5703x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2020-12-18

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 2

Poprzedni artykuł „Zwichrzenie w konstrukcjach drewnianych | Przykład 1 wyjaśnia praktyczne zastosowanie wyznaczania krytycznego momentu zginającego_Mcrit lub krytycznego naprężenia zginającego_σcrit dla wyboczenia bocznego belki's. W tym artykule moment krytyczny określany jest z uwzględnieniem podparcia sprężystego wynikającego z układu tężników dachowych.

Model analityczny

W przypadku układu pokazanego na rys. 01 należy przeprowadzić analizę elementów kratownicy pod kątem zwichrzenia. W płaszczyźnie dachu dostępnych jest sześć prętów kratownicowych w postaci równoległych belek o długości 18 m i dwóch stężeń usztywniających. Belki po stronie szczytowej są podparte słupami i nie są uwzględniane w obliczeniach. Na prętach kratowych działa obciążenie obliczeniowe q_d o wartości 10 kN/m.

1 Model konstrukcyjny

Dane modelu

[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	18	m	Długość belki
b	120	mm	Szerokość belki
h	1,200	mm	Wysokość belki
GL24h	-	-	Materiał zgodnie z EN 14080
I_Z	172.800.000	mm⁴	Moment bezwładności
I_T	647.654.753	mm⁴	Moment bezwładności przy skręcaniu swobodnym
q_d	10	kN/m	obciążenie obliczeniowe
a_z	600	mm	Pozycja obciążenia
e	600	mm	Położenie fundamentu

Uwaga: Nawet jeżeli poniższe równania dla E i G nie odnoszą się bezpośrednio do 5%-kwantylów we wskaźniku, zostały one odpowiednio uwzględnione.

Belka jednoprzęsłowa podparta bocznie i skrętnie, bez podpór pośrednich

2 Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym bez podpór pośrednich

Dla kompletności analizowany jest pręt kratownicy, bez podpór bocznych (patrz Rysunek 02). Równoważna długość pręta wynika z przyłożenia obciążenia na górną stronę kratownicy o a₁ = 1,13 i a₂ = 1,44 w następujący sposób:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{Z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	długość pręta zastępczego
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość belki, rozstaw podpór bocznych
a₁ , a₂	Współczynniki korekcyjne dla wyboczenia giętnego
a_z	odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_Z	moment bezwładności wokół osi drugorzędnej
I_T	Moment bezwładności przy skręcaniu

długość pręta zastępczego

l_ef = 17,79 m

Moment krytyczny można obliczyć w następujący sposób:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Krytyczny moment zginający
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_Z	moment bezwładności wokół osi drugorzędnej
I_T	Moment bezwładności przy skręcaniu
l_ef	długość pręta zastępczego

Krytyczny moment zginający

_Mkryt = 134,52 kNm

W przykładach tych nie stosuje się zwiększania iloczynu 5%-kwantylów właściwości sztywności w wyniku ujednolicenia belek wykonanych z drewna klejonego warstwowo.

Moment zginający działający na kratownice jest następujący:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_{[CRASHREASON.DESCRIPTION]}	Moment obliczeniowy
q_{[CRASHREASON.DESCRIPTION]}	obciążenie obliczeniowe
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość belki

Moment obliczeniowy

M_d = 405,00 kNm

Analiza wartości własnych przeprowadzana w module dodatkowym RF-/FE-LTB zapewnia współczynnik obciążenia krytycznego wyboczeniem wynoszący 0,3334. Skutkuje to powstaniem krytycznego momentu zginającego

_Mkryt = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm

i tym samym jest identyczny z wynikiem rozwiązania analitycznego.

3 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

Jak można było oczekiwać w przypadku tego niepodpartego, smukłego pręta kratowego, działający moment zginający jest większy (współczynnik 3) niż krytyczny moment zginający, w związku z czym kratownica nie jest wystarczająco zabezpieczona przed zwichrzeniem. Stężenie powinno jednak przeciwdziałać, co jest teraz uwzględniane w obliczeniach.

Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym, ze sztywnymi podporami pośrednimi

4 Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym ze sztywnymi podporami pośrednimi

Jeżeli stężenie usztywniające jest wystarczająco sztywne, często jako długość pręta zastępczego do analizy zwichrzenia przyjmuje się odległość między podporami bocznymi (np. przy pomocy płatwi). Procedura ta została opisana w poprzednim artykule, Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 1.

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 1

Tym samym L przyjmuje się długość 2,25 m. Dla a₁ = 1,00 i a₂ = 0,00:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Długość pręta zastępczego
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość belki, rozstaw podpór bocznych
a₁ , a₂	Współczynniki korekcyjne dla wyboczenia giętnego
a_z	odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania
E_0,05	5% kwantyl modułu sprężystości
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_Z	moment bezwładności wokół osi drugorzędnej
I_T	Moment bezwładności przy skręcaniu

Długość pręta zastępczego

l_ef = 2,25 m

Dla krytycznego momentu zginającego uzyskuje się następujące wyniki:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Krytyczny moment zginający
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_Z	moment bezwładności wokół osi drugorzędnej
I_T	Moment bezwładności przy skręcaniu
l_ef	Długość pręta zastępczego

Krytyczny moment zginający

_Mkryt = 1 063,51 kNm

Ponieważ moment zginający działający na belkę jest mniejszy niż moment krytyczny, belka nie jest zagrożona wyboczeniem przy założeniu sztywnych podpór pośrednich.

Analiza wartości własnych z wykorzystaniem modułu dodatkowego RF-/FE-LTB zapewnia współczynnik obciążenia krytycznego wyboczeniem wynoszący 2,7815. Skutkuje to powstaniem krytycznego momentu zginającego

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Krytyczny moment zginający
η	współczynnik obciążenia krytycznego
M_{[CRASHREASON.DESCRIPTION]}	Moment obliczeniowy

Krytyczny moment zginający

_Mcrit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym oraz sprężystym podłożem prętów

Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym oraz sprężystym podłożem prętowym

Jak w przypadku zwichrzenia w konstrukcjach drewnianych | W [1] określenie równoważnych długości prętów zostało rozszerzone o współczynniki α i β dla prętów o podłożu sprężystym.

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Metoda wymiarowania:

W ten sposób możliwe jest uwzględnienie sztywności stężenia na ścinanie w przypadku wyboczenia giętnego elementów kratownicy. Sztywność 'stężenia na ścinanie na ścinanie można wyznaczyć np. zgodnie z [2] Rysunek 6.34. Jak widać z powyższego, zależy to od rodzaju stężenia, odkształceniowej sztywności krzyżulców i słupków, nachylenia krzyżulców i ciągliwości elementów mocujących. W przypadku stężeń pokazanych na rysunku 01 sztywność na ścinanie wynosi:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających
E_D	5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych
[LinkToImage04]_D	Pole przekroju krzyżulców
α	Kąt pomiędzy krzyżulcami a pasami

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

Tutaj E_D jest modułem sprężystości przekątnych, a A_D jest ich polem przekroju. Powyższe równanie nie uwzględnia jednak ciągliwości łączników diagonalnych'. To oraz wydłużenie pręta przekątnych można uwzględnić za pomocą umownego pola przekroju_AD '. Co następuje:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających
E_D	5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych
[LinkToImage04]_D'	Umowne pole przekroju krzyżulców
α	Kąt pomiędzy krzyżulcami a pasami

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

Gdzie

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

[LinkToImage04]_D'	Umowne pole przekroju krzyżulców
[LinkToImage04]_D	Pole przekroju krzyżulców
E_D	5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych
L_D	Długość przekątnych
K_ser	Moduł poślizgu połączenia

Umowne pole przekroju przekątnych

Krzyżulce mają wymiar w/h = 120/200 mm i długość L_D 4,59 m. Moduł poślizgu połączenia po obu stronach przekątnych powinien wynosić 110 000 N/mm.

