Прямой расчет деформаций железобетонной балки с учетом долговременных эффектов ползучести и усадки

В нашей технической статье представлен прямой расчет деформаций железобетонной балки с дополнительным учетом долговременных эффектов ползучести и усадки. В нашем примере будет показано, каким образом эти эффекты влияют на деформацию конструктивного элемента и учитываются при расчете. В нем объясняется, какие данные необходимы в RFEM 6 для правильного учета всех соответствующих коэффициентов, и как коэффициент распределения влияет на жесткость конструктивного элемента.

Входные данные

Геометрия, армирование и нагрузки описываются следующими параметрами:

система

• Тип балки: Однопролётная балка
• Длина пролета: l = 4,210 м

использование

• Толщина плиты: h = 7,8 дюйма
• Ширина плиты b = 100 см
• Материал: Бетон C20/25 с E_см = 30 000 МН/м² и B 500A
• Арматура: A_{s,-z,(bottom)} = 4,45 см² с 7 ∅ 9 и d₁ = 30 мм
• Расчётная высота нижней арматуры: d_{Def,+z (bottom)} = 17 см

Постоянные нагрузки

• Собственный вес: g_s = 0,20 м ⋅ 1 м ⋅ 25 кН/м³ = 5,00 кН/м
• Штукатурка и покрытие: g_bp = 1,50 кН/м
• Всего: g_k,total = 6,5 кН/м

Переменные нагрузки

• Полезная нагрузка (офис): q_b = 2,00 кН/м с ψ₂ = 0,3
• Компенсация перегородок: q_t = 1,25 кН/м при ψ₂ = 1,0

Квазипостоянная нагрузка

• 6,5 кН/м + 0,3 ⋅ 2,00 кН/м + 1,0 ⋅ 1,25 кН/м = 8,35 кН/м

Расчётный изгибающий момент для вычисления прогиба

• My_,Ed,def = 8,35 кН/м ⋅ (4,21 м)²/8 = 18,50 кНм

Исходные значения в расчете деформаций

• Средний модуль упругости бетона: E_cm = 30 000 МН/м²

• Процент продольного армирования: ρ = A_s/A_c = 4,45 см²/(20 см ⋅ 100 см) = 0,223 %

• Деформация при усадке: ε_h = -0,5 ‰
• Коэффициент ползучести: φ = 2

Чтобы задать коэффициент ползучести по пользовательским настройкам, необходимо в настройках сечения активировать функцию «Расширенные зависящие от времени свойства бетона».

1. изображение@055390#

В доступной теперь вкладке, выберите сначала параметры «Ползучесть» и «Усадка», чтобы просмотреть и изменить «Основные значения свойств, зависящих от времени». Коэффициент ползучести φ был задан путем ввода φ₀, ε_cd,0 и ε_ca(∞).

ползучесть

Эффекты ползучести определяются по уменьшению модуля упругости бетона E_c.

Эффективный модуль упругости E_c,eff учитывает долговременное воздействие бетона, в особенности ползучесть. Ползучесть описывает долговременную деформацию бетона под постоянной нагрузкой. Коэффициент ползучести φ понижает модуль упругости E_cm (средний модуль упругости бетона) таким образом, чтобы была отображена фактическая жесткость бетона в течение длительного периода времени. Это значение используется в дальнейших расчетах, например, для момента инерции или соотношения жесткостей.

E_c,eff = 30 000 МН/м²/( 1 + 2 ) = 10 001,2 МН/м²

Эффективный модуль сдвига бетона G_c,eff
Эффективный модуль сдвига описывает сопротивление бетона деформациям сдвига и определяется с помощью отношения поперечной деформации к продольной деформации (коэффициент Пуассона бетона v). Это значение особенно важно для расчёта деформаций сечений и при расчётных проверках сдвига.

