Analyse directe des déformations d’une poutre en béton armé considérant le fluage et le retrait

Cet article technique présente l'analyse directe des déformations d'une poutre en béton armé, en considérant également les effets à long terme du fluage et du retrait. Un exemple est utilisé pour montrer comment ces effets influencent la déformation d'un composant structural et sont pris en compte dans le calcul. Il explique quelles données sont nécessaires dans RFEM 6 pour considérer correctement tous les facteurs pertinents et comment le facteur de distribution affecte la rigidité du composant structurel.

Données d'entrée

La géométrie, les armatures et le chargement sont décrits par les paramètres suivants :

système

• Type de poutre : Poutres à travée simple
• Longueur de la travée : l = 4,210 m

Section

• Épaisseur de la plaque : h = 20 cm
• Largeur de plaque b = 100 cm
• Matériau : Béton C20/25 avec E_cm = 30 000 MN/m² et B 500A
• Armatures : A_s,-z,(bas) = 4,45 cm² avec 7 ∅ 9 et d₁ = 30 mm
• Hauteur efficace des armatures inférieures : d_{def,+z (inférieur)} = 17 cm

Charges permanentes

• Poids propre : g_s = 0,20 m ⋅ 1 m ⋅ 25 kN/m³ = 5,00 kN/m
• Plâtre et plancher : g_bp = 1,50 kN/m
• Au total : g_k,total = 6,5 kN/m

Charges variables

• Charge d'exploitation (Bureau) : q_b = 2,00 kN/m avec ψ₂ = 0,3
• Compensation de partition : q_t = 1,25 kN/m avec ψ₂ = 1,0

Charge quasi-permanente

• 6,5 kN/m + 0,3 ⋅ 2,00 kN/m + 1,0 ⋅ 1,25 kN/m = 8,35 kN/m

Moment fléchissant de calcul pour le calcul de la flèche

• My_,Ed,def = 8,35 kN/m ⋅ (4,21 m)²/8 = 18,50 kNm

Valeurs initiales de l’analyse des déformations

• Module d’élasticité moyen du béton : E_cm = 30 000 MN/m²

• Ratio des armatures longitudinales : ρ = A_s / A_c = 4,45 cm² / ( 20 cm ⋅ 100 cm) = 0,223 %

• Déformation due au retrait : ε_sh = -0,5 ‰
• Coefficient de fluage : φ = 2

La fonction « Propriétés du béton en fonction du temps » doit être activée dans les paramètres de la section afin de définir le coefficient de fluage à l’aide de paramètres personnalisés.

Dans l'onglet désormais disponible, sélectionnez d’abord les options « Fluage » et « Retrait » afin d’afficher et de modifier les « Valeurs de base des propriétés en fonction du temps ». Le coefficient de fluage φ a été défini via les entrées de φ₀, ϵ_cd,0 et ϵ_ca(∞).

Fluage

Les effets de fluage sont déterminés par une réduction du module d’élasticité E_c du béton.

Le module d'élasticité efficace E_c,eff prend en compte les effets à long terme du béton, notamment le fluage. Le fluage décrit la déformation à long terme du béton soumis à une charge constante. Le coefficient de fluage φ réduit le module d’élasticité E_cm (module d’élasticité moyen du béton) afin que la rigidité réelle du béton soit affichée sur une longue période de temps. Cette valeur est utilisée dans d’autres calculs, par exemple pour le moment d’inertie ou le ratio des rigidités.

E_c,eff = 30.000 MN/m² / ( 1 + 2 ) = 10.001,2 MN/m²

Module efficace de cisaillement du béton G_c,eff
Le module de cisaillement efficace décrit la résistance du béton aux déformations de cisaillement et est déterminé avec le ratio de la déformation transversale à la déformation longitudinale (le coefficient de Poisson v du béton). Cette valeur est importante surtout pour le calcul des déformations de section et pour les vérifications de cisaillement.

