Modelo estrutural
Para o sistema apresentado na Figura 01, as barras de treliça deveriam ser analisadas quanto à encurvadura lateral. No plano da cobertura estão disponíveis seis treliças como vigas paralelas com um comprimento de 18 m e dois contraventamentos de reforço. As vigas nos lados da empena são suportadas por pilares e não são consideradas para o cálculo. Sobre as barras da treliça atua uma carga de cálculo qd de 10 kN/m.
Dados do modelo
18 | m | Comprimento da viga | |
B | 120 | mm | Largura da viga |
h | 1,200 | mm | Altura da viga |
GL24h | - | - | Material segundo a EN 14080 |
Iz | 172.800.000 | mm4 | momento de inércia |
IT | 647.654.753 | mm4 | Momento de inércia de torção |
qd | 10 | kN/m | carga de cálculo |
az | 600 | mm | Posição da carga |
e | 600 | mm | Posição da fundação |
Atenção: Mesmo que as seguintes equações para E e G não se refiram explicitamente aos 5%-no índice, estas foram tidas em consideração em conformidade.
Viga de vão único com restrição à flexão e torção sem apoios intermédios
Para completar, a treliça é analisada primeiro sem apoios laterais (ver Figura 02). O comprimento de barra equivalente resulta de uma aplicação de carga na parte superior da treliça com1 = 1,13 e2 = 1,44 como se segue:
lef |
Ersatzstablänge |
L |
Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung |
a1,a2 |
Kippbeiwerte |
az |
Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt |
E0,05 |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
G0,05 |
5 % Quantile des Schubmoduls |
Iz |
Trägheitsmoment um die schwache Achse |
IT |
Torsionsträgheitsmoment |
lef = 17,79 m
O momento fletor crítico pode então ser calculado da seguinte forma:
Mcrit |
Kritisches Biegemoment |
E0,05 |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
G0,05 |
5 % Quantile des Schubmoduls |
Iz |
Trägheitsmoment um die schwache Achse |
IT |
Torsionsträgheitsmoment |
lef |
Ersatzstablänge |
Mcrit = 134,52 kNm
Estes exemplos efetuam sem um aumento do produto dos percentis de 5% das propriedades de rigidez devido à homogeneização das vigas feitas de madeira laminada colada.
O momento fletor que atua nas treliças resulta da seguinte forma:
Md = 405,00 kNm
A análise de valores próprios com o módulo adicional RF‑/FE‑LTB fornece como resultado um fator de carga crítica de encurvadura de 0,3334. Isto resulta no momento fletor crítico
Mcrit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm
e é, por isso, idêntico ao resultado da solução analítica.
Como era de se esperar para esta treliça esbelta não apoiada, o momento fletor atuante é maior (por um fator de 3) do que o momento fletor crítico e a treliça não fica suficientemente restringida contra a encurvadura lateral. No entanto, deveria contraventar um contraventamento, o que agora é considerado para o cálculo.
Viga de vão único com restrição à flexão e torção com apoios intermédios rígidos
Se o contraventamento de reforço é suficientemente rígido, o espaçamento entre os apoios laterais (por exemplo, através de madres) é frequentemente utilizado como comprimento de barra equivalente para a verificação da encurvadura lateral. Este procedimento foi descrito no artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira. | Exemplos 1.
Assim, é utilizado 2,25 m como L. Para1 = 1,00 e2 = 0,00, segue-se o seguinte:
lef |
Ersatzstablänge |
L |
Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung |
a1,a2 |
Kippbeiwerte |
az |
Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt |
E0,05 |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
G0,05 |
5 % Quantile des Schubmoduls |
Iz |
Trägheitsmoment um die schwache Achse |
IT |
Torsionsträgheitsmoment |
lef = 2,25 m
Veja os seguintes resultados para o momento fletor crítico:
Mcrit |
Kritisches Biegemoment |
E0,05 |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
G0,05 |
5 % Quantile des Schubmoduls |
Iz |
Trägheitsmoment um die schwache Achse |
IT |
Torsionsträgheitsmoment |
lef |
Ersatzstablänge |
Mcrit = 1063,51 kNm
Uma vez que o momento fletor atuante na viga é menor do que o momento fletor crítico, a viga não é afetada pelo perigo de encurvadura lateral sob a hipótese de apoios intermédios rígidos.