G_c,eff = 10 001,2 МН/м²/( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4 167,180 МН/м²

Эффективное модульное соотношение для состояния без трещин (длительная нагрузка) α_e,l
Соотношение α_e,l показывает, насколько жестче сталь по сравнению с бетоном при длительной нагрузке. E_s - модуль упругости стали, E_c,l - эффективный модуль упругости бетона в состоянии без трещин (идентичный E_c,eff ). Поскольку бетон имеет более низкую жесткость из-за длительных воздействий, таких как ползучесть, то значение α_e,l в этом состоянии выше. Это соотношение используется при расчёте центра тяжести и эффективных характеристик сечения.

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ МН/м²/10 001,2 МН/м² = 20

Эффективное модульное соотношение для состояния без трещин (кратковременная нагрузка) α_e,I,st
Соотношение α_e,I,st описывает отношение жесткости стали к бетону при кратковременной нагрузке. В отличие от α_e,l, здесь используется средний модуль упругости E_cm без учета эффектов ползучести. Это отражает фактический случай нагружения, когда бетон действует только в течение короткого времени. Это значение особенно важно при расчете кратковременных нагрузок.

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ МН/м²/30 000 МН/м² = 6,67

Эффективное соотношение модулей для состояния с трещинами α_e,II
В состоянии с трещинами бетон в растянутой зоне не считается несущей. Это учитывается в соотношении α_e,II путем включения только эффективного модуля упругости бетона E_c,eff. Это значение показывает, что жесткость стали в состоянии с трещинами выше, чем жесткость бетона, что подчеркивает необходимость армирования в таких случаях.

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ МН/м²/10 001,2 МН/м² = 20,00

Геометрические параметры без трещин

Расстояние до центра тяжести идеального сечения в состоянии без трещин при длительной нагрузке, z_I , описывает положение центра тяжести с учетом бетонной поверхности и арматуры. Влияние арматуры масштабируется с помощью коэффициента преобразования α_e,l, который представляет собой соотношение между модулем упругости стали и эффективным модулем упругости бетона. Это особенно важно, потому что длительные нагрузки, такие как ползучесть, ослабляют бетон. Центр тяжести влияет на расчет моментов и деформаций в сечении, поэтому он является центральным параметром для расчета конструкции.

Эффективная площадь сечения в состоянии без трещин при длительной нагрузке A_I представляет собой эффективные нагрузки на площадь смятия. Кроме площади бетона, учитывается также площадь арматуры, которая дополняется коэффициентом α_e,l. Таким образом, жесткость сечения отображается более реалистично. Это значение имеет решающее значение для оценки несущей способности и для расчета деформации конструктивного элемента.

A_I = 1000 мм ⋅ 200 мм + 20 ⋅ (4,45 см² + 0 см²) = 2089,05 см²

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в состоянии без трещин при длительной нагрузке_II , описывает сопротивление сечения изгибу. В расчете учитываются как бетонная поверхность, так и арматура, хотя последняя из-за своего расположения относительно центра тяжести создает дополнительные моменты. Момент инерции является ключевым фактором в расчете деформаций, он показывает, сколько изгибающих моментов может выдержать сечение.

Эксцентриситет идеального центра тяжести сечения в состоянии без трещин, e_I , указывает на отклонение центра тяжести от геометрического центра сечения. Данный эксцентриситет важен, так как он влияет на моменты, возникающие в сечении, которые напрямую влияют на деформации.

e_I = 103 мм - 200 мм/2 = 3 мм

Расстояние до центра тяжести идеального сечения в состоянии без трещин при кратковременной нагрузке, z_I,st, описывает положение центра тяжести при нагрузках, которые не учитывают эффекты ползучести или усадки. Поэтому коэффициент преобразования α_e,I,st, используемый в расчете кратковременных нагрузок, меньше, чем для длительных нагрузок. Это расстояние до центра тяжести имеет решающее значение для распределения нагрузок и определения моментов при кратковременных нагрузках.

Эффективная площадь сечения в состоянии без трещин при кратковременной нагрузке A_I,st подобна площади_AI, но скорректирована с помощью коэффициента преобразования α_e,I,st, который не учитывает долговременные воздействия. Это приведет к меньшей площади и повлияет на расчет прочности при кратковременных нагрузках.

