5701x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

18.12.2020

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 2

V předchozím článku Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1 na jednoduchých příkladech vysvětlují praktické použití pro stanovení kritického ohybového momentu M_crit nebo kritického ohybového napětí σ_crit pro klopení ohybového nosníku. V tomto příspěvku stanovíme kritický ohybový moment s přihlédnutím k pružnému uložení v důsledku ztužení.

Model konstrukce

U konstrukce znázorněné na obr. 01 posoudíme vazník na klopení. V rovině střechy se nachází šest vazníků jako rovnoběžných nosníků o délce 18 m se dvěma ztuženími. Nosníky na stranách štítu jsou podepřeny sloupy a při výpočtu se nezohlední. Na příhradové nosníky působí návrhové zatížení q_d 10 kN/m.

1 Statický model

Údaje o modelu

L	18	m	Délka nosníku
b	120	mm	Šířka nosníku
h	1,200	mm	Výška nosníku
GL24h	-	-	Materiál podle EN 14080
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment setrvačnosti
I_T	647.654.753	mm⁴	Moment tuhosti v prostém kroucení
q_d	10	kN/m	Návrhové zatížení
a_z	600	mm	Poloha břemene
e	600	mm	Poloha uložení

Pozor: I když následující rovnice pro E a G výslovně v indexu neodkazují na hodnoty 5% kvantilu, zohlednili jsme je odpovídajícím způsobem.

Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlého podepření

2 Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlého podepření

Pro úplnost nejdříve analyzujeme příhradový nosník bez bočního podepření (viz obrázek 02). Délka náhradního prutu se stanoví při působení zatížení na horní stranu příhradového nosníku s a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44 následovně:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{Z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	délka náhradního prutu
L	délka nosníku, vzdálenost bočních podpor
a₁,a₂	součinitele klopení
a_z	vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	moment setrvačnosti okolo vedlejší osy
I_T	moment setrvačnosti v kroucení

Délka náhradního prutu

l_ef = 17,79 m

Kritický ohybový moment lze pak spočítat následovně:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	kritický ohybový moment
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	moment setrvačnosti okolo vedlejší osy
I_T	moment setrvačnosti v kroucení
l_ef	délka náhradního prutu

Kritický ohybový moment

M_crit = 134,52 kNm

V našem příkladu nebudeme uvažovat zvýšení součinu 5% kvantilů tuhosti v důsledku homogenizace nosníků z lepeného lamelového dřeva.

Výsledný ohybový moment působící na příhradové nosníky je tak:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_d	návrhový moment
q_d	návrhové zatížení
L	délka nosníku

Návrhový moment

M_d = 405,00 kNm

Výsledkem analýzy vlastních čísel v přídavném modulu RF-/FE-LTB je součinitel kritického zatížení 0,3334. Z toho plyne kritický ohybový moment

M_crit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm

a shoduje se tedy s výsledkem analytického řešení.

3 Výsledek analýzy vlastních čísel u prostého nosníku s vidlicovým uložením bez mezilehlých podpor

Jak se u tohoto nepodepřeného štíhlého příhradového nosníku dalo očekávat, je působící ohybový moment větší (3krát) než kritický ohybový moment, a příhradový nosník tak není dostatečně zajištěn proti klopení. Proti tomu by však mělo působit ztužení, které nyní při výpočtu zohledníme.

Prostý nosník s vidlicovým uložením a tuhými mezilehlými podporami

4 Prostý nosník s vidlicovým uložením a tuhými mezilehlými podporami

Pokud je ztužení dostatečně tuhé, uvažuje se v praxi často jako náhradní délka prutu pro posouzení klopení vzdálenost bočních podpor (například vaznic). Tento postup byl popsán v předchozím příspěvku Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1.

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1

Jako L se tedy uvažuje 2,25 m. V případě a₁ = 1,00 a a₂ = 0,00 platí:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	délka náhradního prutu
L	délka nosníku, vzdálenost bočních podpor
a₁,a₂	součinitele klopení
a_z	vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	moment setrvačnosti okolo vedlejší osy
I_T	moment setrvačnosti v kroucení

Délka náhradního prutu

l_ef = 2,25 m

Kritický ohybový moment je tak:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	kritický ohybový moment
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	moment setrvačnosti okolo vedlejší osy
I_T	moment setrvačnosti v kroucení
l_ef	délka náhradního prutu

Kritický ohybový moment

M_crit = 1 063,51 kNm

Vzhledem k tomu, že ohybový moment působící na nosník je menší než kritický ohybový moment, není nosník při uvažování tuhých mezilehlých podpor náchylný ke klopení.

