Přímá analýza deformací železobetonového nosníku se zohledněním dlouhodobých účinků dotvarování a smršťování

V tomto odborném příspěvku představujeme přímou analýzu deformací železobetonového nosníku se zohledněním dlouhodobých účinků dotvarování a smršťování. Na příkladu ukazujeme, jak tyto účinky ovlivňují deformaci konstrukčního prvku a jak se zohledňují při výpočtu. Vysvětluje, které údaje jsou v programu RFEM 6 nezbytné pro správné zohlednění všech relevantních součinitelů a jak součinitel rozdělení ovlivňuje tuhost konstrukčního prvku.

Vstupní údaje

Geometrie, výztuž a zatížení jsou definovány následujícími parametry:

systému

• Typ nosníku: Prostý nosník
• Rozpětí: l = 4,210 m

Průřez

• Tloušťka desky: h = 7,8 in
• Šířka desky b = 100 cm
• Materiál: Beton C20/25 s E_cm = 30,000 MN/m² a B 500A
• Výztuž: A_{s,-z,(dolní)} = 4,45 cm² s 7 ∅ 9 a d₁ = 30 mm
• Účinná výška dolní výztuže: d_{def,+z (dolní)} = 17 cm

Stálá zatížení

• Vlastní tíha g_s = 0,20 m ⋅ 1 m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
• Omítka a podlahy: g_bp = 1,50 kN/m
• Celkem: g_k,total = 6,5 kN/m
• Obrázek@055384#

Proměnná zatížení

• Užitné zatížení (Office): q_b = 2,00 kN/m při ψ₂ = 0,3
• Kompenzace příčky: q_t = 1,25 kN/m při ψ₂ = 1,0
• Obrázek@055384#

Kvazistálé zatížení

• 6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

Návrhový ohybový moment pro výpočet průhybu

• My_,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)²/8 = 18,50 kNm

Počáteční hodnoty pro posouzení deformací

• Střední modul pružnosti betonu: E_cm = 30 000 MN/m²
• Obrázek@055388#
• Stupeň vyztužení podélnou výztuží: ρ = A_s/A_c = 4,45 cm²/(20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %
• Obrázek@055387#
• Poměrné smršťování: ε_sh = -0,5 ‰
• Součinitel dotvarování: φ = 2

Pro zadání součinitele dotvarování pomocí uživatelského nastavení je nutné v nastavení průřezu aktivovat volbu "Rozšířené časově závislé vlastnosti betonu".

1. Obrázek@055390#

V záložce, která je nyní k dispozici, je třeba nejdříve vybrat možnosti „Dotvarování“ a „Smršťování“, abychom mohli zobrazit a upravit „Základní hodnoty časově závislých vlastností“. Součinitel dotvarování φ byl zadán zadáním φ₀, ϵ_cd,0 a ϵ_ca(∞).

1. Obrázek@055394#

Dotvarování

Účinky dotvarování se stanoví redukcí E_c modulu pružnosti betonu.

Účinný modul pružnosti E_c,eff zohledňuje dlouhodobé účinky betonu, zejména dotvarování. Dotvarování popisuje dlouhodobé přetvoření betonu při konstantním zatížení. Součinitel dotvarování φ redukuje modul pružnosti E_cm (střední modul pružnosti betonu), takže se skutečná tuhost betonu zobrazí v dlouhém časovém období. Tato hodnota se použije pro další výpočty, například pro moment setrvačnosti nebo poměr tuhostí.


$${\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} = \frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{cm}}}{1 + \mathrm{\phi }}$$
Účinný modul pružnosti podle k 7.4.3 (5) Rovnice 7.20

E_c,eff = 30 000 MN/m²/( 1 + 2 ) = 10 001,2 MN/m²

Účinný smykový modul betonu G_c,eff
Účinný smykový modul popisuje únosnost betonu proti smykovým deformacím a stanoví se na základě poměru příčného přetvoření k podélnému přetvoření (Poissonův součinitel v betonu). Tato hodnota je důležitá zejména pro výpočet deformací průřezu a pro posouzení na smyk.


$${\mathrm{G}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} = \frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}}}{2 \cdot (1 + \mathrm{\nu })}$$
Účinný smykový modul betonu

Gc_,eff = 10 001,2 MN/m²/( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4 167,180 MN/m²

Účinný modulární poměr pro stav bez trhlin (dlouhodobé zatížení) α_e,l
Poměr α_e,l udává, o kolik je ocel tužší ve srovnání s betonem při dlouhodobém zatížení. E_s je modul pružnosti oceli, E_c,l efektivní modul pružnosti betonu ve stavu bez trhlin (stejné jako E_c,eff ). Vzhledem k tomu, že beton má nižší tuhost v důsledku dlouhodobých účinků, jako je dotvarování, je hodnota α_e,l v tomto stavu vyšší. Tento poměr se použije při výpočtu těžiště a účinných průřezových charakteristik.


$${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I}} = \frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{s}}}{{\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{I}}}$$
Účinný modulární poměr pro stav bez trhlin (dlouhodobé zatížení)

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m²/10 001,2 MN/m² = 20

Účinný modulární poměr pro stav bez trhlin (krátkodobé zatížení) α_e,I,st
Poměr α_e,I,st udává poměr tuhosti oceli a betonu při krátkodobém zatížení. Na rozdíl od α_e,l se zde použije střední modul pružnosti E_cm bez zohlednění účinků dotvarování. To odráží skutečnou situaci zatížení, kdy je beton zatížen pouze krátkou dobu. Tato hodnota je důležitá zejména pro posouzení krátkodobých zatížení.