A_I,st = 1000 мм ⋅ 200 мм + 6,67 ⋅ (4,45 см² + 0 см²) = 2029,69 см²

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в состоянии без трещин при кратковременной нагрузке I_I,st представляет собой сопротивление сечения изгибу без влияния длительных воздействий. При этом учитывается как площадь бетона, так и арматура, а также их расстояния от центра тяжести, что имеет решающее значение для расчета деформации при кратковременных нагрузках.

Геометрические параметры трещин

Расстояние до центра тяжести идеального сечения в состоянии с трещинами, z_II , учитывает измененную прочность сечения, поскольку зона растяжения бетона не несет никаких нагрузок после образования трещин. Расположение центра тяжести будет пересчитано с учетом только зоны сжатия бетона и арматуры. Этот параметр является центральным в анализе сечения после образования трещины и влияет на прочность и деформацию.

Эффективная площадь сечения в состоянии с трещинами A_II представляет собой площадь, оставшуюся после образования трещин. Здесь учитываются только сжатая зона бетона и площадь армирования, что значительно уменьшает жёсткость сечения. Это значение имеет решающее значение для расчета по несущей способности в случае сечений с трещинами.

A_II = 1000 мм ⋅ 46,8 мм + 20 ⋅ (4,45 см² + 0) = 557,41 см²

Эффективный момент инерции идеального центра тяжести в состоянии с трещинами I_II описывает сопротивление изгибу после образования трещин. Поскольку растянутая зона больше не является несущей, момент инерции значительно уменьшается. Это значение является важным фактором для расчета деформации и для оценки прочности сечений с трещинами.

Эксцентриситет центра тяжести идеального сечения в состоянии с трещинами, e_II , описывает смещение центра тяжести из-за образования трещин. Это перемещение влияет на результирующие моменты и деформации сечения и поэтому является важным параметром для расчёта конструкций.

e_II = 46,8 мм - 200 мм/2 = -53,2 мм

усадка

Нормальная сила от усадки_Nsh возникает из-за того, что арматура не несет на себе деформаций бетона, вызванных усадкой, и, таким образом, поглощает силы. Эти силы являются результатом взаимодействия между силой растяжения бетона и реакцией арматуры. Вычисленное значение показывает, насколько арматура подвержена усадке. На данном этапе используется усадочная деформация_εsh = -0,5 ‰, которая задается пользователем косвенно.

_Nsh = -2 ⋅ 10⁵ МН/м² ⋅ ( -0,000,5 ) ⋅ ( 4,45 см² + 0,00 ) = 44,532 кН

Эксцентриситет силы усадки по отношению к центру тяжести идеального сечения в состоянии без трещин, e_h,I , описывает положение результирующей силы усадки относительно центра тяжести сечения. Больший эксцентриситет приводит к большим моментам и большим деформациям.

e_h,I = (4,45 см² ⋅ 170 мм + 0)/(4,45 см² + 0) - 103 мм = 67 мм

Усадочный момент для состояния без трещин M_h,I является результатом усадочной силы_Nsh и эксцентриситета e_h,I. На нем показано, каким образом сила усадки посредством своего воздействия на сечение создает момент. Данный момент оказывает значительное влияние на деформации и напряжения в сечении, и его необходимо учитывать при расчёте.

M_h,I = 44,532 кН ⋅ 67 мм = 2,98 кНм

Коэффициент кривизны для состояния без трещин ksh_,I указывает, как действует момент усадки по отношению к осевой силе и эксцентриситету. На нем показано, каким образом распределение усадочной силы и положение центра тяжести влияют на деформации конструктивного элемента. Это значение имеет решающее значение для полного описания деформаций сечения из-за усадки.

k_h,I = ( 2,98 кНм + 18,5 кНм - 0 )/( 18,50 кНм - 0 ) = 1,161

Эксцентриситет силы усадки по отношению к центру тяжести идеального сечения в состоянии с трещинами, e_h,II , описывает положение результирующей силы усадки по отношению к центру тяжести сечения в состоянии с трещинами. состояния. Моменты площади арматуры A_{s,def, +z,(bottom)} и A_{s,def, -z,(top)} определяются относительно их положения, d_{ef, +z,(bottom)} и d_{ef, -z,(top)} и делит на общую площадь арматуры. Расстояние до центра тяжести сечения с трещинами z_II вычитается из результата. Этот эксцентриситет влияет на момент усадки, так как больший эксцентриситет приводит к большему моменту.