G_c,eff = 10 001,2 MN/m² / ( 2 ⋅ ( 1 + 0,2 ) ) = 4 167,180 MN/m²

Ratio modulaire efficace à l'état non fissuré (chargement à long terme) α_e,l
Le ratio α_e,l indique à quel point l’acier est plus rigide par rapport au béton soumis à une charge à long terme. E_s est le module d’élasticité de l’acier, E_c,l est le module d’élasticité efficace du béton à l’état non fissuré (identique à E_c,eff). Étant donné que le béton a une rigidité plus faible en raison des effets à long terme tels que le fluage, la valeur de α_e,l est plus élevée dans cet état. Ce ratio est utilisé dans le calcul du centre de gravité et des propriétés de la section efficace.

α_e,l = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10 001,2 MN/m² = 20

Ratio modulaire efficace à l’état non fissuré (chargement à court terme) α_e,I,st
Le ratio α_e,I,st décrit le ratio de rigidité de l’acier sur le béton soumis à une charge à court terme. Contrairement à α_e,l, le module d’élasticité moyen E_cm est utilisé ici sans considérer les effets de fluage. Cela reflète la situation de charge réelle lorsque le béton n’est chargé que pendant une courte période. Cette valeur est particulièrement importante pour le calcul des charges à court terme.

α_e,I,st = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 30 000 MN/m² = 6,67

Ratio modulaire efficace à l’état fissuré α_e,II
À l’état fissuré, le béton dans la zone en traction n’est pas considéré comme porteur. Le ratio α_e,II permet d’en tenir compte en incluant uniquement le module d’élasticité efficace du béton E_c,eff. Cette valeur montre que la rigidité de l’acier est plus élevée à l’état fissuré que dans le béton, ce qui souligne l’importance des armatures dans de tels cas.

α_e,II = 2 ⋅ 10⁵ MN/m² / 10 001,2 MN/m² = 20,00

Paramètres géométriques pour l’état non fissuré

La distance au centre de gravité de la section idéale à l’état non fissuré soumis à une charge à long terme z_I décrit la position du centre de gravité en considérant la surface en béton et les armatures. L’effet des armatures est normalisé par un facteur de conversion α_e,l qui représente le rapport entre le module d’élasticité de l’acier et le module d’élasticité efficace du béton. C’est particulièrement important car les charges à long terme, telles que le fluage, fragilisent le béton. Le centre de gravité affecte le calcul des moments et des déformations dans la section et constitue donc un paramètre central pour le calcul de structure.

L’aire efficace de la section à l'état non fissuré au chargement à long terme, A_I, représente les charges de l’aire efficace. Outre l’aire du béton, l’aire des armatures est également prise en compte, et complétée par le facteur α_e,l. La rigidité de la section est ainsi affichée de manière plus réaliste. Cette valeur est déterminante pour l’évaluation de la capacité portante et pour le calcul de la déformation du composant structural.

A_I = 1 000 mm ⋅ 200 mm + 20 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2 089,05 cm²

Le moment d’inertie efficace du centre de gravité idéal à l’état non fissuré sous chargement à long terme, I_I, décrit la résistance à la flexion de la section. Il prend en compte à la fois la surface du béton et les armatures, bien que cela génère des moments supplémentaires en raison de la position par rapport au centre de gravité. Ce moment d’inertie est un facteur clé dans l’analyse des déformations et il montre les moments fléchissants que la section peut supporter.

L’excentrement du centre de gravité idéal de la section à l'état non fissuré, e_I, indique l’écart entre le centre de gravité et le centre géométrique de la section. Cet excentrement est important car il affecte les moments développés dans la section, qui affectent directement les déformations.

e_I = 103 mm - 200 mm / 2 = 3 mm

La distance au centre de gravité de la section idéale à l’état non fissuré soumis à un chargement à court terme z_I,st décrit la position du centre de gravité sous charges sans considération des effets de fluage ou de retrait. Le facteur de conversion α_e,I,st utilisé dans le calcul à court terme est donc inférieur à celui des charges à long terme. Cette distance au centre de gravité est déterminante pour la distribution des charges et la détermination des moments dans les chargements à court terme.

L’aire de la section efficace à l'état non fissuré au chargement à court terme, A_I,st, est similaire à l’aire A_I mais ajustée par le facteur de conversion α_e,I,st, qui ne tient pas compte des effets à long terme. L’aire sera alors plus petite et aura un impact sur le calcul de la résistance pour les charges à court terme.

