Model konstrukce
U konstrukce znázorněné na obr. 01 posoudíme vazník na klopení. V rovině střechy se nachází šest vazníků jako rovnoběžných nosníků o délce 18 m se dvěma ztuženími. Nosníky na stranách štítu jsou podepřeny sloupy a při výpočtu se nezohlední. Na příhradové nosníky působí návrhové zatížení qd 10 kN/m.
Údaje o modelu
L | 18 | m | Délka nosníku |
b | 120 | mm | Šířka nosníku |
h | 1,200 | mm | Výška nosníku |
GL24h | - | - | Materiál podle EN 14080 |
Iz | 172.800.000 | mm4 | Moment setrvačnosti |
IT | 647.654.753 | mm4 | Moment tuhosti v prostém kroucení |
qd | 10 | kN/m | Návrhové zatížení |
az | 600 | mm | Poloha břemene |
e | 600 | mm | Poloha uložení |
Pozor: I když následující rovnice pro E a G výslovně v indexu neodkazují na hodnoty 5% kvantilu, zohlednili jsme je odpovídajícím způsobem.
Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlého podepření
Pro úplnost nejdříve analyzujeme příhradový nosník bez bočního podepření (viz obrázek 02). Délka náhradního prutu se stanoví při působení zatížení na horní stranu příhradového nosníku s a1 = 1,13 a a2 = 1,44 následovně:
lef | délka náhradního prutu |
L | délka nosníku, vzdálenost bočních podpor |
a1,a2 | součinitele klopení |
az | vzdálenost působiště zatížení od středu smyku |
E0,05 | 5 % kvantil modulu pružnosti |
G0,05 | 5 % kvantil smykového modulu |
Iz | moment setrvačnosti okolo vedlejší osy |
IT | moment setrvačnosti v kroucení |
lef = 17,79 m
Kritický ohybový moment lze pak spočítat následovně:
Mcrit | kritický ohybový moment |
E0,05 | 5 % kvantil modulu pružnosti |
G0,05 | 5 % kvantil smykového modulu |
Iz | moment setrvačnosti okolo vedlejší osy |
IT | moment setrvačnosti v kroucení |
lef | délka náhradního prutu |
Mcrit = 134,52 kNm
V našem příkladu nebudeme uvažovat zvýšení součinu 5% kvantilů tuhosti v důsledku homogenizace nosníků z lepeného lamelového dřeva.
Výsledný ohybový moment působící na příhradové nosníky je tak:
Md | návrhový moment |
qd | návrhové zatížení |
L | délka nosníku |
Md = 405,00 kNm
Výsledkem analýzy vlastních čísel v přídavném modulu RF-/FE-LTB je součinitel kritického zatížení 0,3334. Z toho plyne kritický ohybový moment
Mcrit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm
a shoduje se tedy s výsledkem analytického řešení.
Jak se u tohoto nepodepřeného štíhlého příhradového nosníku dalo očekávat, je působící ohybový moment větší (3krát) než kritický ohybový moment, a příhradový nosník tak není dostatečně zajištěn proti klopení. Proti tomu by však mělo působit ztužení, které nyní při výpočtu zohledníme.
Prostý nosník s vidlicovým uložením a tuhými mezilehlými podporami
Pokud je ztužení dostatečně tuhé, uvažuje se v praxi často jako náhradní délka prutu pro posouzení klopení vzdálenost bočních podpor (například vaznic). Tento postup byl popsán v předchozím příspěvku Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1.
Jako L se tedy uvažuje 2,25 m. V případě a1 = 1,00 a a2 = 0,00 platí:
lef | délka náhradního prutu |
L | délka nosníku, vzdálenost bočních podpor |
a1,a2 | součinitele klopení |
az | vzdálenost působiště zatížení od středu smyku |
E0,05 | 5 % kvantil modulu pružnosti |
G0,05 | 5 % kvantil smykového modulu |
Iz | moment setrvačnosti okolo vedlejší osy |
IT | moment setrvačnosti v kroucení |
lef = 2,25 m
Kritický ohybový moment je tak:
Mcrit | kritický ohybový moment |
E0,05 | 5 % kvantil modulu pružnosti |
G0,05 | 5 % kvantil smykového modulu |
Iz | moment setrvačnosti okolo vedlejší osy |
IT | moment setrvačnosti v kroucení |
lef | délka náhradního prutu |
Mcrit = 1 063,51 kNm
Vzhledem k tomu, že ohybový moment působící na nosník je menší než kritický ohybový moment, není nosník při uvažování tuhých mezilehlých podpor náchylný ke klopení.