$${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I},\mathrm{st}} = \frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{s}}}{{\mathrm{E}}_{\mathrm{cm}}}$$
Účinný poměr modulů pro stav bez trhlin (krátkodobé zatížení)

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m²/30 000 MN/m² = 6,67

Účinný modulární poměr pro stav s trhlinami α_e,II
Ve stavu s trhlinami se beton v tažené oblasti nepovažuje za nosný. Poměr α_e,II zohledňuje pouze efektivní modul pružnosti betonu E_c,eff. Tato hodnota ukazuje, že tuhost oceli je vyšší ve stavu s trhlinami ve srovnání s betonem, což v takových případech podtrhuje důležitost výztuže.


$${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{II}} = \frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{s}}}{{\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}}}$$
Účinný modulární poměr pro stav s trhlinami

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m²/10 001,2 MN/m² = 20,00

Geometrické parametry bez trhlin

Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení, z_I , popisuje polohu těžiště při zohlednění plochy betonu a výztuže. Účinek výztuže se upravuje pomocí konverzního součinitele α_e,l, který udává poměr mezi modulem pružnosti oceli a účinným modulem pružnosti betonu. To je zvláště důležité, protože dlouhodobé zatížení, jako je dotvarování, oslabuje beton. Těžiště ovlivňuje výpočet momentů a deformací v průřezu, a je tak ústředním parametrem pro statickou analýzu.


$${\mathrm{z}}_{\mathrm{I}}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{b}\cdot {\mathrm{h}}^2}{2}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}}{\mathrm{b}\cdot \mathrm{h}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}$$
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení



Účinná plocha průřezu ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení A_I představuje účinná plošná zatížení. Kromě plochy betonu se zohledňuje také plocha výztuže, která se doplňuje součinitelem α_e,l. Tuhost průřezu je tak znázorněna realističtěji. Tato hodnota je rozhodující pro posouzení únosnosti a pro výpočet deformace konstrukčního prvku.


$${\mathrm{A}}_{\mathrm{I}}=\mathrm{b}\cdot \mathrm{h}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})$$
Účinná plocha průřezu ve stavu bez trhlin při trvalém zatížení

A_I = 1 000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ (4,45 cm² + 0 cm²) = 2 089,05 cm²

Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení_II popisuje ohybovou únosnost průřezu. Zohledňuje jak betonovou plochu, tak výztuž, ačkoliv výztuž vzhledem ke své poloze vzhledem k těžišti generuje přídavné momenty. Tento moment setrvačnosti je klíčovým faktorem při posouzení deformací a ukazuje, jak velkým ohybovým momentům může průřez odolávat.


$${\mathrm{I}}_{\mathrm{I}}=\mathrm{b}\cdot \frac{{\mathrm{h}}^3}{12}+\mathrm{b}\cdot \mathrm{h}\cdot ({\mathrm{z}}_{\mathrm{I}}-\frac{\mathrm{h}}{2})²+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot {({\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}-{\mathrm{z}}_{\mathrm{I}})}^2+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot {({\mathrm{z}}_{\mathrm{I}}-{\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}^2)$$
Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení


$${\mathrm{I}}_{\mathrm{I}} = \frac{1000 \mathrm{mm} \cdot {(200 \mathrm{mm})}^3}{12} + 1000 \mathrm{mm} \cdot 200 \mathrm{mm} \cdot {(103 \mathrm{mm} - \frac{200 \mathrm{mm}}{2})}^2+ 20 \cdot (4.45 {\mathrm{cm}}^2 \cdot {(170 \mathrm{mm} - 103 \mathrm{mm})}^2 + 0) = 70844.30 {\mathrm{cm}}^4$$
Příklad: Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatížení

Excentricita ideálního těžiště průřezu ve stavu bez trhlin e_I udává odchylku těžiště od geometrického středu průřezu. Tato excentricita je důležitá, protože ovlivňuje momenty vznikající v průřezu, které přímo ovlivňují deformace.


$$\mathrm{e} = {\mathrm{z}}_{\mathrm{I}} - \frac{\mathrm{h}}{2}$$
Excentricita ideálního těžiště průřezu ve stavu bez trhlin

e_I = 103 mm - 200 mm/2 = 3 mm

Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení, z_I,st popisuje polohu těžiště při zatíženích, která nezohledňují účinky dotvarování nebo smršťování. Proto je konverzní součinitel α_e,I,st použitý pro krátkodobý výpočet menší než pro dlouhodobá zatížení. Tato těžišťová vzdálenost je rozhodující pro rozdělení zatížení a stanovení momentů při krátkodobém zatížení.


$${\mathrm{z}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}}=\frac{\mathrm{b}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{h}}{2}}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I},\mathrm{st}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}{\mathrm{b}\cdot \mathrm{h}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I},\mathrm{st}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}$$
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení


$${\mathrm{z}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}} = \frac{1000 \mathrm{mm} \cdot {\displaystyle \frac{200 \mathrm{mm}}{2}} + 6.67 \cdot (4.45 {\mathrm{cm}}^2 \cdot 170 \mathrm{mm} + 0)}{1000 \mathrm{mm} \cdot 200 \mathrm{mm} + 6.67 \cdot (4.45 {\mathrm{cm}}^2 + 0)} = 101 \mathrm{mm}$$
Příklad: Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