Výsledkem analýzy vlastních čísel v přídavném modulu RF-/FE-LTB je součinitel kritického zatížení 2,7815. Z toho plyne kritický ohybový moment

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	kritický ohybový moment
η	součinitel kritického zatížení
M_d	návrhový moment

Kritický ohybový moment

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1 126,50 kNm

5 Výsledek analýzy vlastních čísel u prostého nosníku s vidlicovým uložením a tuhými mezilehlými podporami

Prostý nosník s vidlicovým podepřením a pružným uložením prutu

Stejně jako při klopení u dřevěných konstrukcí | teorie se v [1] pro pruty s pružným uložením rozšíří stanovení délek náhradních prutů o součinitele α a β.

Klopení dřevěných konstrukcí | Teorie

Lze tak zohlednit smykovou tuhost ztužení pro klopení příhradových nosníků. Smykovou tuhost ztužení lze stanovit například podle [2], obr. 6.34. Jak je zřejmé, závisí na typu ztužení, osové tuhosti diagonál a svislic, sklonu diagonál a poddajnosti spojovacích prostředků. V případě ztužení znázorněného na obr. 01 je smyková tuhost:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	ideální smyková tuhost ztužení
E_D	5 % kvantil modulu pružnosti diagonál
A_D	průřezová plocha diagonál
α	úhel mezi diagonálou a pásnicí

Ideální smyková tuhost ztužení

Přitom E_D je modul pružnosti diagonál a A_Djejich průřezová plocha. Výše uvedená rovnice ovšem nezahrnuje poddajnost spojovacích prostředků diagonál. Lze ji spolu s protažením diagonál zohlednit fiktivní průřezovou plochou A_D'. Z toho plyne:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	ideální smyková tuhost ztužení
E_D	5 % kvantil modulu pružnosti diagonál
A_D'	fiktivní průřezová plocha diagonál
α	úhel mezi diagonálou a pásnicí

Ideální smyková tuhost ztužení

kde:

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	fiktivní průřezová plocha diagonál
A_D	průřezová plocha diagonál
E_D	5 % kvantil modulu pružnosti diagonál
L_D	délka diagonál
K_ser	modul posunutí spoje

Fiktivní průřezová plocha diagonál

Diagonály mají rozměr š/v = 120/200 mm a délku L_D 4,59 m. Modul prokluzu spoje na každé straně diagonál by měl být 110 000 N/mm.

Ideální plocha tak činí

A_D' = 12 548 mm²

a tedy tuhost ztužení ve smyku s úhlem diagonál k pásnici 60,64 °

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	ideální smyková tuhost ztužení
E_D	5 % kvantil modulu pružnosti diagonál
A_D'	fiktivní průřezová plocha diagonál
α	úhel mezi diagonálou a pásnicí

Ideální smyková tuhost ztužení

s_id = 44 864 kN

Podloží prutu na ztužení lze přepočítat podle [2] vzorce 7.291 následovně:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44 864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1 367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení
s_id	ideální smyková tuhost ztužení
L	délka ztužení

Pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení

Pro dvě ztužení a šest příhradových nosníků lze u každého nosníku uvažovat následující konstantu tuhosti:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	pružné uložení prutu na jednotlivé příhradové nosníky
K_y'	pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení

Pružné uložení prutu na jednotlivé příhradové nosníky

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Za předpokladu, že K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44, je délka náhradního prutu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	délka náhradního prutu
L	délka nosníku, vzdálenost bočních podpor
a₁,a₂	součinitele klopení
a_z	vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	moment setrvačnosti okolo vedlejší osy
I_T	moment setrvačnosti v kroucení
α, β	součinitele pro zohlednění podloží prutu

Délka náhradního prutu

l_ef = 0,13

Kritický ohybový moment má tak ideální hodnotu:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	kritický ohybový moment
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	moment setrvačnosti okolo vedlejší osy
I_T	moment setrvačnosti v kroucení
l_ef	délka náhradního prutu

Kritický ohybový moment

M_crit = 18 482,84 kNm

Očekávat bychom mohli podobnou hodnotu jako u systému s tuhými mezilehlými podporami. Stejně jako při klopení u dřevěných konstrukcí | rozšířené rovnice s α a β je omezeno.

Klopení dřevěných konstrukcí | Teorie

Přísně vzato tato rovnice platí pouze v případě, že dochází k podélnému zakřivení v jediném velkém sinusovém oblouku. To znamená, pokud je podloží velmi měkké. V našem příkladu se ovšem nejedná o tento případ. Vlastní funkce o několika vlnách, které vedou při větších konstantách tuhosti k minimálnímu kritickému zatížení, uvedená rovnice nepostihuje, protože je založena na jednoduchém sinusovém průběhu.

Jak vidíme na obr. 07, výsledkem analýzy vlastních čísel je vlastní tvar s několika vlnami.