A análise de valores próprios com o módulo adicional RF-/FE-LTB fornece como resultado um fator de carga crítica de encurvadura de 2,7815. Isto resulta no momento fletor crítico
Mcrit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1126,50 kNm
Viga de vão único com restrição em forquilha e torção e fundação elástica de barra
Como na encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Em teoria, a determinação dos comprimentos de barra equivalente é aumentada pelos fatores α e β para barras com fundações elásticas em {%>Assim, é possível considerar a rigidez ao corte de um contraventamento de reforço para a encurvadura lateral das barras em treliça. A rigidez de corte do contraventamento's pode ser determinada, por exemplo, de acordo com [2] Figura 6.34. Como se pode ver pelo exposto, depende do tipo de contraventamento, da rigidez das diagonais e dos postes, das inclinações das diagonais' e da ductilidade dos elementos de ligação. Para o contraventamento de reforço apresentado na Figura 01, a rigidez ao corte resulta em:
sid |
Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes |
ED |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
AD |
Querschnittsfläche der Diagonalen |
α |
Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte |
Aqui, ED é o módulo de elasticidade das diagonais' e AD é a sua área de secção. No entanto, a equação acima não inclui a ductilidade dos ligadores diagonais'. Isto e o alongamento da barra das diagonais podem ser considerados através de uma área de secção fictícia AD '. O que se segue é o seguinte:
sid |
Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes |
ED |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
AD' |
Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen |
α |
Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte |
Onde
AD' |
Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen |
AD |
Querschnittsfläche der Diagonalen |
ED |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
LD |
Länge der Diagonalen |
Kser |
Verschiebungsmodul der Verbindung |
As diagonais têm uma dimensão de l/a = 120/200 mm e um comprimento LD de 4,59 m. O módulo de deslizamento da ligação em cada lado das diagonais deve ser de 110 000 N/mm.
A área ideal é, em concordância,
AD ' = 12,548 mm²
e, assim, a rigidez ao corte de um contraventamento com um ângulo de 60,64 ° entre as diagonais em relação à corda é
sid |
Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes |
ED |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
AD' |
Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen |
α |
Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte |
sid = 44,864 kN
A fundação elástica de barras por contraventamento pode ser convertida de acordo com a Fórmula {%>
Ky' |
Elastische Stabbettung pro Verband |
sid |
Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes |
L |
Länge des Verbandes |
Para dois contraventamentos e seis treliças, dispõe da seguinte constante de mola por treliça:
Ky |
Elastische Stabbettung pro Binder |
Ky' |
Elastische Stabbettung pro Verband |
Ky = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²
Se KG = ∞, Kθ = 0, Ky = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a1 = 1,13 e a2 = 1,44, o comprimento de barra equivalente resulta em:
lef |
Ersatzstablänge |
L |
Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung |
a1,a2 |
Kippbeiwerte |
az |
Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt |
E0,05 |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
G0,05 |
5 % Quantile des Schubmoduls |
Iz |
Trägheitsmoment um die schwache Achse |
IT |
Torsionsträgheitsmoment |
α, β |
Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung |
lef = 0,13
Assim, o momento fletor crítico resulta num valor irrealista de:
Mcrit |
Kritisches Biegemoment |
E0,05 |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
G0,05 |
5 % Quantile des Schubmoduls |
Iz |
Trägheitsmoment um die schwache Achse |
IT |
Torsionsträgheitsmoment |
lef |
Ersatzstablänge |
Mcrit = 18 482,84 kNm
Seria de esperar um valor semelhante ao sistema com apoios intermédios rígidos. Como na encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Em teoria, a aplicação da fórmula prolongada com α e β é limitada na sua aplicação.
A rigor, isso só é válido se ocorrer uma deformação num grande arco sinusoidal. Por outras palavras, se a fundação for muito macia. Neste exemplo, isto já não é dado neste exemplo. As funções próprias de multi-onda, que conduzem a uma pequena carga de encurvadura crítica para uma constante de mola maior, não estão incluídas na equação acima mencionada, uma vez que se baseia em abordagens de secções monóminas.
Como pode ser observado na Figura 07, um vetor próprio de ondas múltiplas resulta da análise de valores próprios.
