9.2.6.3 Zustand II

Zustand II

Die Querschnittswerte im Zustand II lassen sich im Gegensatz zu den Querschnittswerten im ungerissenen Zustand nur mühsam per Hand berechnen. Es bereitet bereits ein Problem, die Dehnungsverteilung (allgemeiner Fall: ε₀ + (1/r)_y ⋅ y + (1/r)_z ⋅ z) für eine bestimmte Einwirkungskonstellation mit den in den Normen festgelegten Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für nichtlineare Verfahren zu ermitteln. Für weitere Studien wird auf entsprechende Literatur [7] verwiesen.

Um die Spannungen und Dehnungen bei Rissbildung zu ermitteln, kann im Regelfall von vereinfachten Annahmen (linear elastischem Werkstoffgesetzen) ausgegangen werden. Zu begründen ist dies damit, dass sich das Verhältnis von Spannung zu Dehnung beim Beton bis zu einer Spannung σ_c ≅ 0.4 ⋅ f_c näherungsweise linear verhält. Für den Betonstahl kann dies ohnehin bis zum Erreichen der Fließgrenze annähernd vorausgesetzt werden. Liegt also ein Bauteil mit einem Rissmoment im Gebrauchslastniveau vor, können Spannungen und Dehnungen ausreichend genau mit diesen vereinfachten Ansätzen berechnet werden.

Ohne Wirken einer Normalkraft führt die Lösung bei dreieckförmiger Druckzone auf eine quadratische Gleichung (mit Normalkraft: kubische Gleichung) zur Berechnung der Druckzonenhöhe x. Durch die angenommene Linearität der Spannungen und Dehnungen ergibt sich eine Entkopplung der Druckzonenhöhe von dem angreifenden Moment.

$\rho = \frac{A_{s1}}{b · d} = \frac{6.22 {\mathrm{cm}}^2}{100 · 13.5 {\mathrm{cm}}^2} = 0.004607$

$$\begin{gathered} \xi = -{\alpha }_e · \rho · \left(1 + \frac{A_{s2}}{A_{s1}}\right) + \sqrt{{\alpha }_e · \rho · {\left(1 + \frac{A_{s2}}{A_{s1}}\right)}^{\text{'}\text{'}} + 2 · {\alpha }_e · \rho · \left(1 + \frac{A_{s2} · d_2}{A_{s1} · d}\right) } = \\ = - 26.33 · 0.004607 · \left(1 + 1\right) + \\ +\sqrt{{\left[26.33 · 0.004607 · \left(1 + 1\right)\right]}^{\text{'}\text{'}} + 2 · 26.33 · 0.004607 · \left(1 + \frac{1 · 2.5}{1 · 13.5}\right) } = \\ = 0.3459 \end{gathered}$$

$x_{II} = \xi · d = 0.346 · 13.5 = 4.67 {\mathrm{cm}}^4$

$$\begin{gathered} \kappa = 4 · {\xi }^3 + 12 · {\alpha }_e · \rho · {\left(1 - \xi \right)}^2 + 12 · {\alpha }_e ·\rho · \frac{A_{s2}}{A_{s1}} · {\left(\xi - \frac{d_2}{2}\right)}^2 = \\ = 4 · 0.{346}^3 + 12 · 26.33 · 0.00460 · {\left(1 - 0.346\right)}^2 + 12 · 26.33 · 0.00460 · 1 ·{\left(0.346 - \frac{2.5}{13.5}\right)}^2 = \\ = 0.826 \end{gathered}$$

$I_{c,II} = \kappa · b · \frac{d^3}{12} = 0.826 · 100 · \frac{13.5^3}{12} = 16 935 {\mathrm{cm}}^4$

${\sigma }_{cr,II} = \frac{M}{I_{y,II}} · x = \frac{1210}{16935} · 4.67 · 10 = 3.34 \mathrm{N}/{\mathrm{mm}}^2$

${\sigma }_{sr1,II} = {\alpha }_e · \frac{M}{I_{y,II}} · \left(d - x\right) = 26.33 · \frac{1210}{16935} · \left(13.5 - 4.7\right) · 10 = 166.12 \mathrm{N}/{\mathrm{mm}}^2$

${\sigma }_{sr2,II} = {\sigma }_{sr1,II} · \frac{x - d_2}{d - x} = 166.12 · \frac{4.67 - 2.5}{13.5 - 4.67} = 40.82 \mathrm{N}/{\mathrm{mm}}^2$

${\epsilon }_{sr1,II} = \frac{{\sigma }_{sr1,II}}{E_s} = \frac{166.012}{200 000} · 1 000 = 0.8306 \text{‰}$

Eine vereinfachte Berechnung der Spannungen und Dehnungen wie für das Rissmoment kann nicht bedenkenlos angewandt werden. Die Ermittlung der Spannungen und Dehnungen für das tatsächliche Moment M = 17.64 kNm, mit denen dann die Krümmungen und Steifigkeiten berechnet werden können, erfolgt in der Vergleichsrechnung mit den genauen Spannungs-Dehnungs-Linien für Beton und Betonstahl nach EN 1992-1-1, Bild 3.2 bzw. 3.3.

Die genaue Berechnung der Spannungen im Zustand II erfolgt mithilfe einer Drittanwendung zur genauen Spannungsintegration. Für M = 17.64 kNm liefert sie folgende Ergebnisse:

• σ_s1,II = 242.27 N/mm²

• σ_s2,II = −59.07 N/mm²

• ε_s1,II = 1.211 ‰

• ε_s2,II = −0.638 ‰
• ε_c,II = −0.6378 ‰