Účinná plocha průřezu ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení A_I,st je podobná ploše A_I, ale upravená o konverzní součinitel α_e,I,st, který nezohledňuje dlouhodobé účinky. To vede k menší ploše a má vliv na výpočet únosnosti pro krátkodobá zatížení.


$${\mathrm{A}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}}=\mathrm{b}\cdot \mathrm{h}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I},\mathrm{st}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})$$
Účinná plocha průřezu ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

A_I,st = 1 000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ (4,45 cm² + 0 cm²) = 2 029,69 cm²

Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení I_I,st udává ohybovou únosnost průřezu bez vlivu dlouhodobých účinků. Zohledňuje beton i plochu výztuže a jejich vzdálenosti od těžiště, které jsou rozhodující pro výpočet deformace při krátkodobém zatížení.


$${\mathrm{I}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}}=\frac{\mathrm{b}\cdot {\mathrm{h}}^3}{12}+\mathrm{b}\cdot \mathrm{h}\cdot {({\mathrm{z}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}}-\frac{\mathrm{h}}{2})}^2+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{I},\mathrm{st}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot {({\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}-{\mathrm{z}}_{1,\mathrm{st}})}^2+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot {({\mathrm{z}}_{1,\mathrm{st}}-{\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}^2)$$
Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení


$${\mathrm{I}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}} = \frac{1000 \mathrm{mm} \cdot {(200 \mathrm{mm})}^3}{12} + 1000 \mathrm{mm} \cdot 200 \mathrm{mm} \cdot {(101 \mathrm{mm} - \frac{200 \mathrm{mm}}{2})}^2 + 6.67 \cdot (4.45 {\mathrm{cm}}^2 \cdot {(170 \mathrm{mm} - 101 \mathrm{mm})}^2 + 0) = 68100.10 {\mathrm{cm}}^4$$
Příklad: Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu bez trhlin pro krátkodobé zatížení

Geometrické parametry s trhlinami

Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu s trhlinami, z_II , zohledňuje upravenou únosnost průřezu, protože tahová oblast betonu již po vzniku trhlin nepřenáší žádná zatížení. Poloha těžiště se přepočítá pouze se zohledněním tlačené oblasti betonu a výztuže. Tento parametr je důležitý pro posouzení průřezu po vzniku trhlin a ovlivňuje únosnost a deformaci.


$${\mathrm{z}}_{\mathrm{II}}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{b}\cdot {{\mathrm{x}}_{\mathrm{II}}}^2}{2}}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{II}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}{\mathrm{b}\cdot {\mathrm{x}}_{\mathrm{II}}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{II}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})}$$
Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu s trhlinami


$${\mathrm{z}}_{\mathrm{II}} = \frac{{\displaystyle \frac{1000 \mathrm{mm} \cdot {(46.8 \mathrm{mm})}^2}{2} }+ 20 \cdot (4.45 {\mathrm{cm}}^2 \cdot 170 \mathrm{mm} + 0)}{1000 \mathrm{mm} \cdot 46.8 \mathrm{mm} + 20 \cdot (4.45 {\mathrm{cm}}^2 + 0)} = 46.8 \mathrm{mm}$$
Příklad: Vzdálenost těžiště ideálního průřezu ve stavu s trhlinami

Účinná plocha průřezu ve stavu s trhlinami A_II představuje zbývající plochu po vzniku trhlin. Přitom se zohledňuje pouze tlaková oblast betonu a oblast výztuže, což výrazně snižuje tuhost průřezu. Tato hodnota je rozhodující pro posouzení mezního stavu únosnosti v případě průřezů s trhlinami.


$${\mathrm{A}}_{\mathrm{II}}=\mathrm{b}\cdot {\mathrm{x}}_{\mathrm{II}}+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{II}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})$$
Účinná plocha průřezu ve stavu s trhlinami

A_II = 1 000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ (4,45 cm² + 0) = 557,41 cm²

Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu s trhlinami, I_II , udává ohybovou únosnost po vzniku trhlin. Vzhledem k tomu, že tahová oblast již není únosná, moment setrvačnosti se výrazně snižuje. Tato hodnota je podstatným faktorem pro výpočet deformace a pro vyhodnocení únosnosti průřezů s trhlinami.


$${\mathrm{I}}_{\mathrm{II}}=\frac{\mathrm{b}\cdot {{\mathrm{x}}_{\mathrm{II}}}^3}{12}+\mathrm{b}\cdot {\mathrm{x}}_{\mathrm{II}}\cdot ({\mathrm{z}}_{\mathrm{II}}-\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{II}}}{2}{)}^2+{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e},\mathrm{II}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot \left(\right({\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}-{\mathrm{z}}_{\mathrm{II}}{)}^2+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot ({\mathrm{z}}_{\mathrm{II}}-{\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}{)}^2)$$
Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu s trhlinami


$${\mathrm{I}}_{\mathrm{II}} = \frac{1000 \mathrm{mm} \cdot {(46.8 \mathrm{mm})}^3}{12} + 1000 \mathrm{mm} \cdot 46.8 \mathrm{mm} \cdot {(46.8 \mathrm{mm} – \frac{46.8 \mathrm{mm}}{2})}^2+ 20 \cdot 4.45 {\mathrm{cm}}^2 \cdot {(170 \mathrm{mm} – 46.8 \mathrm{mm})}^2+0 =16933.50 {\mathrm{cm}}^4$$
Příklad: Účinný moment setrvačnosti ideálního těžiště ve stavu s trhlinami