A_I,st = 1 000 mm ⋅ 200 mm + 6,67 ⋅ ( 4,45 cm² + 0 cm² ) = 2 029,69 cm²

Le moment d’inertie efficace du centre de gravité idéal à l’état non fissuré sous chargement à court terme, I_I,st, représente la résistance de la section à la flexion sans influence des effets à long terme. Il prend en compte à la fois l’aire du béton et des armatures et leur distance au centre de gravité, cruciales pour le calcul de la déformation sous charges à court terme.

Paramètres géométriques pour l’état fissuré

La distance au centre de gravité de la section idéale à l'état fissuré, z_II , prend en compte la résistance modifiée de la section, car la zone de traction du béton ne supporte plus aucune charge après la formation des fissures. La position du centre de gravité sera recalculée en considérant uniquement la zone de compression et des armatures du béton. Ce paramètre est essentiel pour l'analyse de la section après la fissure et affecte la résistance et la déformation.

L' aire de section efficace à l'état fissuré,_AII , représente l'aire restante après la formation des fissures. Seules la zone de compression du béton et l'aire d'armatures sont considérées, ce qui réduit considérablement la rigidité de la section. Cette valeur est cruciale pour la vérification à l'état limite ultime dans le cas de sections fissurées.

A_II = 1 000 mm ⋅ 46,8 mm + 20 ⋅ (4,45 cm² + 0) = 557,41 cm²

Le moment d'inertie efficace du centre de gravité idéal à l'état fissuré, I_II , décrit la résistance à la flexion après la fissuration. Étant donné que la zone en traction n'est plus porteuse, le moment d'inertie est considérablement réduit. Cette valeur est un facteur essentiel pour le calcul de la déformation et pour l'évaluation de la résistance des sections fissurées.

L' excentrement du centre de gravité de la section idéale 's à l'état fissuré, e_II , décrit le déplacement du centre de gravité dû à la formation des fissures. Ce déplacement affecte les moments résultants et la déformation de la section, c'est donc un paramètre important pour le calcul de structure.

e_II = 46,8 mm - 200 mm/2 = -53,2 mm

Retrait,

L’ effort normal dû au retrait, N_sh survient car les armatures ne supportent pas la déformation du béton causée par le retrait et absorbent ainsi les efforts. Ces efforts résultent de l'interaction entre l'effort de traction du béton et la réponse de l'armature. La valeur calculée montre la charge de retrait des armatures. À ce stade, la déformation de retrait ε_sh = -0,5 ‰, qui est définie indirectement par l'utilisateur, est utilisée.

N_sh = -2 ⋅ 10⁵ MN/m² ⋅ ( -0,000,5 ) ⋅ ( 4,45 cm² + 0,00 ) = 44,532 kN

L' excentrement de l'effort de retrait du centre de gravité de la section idéale à l'état non fissuré e_{sh, I} décrit la position de l'effort de retrait résultant par rapport au centre de gravité de la section. Un excentrement plus important entraîne des moments et des déformations plus importants.

e_sh,I = (4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0)/(4,45 cm² + 0) - 103 mm = 67 mm

Le moment de retrait à l'état non fissuré M_sh,I résulte de la force de retrait N_sh et de l'excentrement e_sh,I. Il montre comment la force de retrait crée un moment via son effet sur la section. Ce moment a une influence importante sur les déformations et les contraintes dans la section et doit être considéré dans le calcul.

M_sh,I = 44,532 kN ⋅ 67 mm = 2,98 kNm

Le coefficient de courbure pour l'état non fissuré k_sh,I indique le comportement du moment de retrait par rapport à l'effort normal et à l'excentrement. Il montre comment la distribution de l'effort de retrait et la position du centre de gravité influencent les déformations du composant structural. Cette valeur est cruciale pour décrire complètement les déformations de la section dues au retrait.

k_sh,I = ( 2,98 kNm + 18,5 kNm - 0 )/( 18,50 kNm – 0 ) = 1,161

L' excentrement de l'effort de retrait du centre de gravité de la section idéale à l'état fissuré e_sh,II décrit la position de l'effort de retrait résultant par rapport au centre de gravité de la section dans l'état fissuré état. Les moments d'aire de l'armature A_{s,def, +z,(bas)} et A_{s,def, -z,(haut)} sont déterminés par rapport à leur position, d_{ef, +z,(bas)} et d_{ef, -z,(haut)} et le divise par l'aire totale d'armatures. La distance au centre de gravité de la section fissurée, z_II, est soustraite du résultat. Cet excentrement affecte le moment de retrait, car un excentrement plus important entraîne un moment plus important.