Neste caso, pode ser aplicado o método descrito pelo Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). O momento fletor crítico é calculado da seguinte forma:
Mcrit |
Kritisches Biegemoment |
az |
Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt |
e |
Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt |
Ky |
elastische Stabbettung pro Binder |
L |
Trägerlänge |
n |
n-te Eigenlösung |
E0,05 |
5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
Iz |
Trägheitsmoment um die schwache Achse |
G0,05 |
5 %-Quantile des Schubmoduls |
IT |
Torsionsträgheitsmoment |
A constante n designa a primeira, a segunda, a terceira etc. soluções próprias. Assim, têm de ser analisadas várias soluções próprias e o menor momento fletor crítico tem de ser determinante. Os seguintes momentos de flexão críticos são o resultado para n = 1...30.
n | Mcrit [kNm] | n | Mcrit[kNm] |
---|---|---|---|
1 | 9.523,25 | 16 | 2.214,63 |
2 | 4.281,26 | 17 | 2.339,17 |
3 | 2.294,32 | 18 | 2.464,92 |
4 | 1.605,56 | 19 | 2.591,63 |
5 | 1.354,68 | 20 | 2.719,14 |
6 | 1.282,70 | 21 | 2.847,30 |
7 | 1.294,12 | 22 | 2.976,00 |
8 | 1.348,81 | 23 | 3.105,16 |
9 | 1.428,05 | 24 | 3.234,71 |
10 | 1.522,29 | 25 | 3.364,60 |
11 | 1.626,24 | 26 | 3.494,77 |
12 | 1.736,77 | 27 | 3.625,20 |
13 | 1.851,94 | 28 | 3.755,84 |
14 | 1.970,50 | 29 | 3.886,67 |
15 | 2.091,60 | 30 | 4.017,68 |
Mcrit torna-se mínimo para n = 6 e é de cerca de 1282,70 kNm.
A solução de valores próprios do módulo adicional RF-/FE-LTB (ver Figura 07) resulta em:
Mcrit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1397,25 kNm
Ambos os resultados correspondem muito bem. No entanto, a solução analítica está do lado seguro, uma vez que este método é baseado numa distribuição constante do momento fletor. De seguida, é atribuída uma carga crítica qcrit ao momento de flexão crítico constante Mcrit.
Uma vez que a fundação de barras neste exemplo é considerada muito rígida e constantemente distribuída ao longo do comprimento da treliça, ocorrem momentos fletores críticos que são ligeiramente maiores do que para os apoios individuais rígidos.
De acordo com o {%>
Para kcrit = 0,195, H = 5 m e qp = 0,65 kN/m² como pressão da velocidade de rajada, resultam as seguintes cargas (ver [3] Capítulo 9.2.5.3):
Nd |
Stabilisierungskraft für den Druckgurt |
kcrit |
Kippbeiwert |
Md |
Bemessungsmoment |
h |
Trägerhöhe |
Nd = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN
qd |
Aussteifungslast |
n |
Anzahl der Binder |
L |
Trägerlänge |
kf,3 |
Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand |
qd = 2,76 kN/m
qd,Wind |
Bemessungslast aus Wind |
γQ |
Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung |
cpe |
Außendruckbeiwert |
qp |
Böengeschwindigkeitsdruck |
h |
Höhe des Gebäudes |
qd,vento = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5/2 = 2,44 kN/m
A deformação dos contraventamentos de reforço é apresentada na Figura 08. As cargas foram divididas em metade porque existem dois contraventamentos de reforço.
A deformação permitida é:
O resultado confirma a hipótese de um contraventamento muito rígido e é consistente com os momentos de flexão críticos quase idênticos do sistema com apoios intermédios rígidos e com a fundação elástica de barras.
Conclusão
Foram demonstradas as possibilidades na construção em madeira para a análise da encurvadura lateral de vigas em flexão. Para métodos comuns, é importante assegurar que os contraventamentos de reforço são suficientemente rígidos para aceitar apoios rígidos. Neste artigo, foram apresentadas opções para os casos em que esta suposição não se aplica. Basicamente, as vigas de flexão e os contraventamentos de reforço têm de ser dimensionados quanto à sua capacidade de carga e de utilização de acordo com a correspondente norma. No entanto, isso está além do âmbito deste artigo.
- Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Método de análise
- Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1
- Módulo adicional RF-FE-LTB para o RFEM 5
- Módulo adicional RF-STABILITY para o RFEM 5