Excentricita těžiště ideálního průřezu ' ve stavu s trhlinami, e_II , popisuje posun těžiště v důsledku tvorby trhlin. Tento posun ovlivňuje výsledné momenty a deformaci průřezu, a je tak důležitým parametrem pro statickou analýzu.


$${\mathrm{e}}_{\mathrm{II}} = {\mathrm{z}}_{\mathrm{II}} - \frac{\mathrm{h}}{2}$$
Excentricita ideálního těžiště průřezu ve stavu s trhlinami

e_II = 46,8 mm - 200 mm/2 = -53,2 mm

Smršťování

Normálová síla od smršťování N_sh vzniká proto, že výztuž nepřenáší deformaci betonu způsobené smršťováním, a přenáší tak síly. Tyto síly jsou výsledkem interakce mezi tahovou silou betonu a odezvou výztuže. Vypočítaná hodnota ukazuje, jak silně je výztuž zatížena smršťováním. V tomto bodě se použije poměrné smršťování ε_sh = -0,5 ‰, které je nepřímo definované uživatelem.


$${\mathrm{N}}_{\mathrm{sh}}=-{\mathrm{E}}_{\mathrm{s}}\cdot {\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{sh}}\cdot ({\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)})$$
Normálová síla od smršťování

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000,5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

Excentricita síly od smršťování k těžišti ideálního průřezu ve stavu bez trhlin,_esh,I , udává polohu výsledné smršťovací síly vzhledem k těžišti průřezu. Větší excentricita vede k vyšším momentům a větším deformacím.


$${\mathrm{e}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}}=\frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}}{{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}}-{\mathrm{z}}_1$$
Excentricita smršťovací síly k těžišti ideálního průřezu ve stavu bez trhlin

_esh,I = (4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0)/(4,45 cm² + 0) - 103 mm = 67 mm

Moment smršťování pro stav M_sh,I bez trhlin vyplývá ze síly smršťování N_sh a excentricity e_sh,I. Ukazuje, jak síla smršťování vytváří moment svým působením na průřez. Tento moment má podstatný vliv na deformace a napětí v průřezu a je třeba ho zohlednit při posouzení.


$${\mathrm{M}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}} = {\mathrm{N}}_{\mathrm{sh}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}}$$
Moment smršťování pro stav bez trhlin

Msh_,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm
1. Obrázek@055397#

Součinitel křivosti pro stav bez trhlin k_sh,I udává, jak působí moment smršťování ve vztahu k normálové síle a excentricitě. Ukazuje, jak rozdělení síly od smršťování a poloha těžiště ovlivňují deformace konstrukčního prvku. Tato hodnota je rozhodující pro kompletní popis deformací průřezu v důsledku smršťování.


$${\mathrm{k}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}} = \frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}} + {\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} – {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{I}}}{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} - {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} - {\mathrm{e}}_{\mathrm{I}}}$$
Součinitel zakřivení pro stav bez trhlin

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 )/( 18,50 kNm - 0 ) = 1,161

Excentricita síly ze smršťování k těžišti ideálního průřezu ve stavu s trhlinami, esh_,II , udává polohu výsledné síly ze smršťování vzhledem k těžišti průřezu ve stavu s trhlinami. stavu. Plošné momenty výztuže, A_{s,def, +z,(dolní)} a A_{s,def, -z,(horní)}, se stanoví s ohledem na jejich polohu, d_{ef, +z,(dolní)} a d_{ef, -z,(horní)} a vydělí ho celkovou plochou výztuže. Vzdálenost těžiště průřezu s trhlinami z_II se odečte od výsledku. Tato excentricita ovlivňuje smršťovací moment, protože větší excentricita vede k většímu momentu.


$${\mathrm{e}}_{\mathrm{sh},\mathrm{II}}=\frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},+\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},+\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}\cdot {\mathrm{d}}_{\mathrm{ef},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}}{{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},+\mathrm{z},\left(\mathrm{unten}\right)}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{s},\mathrm{def},-\mathrm{z},\left(\mathrm{oben}\right)}}-{\mathrm{z}}_{\mathrm{II}}$$
Excentricita síly smršťování k těžišti ideálního průřezu ve stavu s trhlinami

esh_,II = (4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0)/(4,45 cm² + 0) – 46,8 mm = 123,2 mm

Ohybový moment a normálovou sílu N_sh pro stav M_sh,II s trhlinami získáme vynásobením síly smršťování N_sh předem vypočítanou excentricitou e_sh,II. Tento moment popisuje přídavné ohybové napětí působící na průřez v důsledku smršťování. Tato hodnota je důležitá zejména ve stavu s trhlinami, kdy tahová oblast betonu již nepřenáší žádná zatížení.


$${\mathrm{M}}_{\mathrm{sh},\mathrm{II}} = {\mathrm{N}}_{\mathrm{sh}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{sh},\mathrm{II}}$$
Ohybový moment od normálové síly N_sh pro stav s trhlinami