e_sh,II = (4,45 cm² ⋅ 170 mm + 0)/(4,45 cm² + 0) – 46,8 mm = 123,2 mm

Le moment fléchissant de l'effort normal N_sh pour l'état fissuré M_sh,II est obtenu en multipliant l'effort de retrait N_sh par l'excentrement e_sh,II calculé précédemment. Ce moment décrit la contrainte de flexion supplémentaire agissant sur la section due à la force de retrait. Cette valeur est particulièrement importante à l'état fissuré, où la zone de traction du béton ne supporte plus aucune charge.

M_sh,II = 44,532 kN ⋅ 123,2 mm = 5,48 kNm

Le coefficient de courbure pour l'état fissuré k_sh,II indique à quel point la déformation de la section est influencée par le moment de retrait et les autres forces agissantes. Le moment de retrait M_sh,II, le moment fléchissant existant My_,Ed,def ainsi que l'effort normal N_Ed et son excentrement_eII sont pris en compte. Le calcul place le moment résultant proportionnellement au moment sans retrait et fournit ainsi une mesure de l'influence de la force de retrait.

k_sh,II = ( 5,48 kNm + 18,50 kNm - 0 )/( 18,50 kNm - 0 ) = 1,296

déformation de la section

Une déformation de section est une courbure d'un composant structural causée par des actions externes, en tenant compte de ses paramètres de matériau et d'état.

Le calcul de la déformation de la section à l'état non fissuré, κ_I , décrit la courbure de la section causée par le moment de retrait et les propriétés élastiques du matériau. Le moment de retrait My_,Ed,def est considéré, ainsi que l'effort normal_NEd et son excentrement e_I. Ces valeurs sont multipliées par le facteur k_{sh, I}, qui décrit l'influence du moment de retrait à l'état non fissuré. Le dénominateur inclut le module d'élasticité efficace du béton, E_c,eff et le moment d'inertie de la section non fissurée, I_I, qui déterminent la rigidité de la section'.

κ_I = (1,161 ⋅ (18,50 kNm - 0))/(10 001,2 MN/m² ⋅ 70 844,30 cm⁴)
= 3 mrad/m

Le calcul de la déformation de la section à l'état fissuré, κ_II , indique la courbure de la section après la formation des fissures, en tenant compte du moment de retrait et de la résistance réduite de la section fissurée. Ici, le moment de retrait My_,Ed,def, l'effort normal_NEd et son excentrement_eII sont multipliés par le facteur k_sh,II, qui décrit l'influence du moment de retrait à l'état fissuré. Dans le dénominateur, le module d'élasticité efficace du béton, E_c,eff et le moment d'inertie réduit de la section fissurée, I_II, sont perdus, ce qui reflète la section 's plus petite rigidité. La déformation de la section à l'état fissuré est considérablement plus élevée qu'à l'état non fissuré car la rigidité de la section fissurée est réduite.

κ_II = (1,296 ⋅ (18,50 kNm - 0))/(10 001,2 MN/m² ⋅ 16 933,50 cm⁴) = 14,2 mrad/m

État final

L'état final décrit les contraintes maximales qui peuvent survenir dans la section non fissurée sous chargement à long terme et à court terme afin de garantir la capacité portante et l'ELS du composant structural.

La contrainte maximale à l'état non fissuré sous chargement à long terme, σ_max, décrit la contrainte maximale qui peut survenir dans la section non fissurée suite au chargement à long terme. Il se compose de deux parties :

• contribution des efforts normaux_NEd et_Nsh
• la contribution des moments fléchissants My_,Ed,def, M_sh,I et du moment résultant de l'excentrement (z_I - h/2) de l'effort normal_NEd.

La deuxième partie est amplifiée par le moment d'inertie I_I et la distance (h - z_I ).