Idealne pole przekroju to odpowiednio

A_D ' = 12 548 mm²

a tym samym sztywność na ścinanie stężenia przy kącie przekątnej do pasa 60,64 °

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających
E_D	5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych
[LinkToImage04]_D'	Umowne pole przekroju krzyżulców
α	Kąt pomiędzy krzyżulcami a pasami

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

s_id = 44,864 kN

Fundament prętów na stężenia można przeliczyć według [2] wzoru 7.291 w następujący sposób:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Sprężyste podparcie pręta na stężenie
s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość stężenia

Sprężyste podparcie pręta na stężenie

W przypadku dwóch stężeń i sześciu prętów kratownicowych dostępna jest następująca stała sprężystości dla każdej kratownicy:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastyczne podparcie pręta na pręt kratownicowy
K_y'	Sprężyste podparcie pręta na stężenie

Sprężyste podłoże pręta na pręt kratownicy

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Zakładając, że K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 oraz a₂ = 1,44, równoważna długość pręta wynosi:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	długość pręta zastępczego
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość belki, rozstaw podpór bocznych
a₁ , a₂	Współczynniki korekcyjne dla wyboczenia giętnego
a_z	odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_Z	moment bezwładności wokół osi drugorzędnej
I_T	Moment bezwładności przy skręcaniu
α, β	Czynniki uwzględniające fundament prętowy

długość pręta zastępczego

l_ef = 0,13

Zatem krytyczny moment zginający daje nierealistyczną wartość:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Krytyczny moment zginający
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_Z	moment bezwładności wokół osi drugorzędnej
I_T	Moment bezwładności przy skręcaniu
l_ef	Długość pręta zastępczego

Krytyczny moment zginający

_Mkryt = 18 482,84 kNm

Należy się spodziewać wartości zbliżonej do układu ze sztywnymi podporami pośrednimi. Jak w przypadku zwichrzenia w konstrukcjach drewnianych | teorii, zastosowanie rozszerzonego wzoru z α i β jest ograniczone.

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Metoda wymiarowania:

Ściśle mówiąc, jest ono poprawne tylko wtedy, gdy postać wyboczenia ma kształt pojedynczego, dużego łuku sinusoidalnego. Innymi słowy, jeśli podłoże jest bardzo miękkie. Nie jest to już podane w tym przykładzie. Wielofalowe funkcje własne, które przy większej stałej sprężystości prowadzą do niewielkiego obciążenia krytycznego przy wyboczeniu, nie są uwzględnione w powyższym równaniu, ponieważ są oparte na analizie jednomianowej sinus.

Jak widać na rysunku 07, wielofalowy wektor własny wynika z analizy wartości własnych.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

W takim przypadku można zastosować metodę zastosowaną przez prof. dr Heinricha Kreuzingera (2020). Krytyczny moment zginający oblicza się w następujący sposób:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Krytyczny moment zginający
a_z	odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania
e	odległość sprężystej podpory pręta od środka ścinania
K_y	Elastyczne podparcie pręta na pręt kratownicowy
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość belki
n	^n-ty eigensolution
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
I_Z	moment bezwładności wokół osi drugorzędnej
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_T	Moment bezwładności przy skręcaniu

Krytyczny moment zginający

Stała n oznacza pierwsze, drugie, trzecie itd. rozwiązanie własne. Z tego względu konieczne jest przeanalizowanie kilku rozwiązań własnych, od których decydujące znaczenie ma najmniejszy krytyczny moment zginający. Poniżej przedstawiono momenty krytyczne zginające dla n = 1…30.

n	M_kryt. [kNm]	n	M_kryt.[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Wartość_Mkryt . staje się minimalna dla n = 6 i wynosi około 1,282,70 kNm.