6 Výsledek analýzy vlastních čísel u prostého nosníku s vidlicovým podepřením a pružným uložením

V tomto případě lze použít odvozenou metodu Prof. Dr. Heinricha Kreuzingera (2020). Kritický ohybový moment se vypočítá následovně:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	kritický ohybový moment
a_z	vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
e	vzdálenost pružného uložení prutu od středu smyku
K_y	pružné uložení prutu na jednotlivé vazníky
L	délka nosníku
n	n-té vlastní číslo
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
I_z	moment setrvačnosti okolo vedlejší osy
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_T	moment setrvačnosti v kroucení

Kritický ohybový moment

Konstanta n označuje první, druhé, třetí atd. vlastní řešení. Je tak třeba vyšetřit několik vlastních čísel a rozhodující je pak nejmenší kritický ohybový moment. Pro n = 1…30 jsou výsledkem následující kritické ohybové momenty.

n	M_crit [kNm]	n	M_krit[kNm]
1	9 523,25	16	2 214,63
2	4 281,26	17	2 339,17
3	2 294,32	18	2 464,92
4	1 605,56	19	2 591,63
5	1 354,68	20	2 719,14
6	1 282,70	21	2 847,30
7	1 294,12	22	2 976,00
8	1 348,81	23	3 105,16
9	1 428,05	24	3 234,71
10	1 522,29	25	3 364,60
11	1 626,24	26	3 494,77
12	1 736,77	27	3 625,20
13	1 851,94	28	3 755,84
14	1 970,50	29	3 886,67
15	2 091,60	30	4 017,68

Pro n = 6 dostaneme minimální hodnotu M_crit, a to 1 282,70 kNm.

Řešením vlastních čísel v přídavném modulu RF-/FE-LTB (viz obr. 07) se stanoví:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1 397,25 kNm

Oba výsledky se téměř shodují. Nicméně analytické řešení je na straně bezpečnosti, protože se při něm zjednodušeně vychází z konstantního průběhu ohybového momentu. Konstantnímu kritickému ohybovému momentu M_crit se pak přiřadí kritická síla q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	kritická síla
M_crit	kritický ohybový moment
L	délka nosníku

Kritická síla

Protože uložení prutu v našem příkladu se má uvažovat jako velmi tuhé a konstantní po délce příhradového nosníku, dostaneme mírně vyšší kritické ohybové momenty než v případě tuhých bodových podpor.

Podle [3] kapitoly 9.2.5.3 (2) musí být ztužení dostatečně tuhá, aby nepřekročila vodorovný průhyb L/500. Výpočet musí být proveden s návrhovými hodnotami tuhostí (viz [1], kapitola NCI k 9.2.5.3).

Pro_kcrit = 0,195, H = 5 m a_qp = 0,65 kN/m² jako dynamický tlak poryvu větru vyplývají následující zatížení (viz [3], Kapitola 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	stabilizační síla pro tlačený pás
k_crit	součinitel klopení
M_d	návrhový moment
h	výška nosníku

Stabilizační síla pro tlačený pás

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	zatížení výztuže
n	počet vazníků
L	délka nosníku
k_f,3	modifikační součinitel únosnosti výztuže

Zatížení výztuže

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, vítr} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,vítr	návrhové zatížení větrem
γ_Q	dílčí součinitel spolehlivosti pro proměnné zatížení
c_pe	součinitel vnějšího tlaku
q_p	maximální dynamický tlak
h	výška budovy

Návrhové zatížení větrem

q_d,vítr = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

Deformace ztužení je znázorněna na obr. 08. Zatížení se přitom opět rozdělila na polovinu, protože jsou zde dvě ztužení.

Vodorovný průhyb ztužení

Dovolená deformace činí:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dovolená deformace

Tím se potvrzuje předpoklad velmi tuhého ztužení, což je v souladu s téměř stejnými kritickými ohybovými momenty konstrukce s tuhým mezilehlým podepřením a konstrukce s pružným uložením prutu.

Závěr a výhled

Ukázali jsme, jaké možnosti máme pro analýzu klopení ohybových nosníků v dřevěných konstrukcích. U běžných metod je důležité zajistit, aby ztužení bylo dostatečně tuhé, a bylo tak možné uvažovat tuhé podepření. Obdobně jsme předvedli varianty, pokud tento předpoklad neplatí. V zásadě je třeba ohybové nosníky a ztužení posoudit podle příslušné normy také na jejich únosnost a použitelnost, což ovšem není předmětem našeho článku.

Databáze znalostí

KB 001669 | Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 2

Autor

Ing. Rehm se podílí na vývoji programů pro dřevěné konstrukce a zajišťuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy

Reference

Nationaler Anhang - Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2. vydání. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Eurokód 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Obecná pravidla – Společná pravidla a pravidla pro pozemní stavby; ČSN EN 1995-1-1:2006-12

;