La contrainte maximale à l'état non fissuré sous chargement à court terme, σ_max,st indique la contrainte la plus élevée dans la section soumise à des charges à court terme. Seuls les efforts normaux_NEd et My_,Ed,def sont considérés contrairement au chargement à long terme, car il n'y a pas d'efforts internes dus au retrait.

La contrainte maximale à l'état non fissuré, σ_max , est la plus élevée des deux valeurs de contrainte due au chargement à long terme et à court terme. Il garantit que la charge la plus élevée possible sur la section est prise en compte.

σ =_max ( 3,155 MN/m²; 2,689 MN/m²)
= 3,155 MN/m²

Le coefficient de distribution ζ_d décrit la transition entre le comportement de la section à l'état non fissuré et à l'état fissuré. Celle-ci est calculée par le rapport entre la résistance caractéristique en traction du béton f_ctm et la contrainte maximale σ_max. Dans ce cas, la non-linéarité est considérée par la relation exponentielle.

ζ_d = 1 - 0,5 ⋅ (2 200 MN/m²/3,155 MN/m²)²
= 0,757 ≤ 1
Où :
β = 1,0 (chargement à court terme)
β = 0,5 (chargement à long terme ou plusieurs cycles de chargement répétitif)
Si le coefficient de distribution ζ_d = 1, le composant structural est à l'état fissuré. En revanche, si ζ_d est égal à 0, le béton n'est pas fissuré.

Pour le calcul du coefficient de distribution ζ_d, l'option sélectionnée pour la détection de l'état de fissuration est importante. Lorsque vous sélectionnez l'option « État fissuré calculé d'après la charge associée », l'état de fissuration (coefficient de distribution ζ_d ) est calculé exclusivement à partir de la charge actuelle (combinaison de charges), comme dans cet exemple. Les autres options sont décrites dans le manuel.

La courbure de la section, κ_f , est calculée par interpolation entre les états fissuré (κ_II ) et non fissuré (κ_I ), pondérés par le coefficient de distribution ζ_d. Cela permet une description réaliste du comportement de la courbure à l'état de transition.

κ_f = 0,757 ⋅ 14,2 mrad/m + (1 – 0,757) ⋅ 3 mrad/m
= 11,5 mrad/m
L' aire de la section idéale A_f décrit la transition entre l'aire de la section non fissurée A_I et l'aire de la section fissurée A_II. Une fois encore, la pondération est effectuée par le coefficient de distribution ζ_d.


Le moment d'inertie idéal I_y,f décrit le moment de la section en tenant compte du coefficient de distribution ζ_d ainsi que des moments d'inertie à l'état non fissuré I_I et à l'état fissuré I_II. Des facteurs supplémentaires tels que k_sh,II et k_sh,I considèrent les effets du retrait dans l'état correspondant.


L' excentrement du centre de gravité,_ef , décrit la position du centre de gravité résultant de la section, basée sur la transition entre les états non fissuré et fissuré. Il prend en compte le coefficient de distribution ζ_d, ainsi que les modules d'élasticité respectifs E_{c, eff}, et les moments d'inertie I_I et I_II.


Le moment d'inertie idéal au centre géométrique de la section I_y,0,f considère en plus du moment d'inertie idéal I_y,f et de l'aire de section idéale A_f ainsi que le décalage des Centre de gravité en raison de l'excentrement e_f. Ce déplacement est pris en compte par le composant de Steiner de A_f.

I_y,0,f = 16 145,50 cm⁴ + 678,30 cm² ⋅ (-49,2 mm)²
= 32 538,80 cm⁴

Rigidités finales

Les rigidités finales d'un composant structural décrivent sa résistance aux déformations et aux rotations sous différents types de charges. Les rigidités normales et de flexion ainsi que les rigidités de torsion et de cisaillement sont considérées. Ces valeurs servent de base à l'analyse du comportement structurel et à l'ELS d'un composant structural.
La rigidité tangente de la membrane EA_f décrit la rigidité axiale de la section en considérant le module d'élasticité efficace du béton ' E_{c, eff} et l'aire de section idéale A_f.

EA_f = 10 001,2 MN/m² ⋅ 678,30 cm²
= 678 387 kN
La rigidité en flexion tangente EI_y,0,f décrit la résistance de la section ' en flexion autour du centre de gravité idéal. Il est déterminé par le module d'élasticité efficace du béton E_c,eff et le moment idéal de l'aire I_y,0,f.

