Rd,c wird dabei mit der einwirkenden Querkraft V_Ed angesetzt.

${\rho }_l = \frac{{\left(\frac{V_{Ed} · {\gamma }_c}{d · b_w · 0.15 · \kappa · {\eta }_1} + \frac{0.12 · {\gamma }_c · {\sigma }_{cd}}{0.15 ·\kappa · {\eta }_1}\right)}^3}{100 · f_{ck}}$

Damit ist es möglich, mit einem entsprechend hohen Längsbewehrungsgrad auf eine Querkraftbewehrung zu verzichten.

RF-BETON Flächen überprüft zunächst wieder die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,c mit der statisch erforderlichen Längsbewehrung. Reicht diese erste Querkrafttragfähigkeit nicht aus, wird die Längsbewehrung a_sl in Richtung der Hauptquerkraftrichtung vergrößert. Die Längsbewehrung a_sl kann jedoch nicht beliebig gesteigert werden.

Folgendes Ablaufdiagramm zeigt, wann eine Querkraftbewehrung vermeidbar ist und wann eine Querkraftbewehrung mit der statisch erforderlichen Längsbewehrung aus der Bemessung vorzunehmen ist.

Die zwei Stränge links (V_Rd,c ≥ V_Ed, V_Rd,c < 0) zeigen die erfolgreiche Vermeidung von Querkraftbewehrung sowie die Eventualität, dass selbst bei Erhöhung der Längsbewehrung die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,c negativ bleibt und so für den vollkommen gerissenen Querschnitt kein Querkraftnachweis möglich ist.

Die übrigen vier Stränge (V_Rd,c < V_Ed, ρ > ρ_max, Keine Zugbewehrung, Zugbewehrung 90°) zeigen die Gründe, warum eine Erhöhung der Längsbewehrung nicht möglich ist. Es ist z. B. trotz maximalem Längsbewehrungsgrad eine Querkraftbewehrung unvermeidlich oder der zulässige Längsbewehrungsgrad in die einzelnen Bewehrungsrichtungen überschritten. Wenn die in Hauptquerkraftrichtung erhöhte Längsbewehrung a_sl auf die einzelnen Bewehrungsrichtungen verteilt wird, wird für jede dieser Bewehrungsrichtungen geprüft, ob der benutzerdefinierte Längsbewehrungsgrad eingehalten ist. Ist dies nicht der Fall, wird der Längsbewehrungsgrad ρ_l durch die Option Erforderliche Längsbewehrung benutzen ermittelt.

Zum Verständnis der beiden rechten Stränge muss erläutert werden, wie die in Richtung der Hauptquerkraft erhöhte Längsbewehrung auf die einzelnen Bewehrungsrichtungen verteilt wird. Ist der ermittelte Längsbewehrungsgrad ρ_l kleiner als 0.02, wird die erforderliche Längsbewehrung a_sl pro Meter wie folgt ermittelt.

$a_{sl} = {\rho }_1 · d$

Diese erforderliche Längsbewehrung wird nun auf jene Bewehrungsrichtungen aufgeteilt, die Zug erhalten. Dazu wird wieder die Winkelabweichung δφ_i zwischen der Richtung der maximalen Querkraft und der Bewehrungsrichtung mit Zug bestimmt.

$\delta {\phi }_i = \beta - {\phi }_i$

Von den Winkelabweichungen δφ_i wird nun die dritte Potenz des Kosinus gebildet und zur Summe ∑(cos³) zusammengefasst.

Der Anteil a_sl,i an der erforderlichen Längsbewehrung a_sl ergibt sich damit gemäß Gleichung 2.31.

$a_{sl,i} = a_{sl} · \frac{\cos \left(\delta {\phi }_i\right)}{{\displaystyle \underset{}{\sum {\cos }^3 \left(\delta {\phi }_i\right)}}}$

Diese anteilige erforderliche Längsbewehrung a_sl,i wird mit der Längsbewehrung verglichen, die bei der Bemessung ermittelt wurde. Die größere Bewehrung ist maßgebend.

In Gleichung 2.31 ist zu erkennen, dass der Nenner problematisch werden kann. Dies ist der Fall, wenn es keine Bewehrungsrichtungen gibt, die Zug erhalten (die Summe der 3. Potenzen der Winkelabweichungen wird nur mit den gezogenen Richtungen gebildet) oder weil es zwar gezogene Bewehrungsrichtungen gibt, die jedoch unter 90° zur Hauptquerkraftrichtung laufen und somit ihr Kosinus ebenfalls den Wert Null liefert. Diese Möglichkeiten sind in den beiden rechten Strängen des Ablaufplans dargestellt.

In allen Fällen, bei denen keine Lösung möglich ist, wird auf eine Erhöhung der Längsbewehrung verzichtet und die Option Erforderliche Längsbewehrung benutzen verwendet. Dabei ist die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,s mit Querkraftbewehrung zu bestimmen.