Výsledkem analýzy vlastních čísel v přídavném modulu RF-/FE-LTB je součinitel kritického zatížení 2,7815. Z toho plyne kritický ohybový moment
Mcrit | kritický ohybový moment |
η | součinitel kritického zatížení |
Md | návrhový moment |
Mcrit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1 126,50 kNm
Prostý nosník s vidlicovým podepřením a pružným uložením prutu
Stejně jako při klopení u dřevěných konstrukcí | teorie se v [1] pro pruty s pružným uložením rozšíří stanovení délek náhradních prutů o součinitele α a β.
Lze tak zohlednit smykovou tuhost ztužení pro klopení příhradových nosníků. Smykovou tuhost ztužení lze stanovit například podle [2], obr. 6.34. Jak je zřejmé, závisí na typu ztužení, osové tuhosti diagonál a svislic, sklonu diagonál a poddajnosti spojovacích prostředků. V případě ztužení znázorněného na obr. 01 je smyková tuhost:
sid | ideální smyková tuhost ztužení |
ED | 5 % kvantil modulu pružnosti diagonál |
AD | průřezová plocha diagonál |
α | úhel mezi diagonálou a pásnicí |
Přitom ED je modul pružnosti diagonál a AD jejich průřezová plocha. Výše uvedená rovnice ovšem nezahrnuje poddajnost spojovacích prostředků diagonál. Lze ji spolu s protažením diagonál zohlednit fiktivní průřezovou plochou AD'. Z toho plyne:
sid | ideální smyková tuhost ztužení |
ED | 5 % kvantil modulu pružnosti diagonál |
AD' | fiktivní průřezová plocha diagonál |
α | úhel mezi diagonálou a pásnicí |
kde:
AD' | fiktivní průřezová plocha diagonál |
AD | průřezová plocha diagonál |
ED | 5 % kvantil modulu pružnosti diagonál |
LD | délka diagonál |
Kser | modul posunutí spoje |
Diagonály mají rozměr š/v = 120/200 mm a délku LD 4,59 m. Modul prokluzu spoje na každé straně diagonál by měl být 110 000 N/mm.
Ideální plocha tak činí
AD' = 12 548 mm²
a tedy tuhost ztužení ve smyku s úhlem diagonál k pásnici 60,64 °
sid | ideální smyková tuhost ztužení |
ED | 5 % kvantil modulu pružnosti diagonál |
AD' | fiktivní průřezová plocha diagonál |
α | úhel mezi diagonálou a pásnicí |
sid = 44 864 kN
Podloží prutu na ztužení lze přepočítat podle [2] vzorce 7.291 následovně:
Ky' | pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení |
sid | ideální smyková tuhost ztužení |
L | délka ztužení |
Pro dvě ztužení a šest příhradových nosníků lze u každého nosníku uvažovat následující konstantu tuhosti:
Ky | pružné uložení prutu na jednotlivé příhradové nosníky |
Ky' | pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení |
Ky = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²
Za předpokladu, že KG = ∞, Kθ = 0, Ky = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a1 = 1,13 a a2 = 1,44, je délka náhradního prutu:
lef | délka náhradního prutu |
L | délka nosníku, vzdálenost bočních podpor |
a1,a2 | součinitele klopení |
az | vzdálenost působiště zatížení od středu smyku |
E0,05 | 5 % kvantil modulu pružnosti |
G0,05 | 5 % kvantil smykového modulu |
Iz | moment setrvačnosti okolo vedlejší osy |
IT | moment setrvačnosti v kroucení |
α, β | součinitele pro zohlednění podloží prutu |
lef = 0,13
Kritický ohybový moment má tak ideální hodnotu:
Mcrit | kritický ohybový moment |
E0,05 | 5 % kvantil modulu pružnosti |
G0,05 | 5 % kvantil smykového modulu |
Iz | moment setrvačnosti okolo vedlejší osy |
IT | moment setrvačnosti v kroucení |
lef | délka náhradního prutu |
Mcrit = 18 482,84 kNm
Očekávat bychom mohli podobnou hodnotu jako u systému s tuhými mezilehlými podporami. Stejně jako při klopení u dřevěných konstrukcí | rozšířené rovnice s α a β je omezeno.
Přísně vzato tato rovnice platí pouze v případě, že dochází k podélnému zakřivení v jediném velkém sinusovém oblouku. To znamená, pokud je podloží velmi měkké. V našem příkladu se ovšem nejedná o tento případ. Vlastní funkce o několika vlnách, které vedou při větších konstantách tuhosti k minimálnímu kritickému zatížení, uvedená rovnice nepostihuje, protože je založena na jednoduchém sinusovém průběhu.
Jak vidíme na obr. 07, výsledkem analýzy vlastních čísel je vlastní tvar s několika vlnami.