Msh_,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

Součinitel zakřivení pro stav s trhlinami ksh_,II udává, jak silně je deformace průřezu ovlivněna momentem smršťování a dalšími působícími silami. Přitom se zohledňuje moment smršťování M_sh,II, stávající ohybový moment My_,Ed,def a také normálová síla N_Ed a její excentricita e_II. Při výpočtu je výsledný moment úměrný momentu bez smršťování, a poskytuje tak měřítko pro vliv smršťovací síly.


$${\mathrm{k}}_{\mathrm{sh},\mathrm{II}} = \frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{sh},\mathrm{II}} + {\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} - {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{II}}}{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} - {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{II}}}$$
Součinitel zakřivení pro stav s trhlinami

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 )/( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

deformace průřezu

Deformace průřezu je zakřivení konstrukčního prvku způsobené vnějšími účinky, které zohledňuje jeho materiálové a stavové parametry.

Výpočet deformace průřezu κ_I ve stavu bez trhlin popisuje zakřivení průřezu způsobené momentem smršťování a elastické vlastnosti materiálu. Zohlední se přitom moment smršťování My_{,Ed,def ,} normálová síla_NEd a její excentricita e_I. Tyto hodnoty se vynásobí součinitelem k_sh,I, který popisuje vliv momentu smršťování ve stavu bez trhlin. Ve jmenovateli se uvádí efektivní modul pružnosti betonu E_c,eff a moment setrvačnosti I_I, které určují tuhost průřezu.


$${\mathrm{\kappa }}_{\mathrm{I}} = \frac{{\mathrm{k}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}} \cdot ({\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} - {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{I}})}{{\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{I}}}$$
Výpočet deformace průřezu ve stavu bez trhlin

κ_I = (1,161 ⋅ (18,50 kNm - 0))/(10 001,2 MN/m² ⋅ 70 844,30 cm⁴)
= 3 mrad/m

Výpočet deformace průřezu ve stavu s trhlinami κ_II ukazuje zakřivení průřezu po vzniku trhlin při zohlednění momentu smršťování a redukované únosnosti průřezu s trhlinami. Moment smršťování My_,Ed,def, normálová síla_NEd a její excentricita e_II se přitom vynásobí součinitelem k_sh,II, který popisuje vliv momentu smršťování ve stavu s trhlinami. Ve jmenovateli se ztratí efektivní modul pružnosti betonu E_c,eff a redukovaný moment setrvačnosti průřezu s trhlinami I_II, které odrážejí menší tuhosti. Deformace průřezu ve stavu s trhlinami je výrazně větší než ve stavu bez trhlin, protože tuhost průřezu s trhlinami je snížena.


$${\mathrm{\kappa }}_{\mathrm{II}} = \frac{{\mathrm{k}}_{\mathrm{sh},\mathrm{II}} \cdot ({\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} - {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{II}})}{{\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{II}}}$$
Výpočet deformace průřezu ve stavu s trhlinami

κ_II = (1,296 ⋅ (18,50 kNm - 0))/(10 001,2 MN/m² ⋅ 16 933,50 cm⁴) = 14,2 mrad/m

Konečný stav

Konečný stav popisuje maximální napětí, která se mohou vyskytnout v průřezu bez trhlin při dlouhodobém i krátkodobém zatížení, aby byla zajištěna únosnost a použitelnost konstrukčního prvku.

Maximální napětí ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatěžování σ_max, popisuje maximální napětí, které může vzniknout v průřezu bez trhlin v důsledku dlouhodobého zatěžování. Skládá se ze dvou částí:

• příspěvek normálových sil_NEd a_Nsh
• příspěvek ohybových momentů My_,Ed,def, Msh_,I a momentu od excentricity (z_I - h/2) normálové síly_NEd.

Druhá část je zesílena momentem setrvačnosti I_I a vzdáleností (h - z_I ).


$${\mathrm{\sigma }}_{\max ,\mathrm{It}} = \frac{{\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} + {\mathrm{N}}_{\mathrm{sh}}}{{\mathrm{A}}_{\mathrm{I}}} + \frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} - {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} \cdot ({\mathrm{z}}_{\mathrm{I}} - \mathrm{h}/2) + {\mathrm{M}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}}}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{I}}} \cdot (\mathrm{h} - {\mathrm{z}}_{\mathrm{I}})$$
Maximální napětí ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatěžování


$${\mathrm{\sigma }}_{\max ,\mathrm{lt}}= \frac{0 + 44.532 \mathrm{kN}}{2,089.05 {\mathrm{cm}}^2} +\frac{18.50 \mathrm{kNm}–0+2.98 \mathrm{kNm}}{70,844.30 {\mathrm{cm}}^4}\cdot (200 \mathrm{mm}-103 \mathrm{mm})=3.155 \mathrm{MN}/{\mathrm{m}}^2$$
Příklad: Maximální napětí ve stavu bez trhlin při dlouhodobém zatěžování

Maximální napětí ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení σ_max,st udává největší napětí v průřezu při krátkodobém zatížení. Na rozdíl od dlouhodobého zatížení se zde uvažuje pouze normálová síla_NEd a My_,Ed,def, protože neexistují žádné vnitřní síly od smršťování.