e_h,II = (4,45 см² ⋅ 170 мм + 0)/(4,45 см² + 0) - 46,8 мм = 123,2 мм

Изгибающий момент от осевой силы_Nsh для состояния с трещинами Msh_,II получается путем умножения силы усадки_Nsh на ранее вычисленный эксцентриситет esh_,II. Данный момент описывает дополнительное изгибающее напряжение, действующее на сечение из-за силы усадки. Это значение особенно важно в состоянии с трещинами, когда зона растяжения бетона больше не поддерживает какие-либо нагрузки.

M_h,II = 44,532 кН ⋅ 123,2 мм = 5,48 кНм

Коэффициент кривизны для состояния с трещинами ksh_,II показывает, насколько сильно на деформацию сечения влияет усадочный момент и другие действующие силы. Учитываются усадочный момент M_h,II, существующий изгибающий момент My_,Ed,def, а также осевая сила N_Ed и ее эксцентриситет e_II. Расчет помещает результирующий момент пропорционально моменту без усадки и, таким образом, обеспечивает меру влияния силы усадки.

k_h,II = ( 5,48 кНм + 18,50 кНм - 0 )/( 18,50 кНм - 0 ) = 1,296

Деформация сечения

Деформация сечения - это кривизна элемента конструкции, вызванная внешними воздействиями с учетом параметров его материала и состояния.

Расчет деформации сечения в состоянии без трещин, κ_I , описывает кривизну сечения, вызванную усадочным моментом и упругими свойствами материала. Учитывается момент усадки My_{,Ed,def ,} а также нормальная сила_NEd и ее эксцентриситет e_I. Эти значения умножаются на коэффициент ksh_,I, который описывает влияние усадочного момента в состоянии без трещин. Знаменатель включает в себя эффективный модуль упругости бетона E_c,eff и момент инерции сечения без трещин I_I, которые определяют жесткость сечения.

κ_I = (1,161 ⋅ (18,50 кНм - 0))/(10 001,2 МН/м² ⋅ 70 844,30 см⁳)
= 3 мрад/м

Расчет деформации сечения в состоянии с трещинами, κ_II , показывает кривизну сечения после образования трещины с учетом усадочного момента и приведенного сопротивления сечения с трещинами. При этом усадочный момент My_,Ed,def, осевая сила_NEd и ее эксцентриситет e_II умножаются на коэффициент ksh_,II, который описывает влияние усадочного момента в состоянии с трещинами. В знаменателе теряется эффективный модуль упругости бетона E_c,eff и приведенный момент инерции сечения с трещинами I_II, которые отражают меньшие сечения жесткости. Деформация сечения в состоянии с трещинами значительно больше, чем в состоянии без трещин, потому что жесткость сечения с трещинами уменьшается.

κ_II = (1,296 ⋅ (18,50 кНм - 0))/(10 001,2 МН/м² ⋅ 16 933,50 см⁳) = 14,2 мрад/м

Конечное состояние

Конечное состояние описывает максимальные напряжения, которые могут возникнуть в сечении без трещин при длительных и кратковременных нагрузках, чтобы обеспечить несущую способность и пригодность к эксплуатации конструктивного элемента.

Максимальное напряжение в состоянии без трещин при длительной нагрузке, σ_max, описывает максимальное напряжение, которое может возникнуть в сечении без трещин в результате длительной нагрузки. Она состоит из двух частей:

• доля осевых сил_NEd и_Nsh
• участие изгибающих моментов My_,Ed,def, Msh_,I и момента, возникающего вследствие эксцентриситета (z_I - h/2) осевой силы_NEd.

Вторая часть увеличивается на момент инерции I_I и расстояние (h - z_I ).

Максимальное напряжение в состоянии без трещин при кратковременной нагрузке, σ_max,st указывает на наибольшее напряжение в сечении при кратковременных нагрузках. В отличие от длительной нагрузки, здесь учитывается только нормальная сила_NEd и My_,Ed,def, поскольку внутренние силы от усадки отсутствуют.