Rozwiązanie oparte na wartościach własnych z modułu dodatkowego RF-/FE-LTB (patrz Rysunek 07) daje następujące wyniki:

_Mcrit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1 397,25 kNm

Oba wyniki są bardzo dobre. Rozwiązanie analityczne jest jednak bezpieczne, ponieważ metoda ta opiera się na stałym rozkładzie momentów zginających. Następnie stałemu krytycznemu momentowi zginającemu Mkryt przyporządkowane jest obciążenie krytyczne_qkryt.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_kryt.	obciążenie krytyczne
M_crit	Krytyczny moment zginający
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość belki

Obciążenie krytyczne

Ponieważ podparcie prętowe w tym przykładzie jest traktowane jako bardzo sztywne i jest stale rozłożone na długości pręta kratownicy, powstają krytyczne momenty zginające, które są nieco większe niż w przypadku sztywnych podpór pojedynczych.

Zgodnie z [3] rozdział 9.2.5.3 (2) stężenia muszą być wystarczająco sztywne, aby nie przekraczały ugięcia poziomego L/500. Obliczenia należy przeprowadzić z uwzględnieniem obliczeniowych wartości sztywności (patrz [1] rozdział NCI do 9.2.5.3).

Dla_kcrit = 0,195, H = 5 m i q_p = 0,65 kN/m² jako ciśnienia prędkości podmuchu, powstają następujące obciążenia (patrz [3] rozdział 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_{[CRASHREASON.DESCRIPTION]}	Siła stabilizująca dla pasa ściskanego
k_kryt.	Wsp. bocznej stateczności
M_{[CRASHREASON.DESCRIPTION]}	Moment obliczeniowy
H	Wysokość belki

Siła stabilizująca dla cięciwy ściskanej

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_{[CRASHREASON.DESCRIPTION]}	Obciążenie usztywniające
n	Liczba prętów kratownicy
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Długość belki
k_{f, 3}	Współczynnik modyfikujący dla nośności usztywnienia

Obciążenie usztywniające

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_{d, wiatr}	Obliczeniowe obciążenie wiatrem
γ_Q	Częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zmiennego oddziaływania
c_pe	Współczynnik ciśnienia zewnętrznego
q_P	Szczytowe ciśnienie prędkości
h	Wysokość budynku

Obliczenia obciążenia wiatrem

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5/2 = 2,44 kN/m

Odkształcenie stężenia usztywniającego pokazano na rysunku 08. Obciążenia zostały podzielone na pół ze względu na dwa stężenia usztywniające.

Poziome przemieszczenie stężenia usztywniającego

Dopuszczalne odkształcenie wynosi:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dozwolone odkształcenie

Wynik potwierdza założenie, że stężenie stężenia jest bardzo sztywne i jest zgodny z prawie identycznymi momentami krytycznymi układu ze sztywnymi podporami pośrednimi i układu ze sprężystym podłożem prętowym.

Uwagi końcowe

Pokazano, jakie możliwości w konstrukcjach drewnianych można wykorzystać do analizy zwichrzenia belek zginanych. W przypadku typowych metod ważne jest, aby stężenia usztywniające były wystarczająco sztywne, aby pomieścić sztywne podpory. W tym artykule pokazano możliwości w przypadkach, w których założenie to nie ma zastosowania. Zasadniczo, belki zginane i stężenia usztywniające należy zaprojektować pod kątem ich nośności i użytkowalności zgodnie z odpowiednią normą. Jednak wykracza to poza zakres tego artykułu.

Baza informacji

KB 001669 | Zwichrzenie w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 2

Autor

Pan Rehm jest odpowiedzialny za rozwój produktów do konstrukcji drewnianych i zapewnia wsparcie techniczne dla klientów.

Odnośniki

Odniesienia

Załącznik krajowy - Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Ogólne - Reguły ogólne i reguły dla budynków; DIN EN 1995‑1-1/NA:2013-08
Petersen, C. (1982). Statik und Stabilität der Baukonstruktionen , red.). Wiesbaden: Widokeg.
Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków; DIN EN 1995-1-1:2010-12

;