$${\mathrm{\sigma }}_{\max ,\mathrm{st}} = \frac{{\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}}}{{\mathrm{A}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}}} + \frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{y},\mathrm{Ed},\mathrm{def}} - {\mathrm{N}}_{\mathrm{Ed}} \cdot ({\mathrm{z}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}} - \mathrm{h}/2)}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}}} \cdot (\mathrm{h} - {\mathrm{z}}_{\mathrm{I},\mathrm{st}})$$
Maximální napětí ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení


$${\mathrm{\sigma }}_{\max ,\mathrm{st}}= \frac{0}{2029.69 {\mathrm{cm}}^2}+\frac{18.50 \mathrm{kNm} - 0}{68,100.10 {\mathrm{cm}}^4}\cdot (200 \mathrm{mm}-101 \mathrm{mm})=2.689 \mathrm{MN}/{\mathrm{m}}^2$$
Příklad: Maximální napětí ve stavu bez trhlin při krátkodobém zatížení

Maximální napětí ve stavu bez trhlin σ_max je větší z obou hodnot napětí od dlouhodobého nebo krátkodobého zatížení. Tím je zajištěno, že se zohlední nejvyšší možné zatížení průřezu.


$${\mathrm{\sigma }}_{\max } = \max ({\mathrm{\sigma }}_{\max ,\mathrm{I}};{\mathrm{\sigma }}_{\max ,\mathrm{st}})$$
Maximální napětí ve stavu bez trhlin

σ_max = max ( 3,155 MN/m²; 2,689 MN/m² )
= 3,155 MN/m²

Rozdělovací součinitel (parametr poškození) ζ_d popisuje přechod mezi chováním průřezu ve stavu bez trhlin a ve stavu s trhlinami. Vypočítá se jako poměr charakteristické pevnosti betonu v tahu f_ctm k maximálnímu napětí σ_max. V tomto případě se nelinearita zohledňuje pomocí exponenciálního vztahu.


$${\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}} = 1 - \mathrm{\beta } \cdot ({\mathrm{f}}_{\mathrm{ctm}} / {\mathrm{\sigma }}_{\max })²$$
β	Doba trvání zatížení nebo součinitel opakování
parametr poškození podle 7.4.3 (3) rov. 7.19

ζ_d = 1 – 0,5 ⋅ (2,200 MN/m²/3,155 MN/m²)²
= 0,757 ≤ 1
kde:
β = 1,0 (krátkodobé zatížení)
β = 0,5 (dlouhodobé zatěžování nebo mnoho cyklů opakujícího se zatěžování)
Pokud je rozdělovací součinitel ζ_d = 1, je konstrukční prvek zcela ve stavu s trhlinami. Pokud se naopak ζ_d rovná 0, je beton zcela bez trhlin.
Informace

Přímá analýza deformací silně závisí na rozdělovacím součiniteli. Další informace najdete v odborném článku Rozdělovací součinitel ζ při analýze deformací železobetonových dílců.


1. Obrázek@055396#

Pro výpočet rozdělovacího součinitele ζ_d je důležité, jakou možnost zvolíme pro detekci stavu trhlin. Pokud vybereme možnost "Stav s trhlinami vypočítaný z přiřazeného zatížení", bude se stav s trhlinami (rozdělovací součinitel ζ_d ) počítat výlučně z aktuálního zatížení (kombinace zatížení), jako v tomto příkladu. Další možnosti jsou popsány v manuálu.

1. Obrázek@055392#

Zakřivení průřezu κ_f se vypočítá interpolací mezi stavem s trhlinami (κ_II ) a stavem bez trhlin (κ_I ) váženým rozdělovacím součinitelem ζ_d. To umožňuje realisticky popsat chování zakřivení v přechodovém stavu.


$${\mathrm{\kappa }}_{\mathrm{f}} = {\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}} \cdot {\mathrm{\kappa }}_{\mathrm{II}} + (1 - {\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}}) \cdot {\mathrm{\kappa }}_{\mathrm{I}}$$
Zakřivení průřezu podle 7.4.3 (3), rovnice 7.18

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m
= 11,5 mrad/m
Ideální plocha průřezu A_f popisuje přechod mezi plochou průřezu bez trhlin A_I a plochou průřezu A_II s trhlinami. Váha se opět provádí pomocí rozdělovacího součinitele ζ_d.

$${\mathrm{A}}_{\mathrm{f}} = \frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{I}} \cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{II}}}{{\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}} \cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{I}} + (1 - {\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}}) \cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{II}}}$$
Ideální plocha průřezu


$${\mathrm{A}}_{\mathrm{f}}= \frac{2,089.05 {\mathrm{cm}}^2\cdot 557.41 {\mathrm{cm}}^2}{0.757\cdot 2089.05 {\mathrm{cm}}^2+(1–0.757)\cdot 557.41 {\mathrm{cm}}^2}=678.30 {\mathrm{cm}}^2$$
Příklad: Ideální plocha průřezu

Ideální moment setrvačnosti I_y,f udává moment průřezu se zohledněním rozdělovacího součinitele ζ_d a také momentů setrvačnosti ve stavu bez trhlin I_I a ve stavu s trhlinami I_II. Další součinitele jako k_sh,II a k_sh,I zohledňují účinky smršťování v příslušném stavu.