Максимальное напряжение в состоянии без трещин, σ_max , является большим из двух значений напряжения от длительной и кратковременной нагрузки. обеспечивает учет максимально возможной нагрузки сечения.

σ_max = max ( 3,155 МН/м²; 2,689 МН/м²)
= 3,155 МН/м²

Коэффициент распределения (параметр повреждения) ζ_d описывает переход между поведением сечения в состоянии без трещин и состоянии с трещинами. Оно рассчитывается через отношение характеристической прочности бетона на растяжение f_ctm к максимальному напряжению σ_max. В таком случае нелинейность учитывается по экспоненциальному соотношению.

ζ_d = 1 - 0,5 ⋅ (2,200 МН/м²/3,155 МН/м²) ²
= 0,757 ≤ 1
где
β = 1,0 (кратковременная нагрузка)
β = 0,5 (длительная нагрузка или много циклов повторяющейся нагрузки)
Если коэффициент распределения ζ_d = 1, то конструктивный элемент находится в состоянии с трещинами. Наоборот, если ζ_d равно нулю, в бетоне полностью не образуются трещины.

Для расчета коэффициента распределения ζ_d важно, какой вариант выбран для определения состояния трещин. При выборе опции «Состояние с трещинами, рассчитанное от соответствующей нагрузки», состояние с трещинами (коэффициент распределения ζ_d ) рассчитывается исключительно от текущей нагрузки (сочетания нагрузок), как в этом примере. Другие опции описаны в руководстве.

Кривизна сечения κ_f рассчитывается путем интерполяции между состоянием с трещинами (κ_II ) и состоянием без трещин (κ_I ), взвешенных с помощью коэффициента распределения ζ_d. Это позволяет реалистично описать поведение кривизны в переходном состоянии.

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 мрад/м + (1 - 0,757) ⋅ 3 мрад/м
= 11,5 мрад/м
Идеальная площадь сечения A_f описывает переход между площадью сечения без трещин A_I и площадью сечения с образованием трещин A_II. В данном случае также применяется коэффициент распределения ζ_d.


Идеальный момент инерции I_y,f описывает момент сечения с учетом коэффициента распределения ζ_d, а также моменты инерции в состоянии без трещин I_I и в состоянии с трещинами I_II. Дополнительные коэффициенты, такие как ksh_,II и ksh_,I, учитывают эффекты усадки в соответствующем состоянии.


Эксцентриситет центра тяжести_ef описывает положение результирующего центра тяжести сечения на основе перехода между состоянием без трещин и состоянием с образованием трещин. При этом учитывается коэффициент распределения ζ_d, а также соответствующие модули упругости E_c,eff и моменты инерции I_I и I_II.


Присвоение идеального момента инерции геометрическому центру сечения I_y,0,f , учитывается кроме идеального момента инерции I_y,f и идеальной площади сечения A_f, также смещение центра тяжести из-за эксцентриситета e_f. Это смещение учитывается посредством компоненты Штейнера от A_f.

I_y,0,f = 16 145,50 см⁳ + 678,30 см² ⋅ (-49,2 мм)²
= 32 538,80 см⁳

Конечные жесткости

Конечные жесткости конструктивного элемента описывают его сопротивление деформациям и поворотам при различных типах нагрузок. Программа учитывает осевую жесткость и жесткость при изгибе, а также жесткость при кручении и сдвиге. Эти значения используются в качестве основы для анализа работы конструкции и пригодности к эксплуатации конструктивного элемента.
Касательная мембранная жесткость EA_f описывает осевую жесткость сечения с учетом эффективного модуля упругости бетона E_c,eff и идеальной площади сечения A_f.

EA_f = 10 001,2 МН/м² ⋅ 678,30 см²
= 678 387 кН
Касательная изгибная жесткость EI_y,0,f описывает сопротивление сечения изгибу вокруг идеального центра тяжести. Он определяется эффективным модулем упругости бетона E_c,eff и идеальным моментом площади I_y,0,f.