EI_y,0,f = 10 001,2 MN/m² ⋅ 32 538,80 cm⁴
= 3 254,28 kNm²
La résistance en flexion tangente EI_z,0,f décrit la résistance de la section ' en flexion autour de l'axe local z. Il est défini par le module d'élasticité efficace du béton 's E_c,eff et le moment d'inertie de l'aire autour de l'axe z I_z.

EI_z,0,f = 10 001,2 MN/m² ⋅ 1 666 670 cm⁴
= 166 687 kNm²

Le facteur r décrit la réduction de la rigidité de cisaillement basée sur le rapport des moments d'inertie idéaux I_f et I_I.

r = 16 145,50 cm⁴/70 844,30 cm⁴
= 0,228
La rigidité en cisaillement de l'axe y GA_y,f prend en compte le module de cisaillement efficace du béton 's G_c,eff, l'aire de la section A_c,y et le facteur de réduction r.

GA_y,f = 4 167,18 MN/m² ⋅ 1 666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158 284 kN
La rigidité de cisaillement de l'axe z, GA_z,f , est calculée de la même manière que pour l'axe y.

GA_z,f = 4 167,18 MN/m² ⋅ 1 666,67 cm² ⋅ 0,228
= 158 284 kN
La rigidité de torsion GI_T,f correspond dans le cas considéré à la rigidité de torsion GI_T,I à l'état non fissuré.

GI_T,f = 7 770 kNm²
L' élément de rigidité excentrique ES_y décrit la charge supplémentaire appliquée à la section causée par l'excentrement e_f. Elle est calculée à l'aide de la rigidité axiale EA_f et de l'excentrement e_f.

ES_y = 678,387 kN ⋅ ( -49,2 mm )
= -33 350,20 kNm

Flèche

La déformation réelle est comparée aux valeurs limites admissibles pour s'assurer de l'ELS. La flèche totale autour de la contre-flèche est corrigée et vérifiée par rapport aux valeurs limites spécifiées.
Lors du calcul de la flèche, la combinaison de charge principale est considérée sans effets dépendant du temps tels que le fluage et le retrait (à court terme), tandis que les combinaisons de charges correspondantes sont toujours calculées avec des propriétés dépendantes du temps (long terme). Si plusieurs charges correspondantes sont disponibles, la flèche de la charge avec la valeur la plus élevée est prise comme base.
La flèche limite dans la direction z uz_,lim est calculée à l'aide de la longueur de référence dans la direction z L_z,ref et du critère de flèche limite L_z,ref/u_z,lim.

u_z,lim = 4,210 m/250 = 16,8 mm
La flèche dans la direction z,_uz , résulte de la différence entre la flèche totale uz_,tot et la contre-flèche à l'emplacement x,_uz,c.

u_z = 19,4 mm - 0 = 19,4 mm

Vérification

η = max( 19,4 mm / 16,8 mm; 0,0 mm / 16,8 mm ) = 1,155 Si η = 1,155 > 1, la flèche admissible est dépassée !

Conclusion

Le calcul des déformations selon les méthodes d'approximation définies dans les normes, telles que l'analyse des déformations selon la Section 7.4.3 de l'EN 1992-1-1, est effectuée à l'aide des rigidités efficaces calculées dans les éléments finis selon l'état limite (fissuré ou non). Ces rigidités efficaces constituent la base pour le calcul ultérieur de la déformation du composant structural à l'aide d'une autre analyse aux éléments finis.

La section en béton armé est considérée pour la détermination des rigidités efficaces, où la section en béton armé est classée comme « fissurée » ou « non fissurée » pour l'état limite de service sur la base des efforts internes déterminés. L'effet du béton entre les fissures est considéré par un coefficient de distribution, par exemple selon l'Équation 7.19 (EN 1992-1-1). Le comportement du béton est supposé être élastique linéaire jusqu'à la résistance en traction du béton, qui est suffisamment précise pour l'ELS.

Les effets à long terme du fluage et du retrait sont pris en compte lors de la détermination des rigidités efficaces au niveau de la section du composant structural afin de garantir une représentation réaliste des déformations soumises aux charges à long terme.