$${\mathrm{I}}_{\mathrm{y},\mathrm{f}} = \frac{{\mathrm{I}}_{\mathrm{I}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{II}}}{{\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{I}} \cdot {\mathrm{k}}_{\mathrm{sh},\mathrm{II}} + (1 - {\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}}) \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{II}} \cdot {\mathrm{k}}_{\mathrm{sh},\mathrm{I}}}$$
Ideální moment setrvačnosti


$${\mathrm{I}}_{\mathrm{y},\mathrm{f}}=\frac{70.844,3{\mathrm{cm}}^4\cdot 16.933,5{\mathrm{cm}}^4}{(0,757\cdot 70.844,30{\mathrm{cm}}^4\cdot 1,296+(1–0,757)\cdot 16.933,50{\mathrm{cm}}^4\cdot 1,161)}=16.145,50{\mathrm{cm}}^4$$
Příklad: Ideální moment setrvačnosti

Excentricita těžiště_ef udává polohu výsledného těžiště průřezu na základě přechodu mezi stavem bez trhlin a s trhlinami. Zohledňuje rozdělovací součinitel ζ_d, příslušné moduly pružnosti E_c,eff a momenty setrvačnosti I_I a I_II.

$${\mathrm{e}}_{\mathrm{f}} = \frac{{\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}} \cdot {\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{I}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{I}} + (1 - {\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}}) \cdot {\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{II}} \cdot {\mathrm{e}}_{\mathrm{II}}}{{\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}} \cdot {\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{I}} + (1 - {\mathrm{\zeta }}_{\mathrm{d}}) \cdot {\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} \cdot {\mathrm{I}}_{\mathrm{II}}}$$
Excentricita těžiště


$${\mathrm{e}}_{\mathrm{f}}=\frac{0.757\cdot 10,001.2 \mathrm{MN}/{\mathrm{m}}^2\cdot 70,844.30 {\mathrm{cm}}^4\cdot (-53.2 \mathrm{mm})+(1–0.757)\cdot 10,001.2 \mathrm{MN}/{\mathrm{m}}^2\cdot 16,933.50 {\mathrm{cm}}^4\cdot 3 \mathrm{mm}}{0.757\cdot 10,001.2 \mathrm{MN}/{\mathrm{m}}^2\cdot 70,844.30 {\mathrm{cm}}^4+(1–0.757)\cdot 10,001.2 \mathrm{MN}/{\mathrm{m}}^2\cdot 16,933.50 {\mathrm{cm}}^4}=-49.2 \mathrm{mm}$$
příklad: Excentricita těžiště

Ideální moment setrvačnosti ke geometrickému středu průřezu I_y,0,f zohledňuje kromě ideálního momentu setrvačnosti I_y,f a ideální plochy průřezu A_f také posun průřezu těžiště vlivem excentricity e_f. Tento posun je zohledněn Steinerovou složkou A_f.

$${\mathrm{I}}_{\mathrm{y},0,\mathrm{f}} = {\mathrm{I}}_{\mathrm{y},\mathrm{f}} + {\mathrm{A}}_{\mathrm{f}} \cdot {{\mathrm{e}}_{\mathrm{f}}}^2$$
Ideální moment setrvačnosti ke geometrickému středu průřezu

I_y,0,f = 16 145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ (-49,2 mm)²
= 32 538,80 cm⁴

Konečné tuhosti

Konečné tuhosti konstrukčního prvku popisují jeho odolnost proti deformacím a pootočení při různých typech zatížení. Program zohledňuje osovou a ohybovou tuhost a také tuhost v kroucení a smykovou tuhost. Tyto hodnoty slouží jako základ pro analýzu chování a použitelnosti konstrukčního prvku.
Tangenciální membránová tuhost EA_f udává osovou tuhost průřezu se zohledněním efektivního modulu pružnosti betonu E_c,eff a ideální plochy průřezu A_f.


$${\mathrm{EA}}_{\mathrm{f}} = {\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} \cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{f}}$$
Tangenciální membránová tuhost

EA_f = 10 001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm²
= 678 387 kN
Tangenciální ohybová tuhost EI_y,0,f udává únosnost průřezu' v ohybu okolo ideálního těžiště. Je dán efektivním modulem pružnosti betonu E_c,eff a ideálním momentem plochy I_y,0,f.

$${\mathrm{EI}}_{\mathrm{y},0,\mathrm{f}} = {\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} · {\mathrm{I}}_{\mathrm{y},0,\mathrm{f}}$$
Tangenciální ohybová tuhost

EI_y,0,f = 10 001,2 MN/m² ⋅ 32 538,80 cm⁴
= 3 254,28 kNm²
Únosnost tečny v ohybu EI_z,0,f udává únosnost průřezu v ohybu okolo lokální osy z. Je definován účinným modulem pružnosti betonu E_c,eff a momentem setrvačnosti okolo osy z I_z.

$${\mathrm{EI}}_{\mathrm{z},0,\mathrm{f}} = {\mathrm{E}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} · {\mathrm{I}}_{\mathrm{z}}$$
Tangenciální ohybová tuhost

EI_z,0,f = 10 001,2 MN/m² ⋅ 1 666 670 cm⁴
= 166 687 kNm²
1. Obrázek@055392#

Součinitel r udává redukci smykové tuhosti na základě poměru ideálních momentů setrvačnosti I_f a I_I.