EI_y,0,f = 10 001,2 МН/м² ⋅ 32 538,80 см⁳
= 3 254,28 кНм²
Касательное сопротивление изгибу EI_z,0,f описывает сопротивление сечения изгибу вокруг местной оси z. Он определяется эффективным модулем упругости бетона E_c,eff и моментом инерции площади вокруг оси z I_z.

EI_z,0,f = 10 001,2 МН/м² ⋅ 1 666 670 см⁳
= 166 687 кНм²

Коэффициент r описывает уменьшение жёсткости на сдвиг на основе соотношения идеальных моментов инерции I_f и I_I.

r = 16 145,50 см⁳/70 844,30 см⁳
= 0,228
Жесткость на сдвиг относительно оси y GA_y,f учитывает эффективный модуль сдвига бетона G_c,eff, площадь сечения A_c,y и понижающий коэффициент r.

GA_y,f = 4 167,18 МН/м² ⋅ 1 666,67 см² ⋅ 0,228
= 158 284 кН
Жесткость на сдвиг по оси z, GA_z,f , рассчитывается аналогично по оси y.

GA_z,f = 4 167,18 МН/м² ⋅ 1 666,67 см² ⋅ 0,228
= 158 284 кН
Жесткость на кручение GI_T,f в рассматриваемом случае соответствует жесткости на кручение в состоянии без трещин GI_T,I.

GI_T,f = 7 770 кНм²
Внецентренный элемент жесткости ES_y описывает дополнительную нагрузку сечения, вызванную эксцентриситетом e_f. Она рассчитывается с использованием осевой жесткости EA_f и эксцентриситета e_f.

ES_y = 678 387 кН ⋅ ( -49,2 мм )
= -33 350,20 кНм

Sag

Для обеспечения пригодности к эксплуатации фактическая деформация сравнивается с допустимыми предельными значениями. Общий прогиб вокруг строительного подъема корректируется и проверяется на соответствие заданным предельным значениям.
При расчете прогиба учитывается основное сочетание нагрузок без зависящих от времени воздействий, таких как ползучесть и усадка (кратковременные), тогда как соответствующие сочетания нагрузок всегда рассчитываются с зависящими от времени свойствами (длительные). Если имеется более одной соответствующей нагрузки, то за основу берется прогиб с наибольшим значением.
Предельный прогиб в направлении z uz_,lim рассчитывается с помощью исходной длины в направлении z L_z,ref и критерия предельного прогиба L_z,ref/u_z,lim.

u_z,lim = 4,210 м/250 = 16,8 мм
Прогиб в направлении z_uz является результатом разности общего прогиба uz_,tot и строительного подъема в точке x,_uz,c.

u_z = 19,4 мм - 0 = 19,4 мм

расчётная проверка

η = max (19,4 мм/16,8 мм; 0,0 мм/16,8 мм) = 1,155 Так как η = 1,155 > 1, превышен допустимый прогиб!

Заключение

Расчет деформации согласно методам приближения, определенным в нормативах, таким как расчет деформации по разделу 7.4.3 нормы EN 1992-1-1, выполняется с помощью эффективных жесткостей, которые рассчитываются в конечных элементах по предельному состоянию (с трещинами или без трещин). Данные значения полезной жесткости образуют основу для последующего расчета деформации конструктивного элемента с помощью его дальнейшего анализа по МКЭ.

Железобетонное сечение учитывается для определения эффективных жесткостей, благодаря чему железобетонное сечение классифицируется на «с трещинами» или «без трещин» в предельном состоянии по пригодности к эксплуатации на основе определенных внутренних сил. Воздействие бетона между трещинами учитывается, например, по уравнению 7.19 (EN 1992-1-1) с помощью коэффициента распределения. Предполагается, что работа бетона как материала будет линейно-упругая до предела прочности бетона на растяжение, который является достаточно точным для пригодности к эксплуатации.

Чтобы обеспечить реалистичное отображение деформаций при длительных нагрузках, при определении эффективных жесткостей на уровне сечения конструктивного элемента учитываются долговременные эффекты ползучести и усадки.