V tomto případě lze použít odvozenou metodu Prof. Dr. Heinricha Kreuzingera (2020). Kritický ohybový moment se vypočítá následovně:
Mcrit | kritický ohybový moment |
az | vzdálenost působiště zatížení od středu smyku |
e | vzdálenost pružného uložení prutu od středu smyku |
Ky | pružné uložení prutu na jednotlivé vazníky |
L | délka nosníku |
n | n-té vlastní číslo |
E0,05 | 5 % kvantil modulu pružnosti |
Iz | moment setrvačnosti okolo vedlejší osy |
G0,05 | 5 % kvantil smykového modulu |
IT | moment setrvačnosti v kroucení |
Konstanta n označuje první, druhé, třetí atd. vlastní řešení. Je tak třeba vyšetřit několik vlastních čísel a rozhodující je pak nejmenší kritický ohybový moment. Pro n = 1…30 jsou výsledkem následující kritické ohybové momenty.
n | Mcrit [kNm] | n | Mkrit[kNm] |
---|---|---|---|
1 | 9 523,25 | 16 | 2 214,63 |
2 | 4 281,26 | 17 | 2 339,17 |
3 | 2 294,32 | 18 | 2 464,92 |
4 | 1 605,56 | 19 | 2 591,63 |
5 | 1 354,68 | 20 | 2 719,14 |
6 | 1 282,70 | 21 | 2 847,30 |
7 | 1 294,12 | 22 | 2 976,00 |
8 | 1 348,81 | 23 | 3 105,16 |
9 | 1 428,05 | 24 | 3 234,71 |
10 | 1 522,29 | 25 | 3 364,60 |
11 | 1 626,24 | 26 | 3 494,77 |
12 | 1 736,77 | 27 | 3 625,20 |
13 | 1 851,94 | 28 | 3 755,84 |
14 | 1 970,50 | 29 | 3 886,67 |
15 | 2 091,60 | 30 | 4 017,68 |
Pro n = 6 dostaneme minimální hodnotu Mcrit, a to 1 282,70 kNm.
Řešením vlastních čísel v přídavném modulu RF-/FE-LTB (viz obr. 07) se stanoví:
Mcrit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1 397,25 kNm
Oba výsledky se téměř shodují. Nicméně analytické řešení je na straně bezpečnosti, protože se při něm zjednodušeně vychází z konstantního průběhu ohybového momentu. Konstantnímu kritickému ohybovému momentu Mcrit se pak přiřadí kritická síla qcrit.
qcrit | kritická síla |
Mcrit | kritický ohybový moment |
L | délka nosníku |
Protože uložení prutu v našem příkladu se má uvažovat jako velmi tuhé a konstantní po délce příhradového nosníku, dostaneme mírně vyšší kritické ohybové momenty než v případě tuhých bodových podpor.
Podle [3] kapitoly 9.2.5.3 (2) musí být ztužení dostatečně tuhá, aby nepřekročila vodorovný průhyb L/500. Výpočet musí být proveden s návrhovými hodnotami tuhostí (viz [1], kapitola NCI k 9.2.5.3).
Prokcrit = 0,195, H = 5 m aqp = 0,65 kN/m² jako dynamický tlak poryvu větru vyplývají následující zatížení (viz [3], Kapitola 9.2.5.3):
Nd | stabilizační síla pro tlačený pás |
kcrit | součinitel klopení |
Md | návrhový moment |
h | výška nosníku |
Nd = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN
qd | zatížení výztuže |
n | počet vazníků |
L | délka nosníku |
kf,3 | modifikační součinitel únosnosti výztuže |
qd = 2,76 kN/m
qd,vítr | návrhové zatížení větrem |
γQ | dílčí součinitel spolehlivosti pro proměnné zatížení |
cpe | součinitel vnějšího tlaku |
qp | maximální dynamický tlak |
h | výška budovy |
qd,vítr = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m
Deformace ztužení je znázorněna na obr. 08. Zatížení se přitom opět rozdělila na polovinu, protože jsou zde dvě ztužení.
Dovolená deformace činí:
Tím se potvrzuje předpoklad velmi tuhého ztužení, což je v souladu s téměř stejnými kritickými ohybovými momenty konstrukce s tuhým mezilehlým podepřením a konstrukce s pružným uložením prutu.
Závěr a výhled
Ukázali jsme, jaké možnosti máme pro analýzu klopení ohybových nosníků v dřevěných konstrukcích. U běžných metod je důležité zajistit, aby ztužení bylo dostatečně tuhé, a bylo tak možné uvažovat tuhé podepření. Obdobně jsme předvedli varianty, pokud tento předpoklad neplatí. V zásadě je třeba ohybové nosníky a ztužení posoudit podle příslušné normy také na jejich únosnost a použitelnost, což ovšem není předmětem našeho článku.
- Klopení dřevěných konstrukcí | Teorie
- Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1
- Přídavný modul RF-FE-LTB pro RFEM 5
- Přídavný modul RF-STABILITY pro RFEM 5