$$\mathrm{r} = \frac{{\mathrm{I}}_{\mathrm{f}}}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{I}}}$$
Součinitel r

r = 16 145,50 cm⁴/70 844,30 cm⁴
= 0,228
Smyková tuhost k ose y GA_y,f zohledňuje účinný smykový modul betonu G_{c, eff}, plochu průřezu A_{c, y} a redukční součinitel r.

$${\mathrm{GA}}_{\mathrm{y},\mathrm{f}} = {\mathrm{G}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} · {\mathrm{A}}_{\mathrm{c},\mathrm{y}} · \mathrm{r}$$
Smyková tuhost vzhledem k ose y

GA_y,f = 4 167,18 MN/m² ⋅ 1 666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158 284 kN
Smyková tuhost vzhledem k ose z GA_z,f se počítá stejným způsobem jako v případě osy y.

$${\mathrm{GA}}_{\mathrm{z},\mathrm{f}} = {\mathrm{G}}_{\mathrm{c},\mathrm{eff}} · {\mathrm{A}}_{\mathrm{c},\mathrm{z}} · \mathrm{r}$$
Smyková tuhost k ose z

GA_z,f = 4 167,18 MN/m² ⋅ 1 666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158 284 kN
Torzní tuhost GI_T,f odpovídá v uvažovaném případě torzní tuhosti ve stavu bez trhlin GI_T,I.

$${\mathrm{GI}}_{\mathrm{T},\mathrm{f}} = {\mathrm{GI}}_{\mathrm{T},\mathrm{I}}$$
rotační tuhost

GI_T,f = 7 770 kNm²
Excentrický prvek tuhosti ES_y popisuje přídavné zatížení průřezu způsobené excentricitou e_f. Vypočítá se pomocí osové tuhosti EA_f a excentricity e_f.

$${\mathrm{ES}}_{\mathrm{y},\mathrm{f}} = {\mathrm{EA}}_{\mathrm{f}} · {\mathrm{e}}_{\mathrm{f}}$$
excentrický prvek tuhosti

ES_y = 678 387 kN ⋅ ( -49,2 mm )
= -33 350,20 kNm

Průhyb

Pro zajištění použitelnosti se skutečná deformace porovnává s přípustnými mezními hodnotami. Celkový průhyb okolo počátečního prohnutí se opraví a posoudí podle zadaných mezních hodnot.
Při výpočtu průhybu se uvažuje hlavní kombinace zatížení bez časově závislých účinků, jako je dotvarování a smršťování (krátkodobé), zatímco příslušné kombinace zatížení se vždy počítají s časově závislými vlastnostmi (dlouhodobé). Pokud je k dispozici více než jedno odpovídající zatížení, vychází se z průhybu zatížení s nejvyšší hodnotou.
Mezní průhyb ve směru z uz_,lim se počítá s referenční délkou ve směru z L_z,ref a kritériem mezního průhybu L_z,ref/u_z,lim.


$${\mathrm{u}}_{\mathrm{z},\lim } = \frac{{\mathrm{L}}_{\mathrm{z},\mathrm{ref}}}{{\mathrm{L}}_{\mathrm{z},\mathrm{ref}} / {\mathrm{u}}_{\mathrm{z},\lim }}$$
Mezní průhyb ve směru z

u_z,lim = 4,210 m/250 = 16,8 mm
Průhyb ve směru z_uz vyplývá z rozdílu celkového průhybu uz_,tot a počátečního prohnutí v místě x,_uz,c.

$${\mathrm{u}}_{\mathrm{z}} = {\mathrm{u}}_{\mathrm{z},\mathrm{ges}} - {\mathrm{u}}_{\mathrm{z},\mathrm{c}}$$
Průhyb ve směru z

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm
1. Obrázek@055395#

Posudek

$$\mathrm{\eta }=\max ({\mathrm{u}}_{\mathrm{z}}/{\mathrm{u}}_{\mathrm{z},\lim }; {\mathrm{u}}_{\mathrm{y}}/{\mathrm{u}}_{\mathrm{y},\lim })$$
Posouzení omezení deformací pro železobetonové prvky

η = max (19,4 mm/16,8 mm; 0,0 mm/16,8 mm)
= 1,155
Protože η = 1,155 > 1, je přípustný průhyb překročen!
1. Obrázek@055394#

Závěr a výhled

Výpočet deformací pomocí aproximačních metod definovaných v normách, jako je analýza deformací podle článku 7.4.3 normy EN 1992-1-1, se provádí pomocí účinných tuhostí, které se vypočítají v konečných prvcích podle mezního stavu (s trhlinami nebo bez trhlin). Tyto účinné tuhosti tvoří základ pro následný výpočet deformace konstrukčního prvku pomocí další MKP analýzy.

Železobetonový průřez je uvažován pro stanovení účinných tuhostí, přičemž železobetonový průřez je pro mezní stav použitelnosti klasifikován na základě vnitřních sil na "bez trhlin" nebo "bez trhlin". Vliv betonu mezi trhlinami se zohledňuje pomocí rozdělovacího součinitele, například podle rovnice 7.19 (EN 1992-1-1). Předpokládá se, že materiálové chování betonu je lineárně elastické až do pevnosti betonu v tahu, což je dostatečně přesné pro použitelnost.

Při stanovení účinných tuhostí na úrovni průřezu konstrukčního prvku se zohledňují dlouhodobé účinky dotvarování a smršťování, aby bylo zajištěno realistické zobrazení deformací při dlouhodobém zatížení.