Model analityczny
W przypadku układu pokazanego na rys. 01 należy przeprowadzić analizę elementów kratownicy pod kątem zwichrzenia. W płaszczyźnie dachu dostępnych jest sześć prętów kratownicowych w postaci równoległych belek o długości 18 m i dwóch stężeń usztywniających. Belki po stronie szczytowej są podparte słupami i nie są uwzględniane w obliczeniach. Na prętach kratowych działa obciążenie obliczeniowe qd o wartości 10 kN/m.
Dane modelu
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | 18 | m | Długość belki |
b | 120 | mm | Szerokość belki |
h | 1,200 | mm | Wysokość belki |
GL24h | - | - | Materiał zgodnie z EN 14080 |
IZ | 172.800.000 | mm4 | Moment bezwładności |
IT | 647.654.753 | mm4 | Moment bezwładności przy skręcaniu swobodnym |
qd | 10 | kN/m | obciążenie obliczeniowe |
az | 600 | mm | Pozycja obciążenia |
e | 600 | mm | Położenie fundamentu |
Uwaga: Nawet jeżeli poniższe równania dla E i G nie odnoszą się bezpośrednio do 5%-kwantylów we wskaźniku, zostały one odpowiednio uwzględnione.
Belka jednoprzęsłowa podparta bocznie i skrętnie, bez podpór pośrednich
Dla kompletności analizowany jest pręt kratownicy, bez podpór bocznych (patrz Rysunek 02). Równoważna długość pręta wynika z przyłożenia obciążenia na górną stronę kratownicy o a1 = 1,13 i a2 = 1,44 w następujący sposób:
lef | długość pręta zastępczego |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość belki, rozstaw podpór bocznych |
a1 , a2 | Współczynniki korekcyjne dla wyboczenia giętnego |
az | odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
IZ | moment bezwładności wokół osi drugorzędnej |
IT | Moment bezwładności przy skręcaniu |
lef = 17,79 m
Moment krytyczny można obliczyć w następujący sposób:
Mcrit | Krytyczny moment zginający |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
IZ | moment bezwładności wokół osi drugorzędnej |
IT | Moment bezwładności przy skręcaniu |
lef | długość pręta zastępczego |
Mkryt = 134,52 kNm
W przykładach tych nie stosuje się zwiększania iloczynu 5%-kwantylów właściwości sztywności w wyniku ujednolicenia belek wykonanych z drewna klejonego warstwowo.
Moment zginający działający na kratownice jest następujący:
M[CRASHREASON.DESCRIPTION] | Moment obliczeniowy |
q[CRASHREASON.DESCRIPTION] | obciążenie obliczeniowe |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość belki |
Md = 405,00 kNm
Analiza wartości własnych przeprowadzana w module dodatkowym RF-/FE-LTB zapewnia współczynnik obciążenia krytycznego wyboczeniem wynoszący 0,3334. Skutkuje to powstaniem krytycznego momentu zginającego
Mkryt = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm
i tym samym jest identyczny z wynikiem rozwiązania analitycznego.
Jak można było oczekiwać w przypadku tego niepodpartego, smukłego pręta kratowego, działający moment zginający jest większy (współczynnik 3) niż krytyczny moment zginający, w związku z czym kratownica nie jest wystarczająco zabezpieczona przed zwichrzeniem. Stężenie powinno jednak przeciwdziałać, co jest teraz uwzględniane w obliczeniach.
Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym, ze sztywnymi podporami pośrednimi
Jeżeli stężenie usztywniające jest wystarczająco sztywne, często jako długość pręta zastępczego do analizy zwichrzenia przyjmuje się odległość między podporami bocznymi (np. przy pomocy płatwi). Procedura ta została opisana w poprzednim artykule, Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 1.
Tym samym L przyjmuje się długość 2,25 m. Dla a1 = 1,00 i a2 = 0,00:
lef | Długość pręta zastępczego |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość belki, rozstaw podpór bocznych |
a1 , a2 | Współczynniki korekcyjne dla wyboczenia giętnego |
az | odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania |
E0,05 | 5% kwantyl modułu sprężystości |
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]0,05 | 5 % kwantyl modułu ścinania |
IZ | moment bezwładności wokół osi drugorzędnej |
IT | Moment bezwładności przy skręcaniu |
lef = 2,25 m
Dla krytycznego momentu zginającego uzyskuje się następujące wyniki:
Mcrit | Krytyczny moment zginający |
E0,05 | 5 % kwantyl modułu sprężystości |
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]0,05 | 5 % kwantyl modułu ścinania |
IZ | moment bezwładności wokół osi drugorzędnej |
IT | Moment bezwładności przy skręcaniu |
lef | Długość pręta zastępczego |
Mkryt = 1 063,51 kNm
Ponieważ moment zginający działający na belkę jest mniejszy niż moment krytyczny, belka nie jest zagrożona wyboczeniem przy założeniu sztywnych podpór pośrednich.
Analiza wartości własnych z wykorzystaniem modułu dodatkowego RF-/FE-LTB zapewnia współczynnik obciążenia krytycznego wyboczeniem wynoszący 2,7815. Skutkuje to powstaniem krytycznego momentu zginającego
Mcrit | Krytyczny moment zginający |
η | współczynnik obciążenia krytycznego |
M[CRASHREASON.DESCRIPTION] | Moment obliczeniowy |
Mcrit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1126,50 kNm
Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym oraz sprężystym podłożem prętów
Jak w przypadku zwichrzenia w konstrukcjach drewnianych | W [1] określenie równoważnych długości prętów zostało rozszerzone o współczynniki α i β dla prętów o podłożu sprężystym.
W ten sposób możliwe jest uwzględnienie sztywności stężenia na ścinanie w przypadku wyboczenia giętnego elementów kratownicy. Sztywność 'stężenia na ścinanie na ścinanie można wyznaczyć np. zgodnie z [2] Rysunek 6.34. Jak widać z powyższego, zależy to od rodzaju stężenia, odkształceniowej sztywności krzyżulców i słupków, nachylenia krzyżulców i ciągliwości elementów mocujących. W przypadku stężeń pokazanych na rysunku 01 sztywność na ścinanie wynosi:
sid | Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających |
ED | 5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych |
[LinkToImage04]D | Pole przekroju krzyżulców |
α | Kąt pomiędzy krzyżulcami a pasami |
Tutaj ED jest modułem sprężystości przekątnych, a AD jest ich polem przekroju. Powyższe równanie nie uwzględnia jednak ciągliwości łączników diagonalnych'. To oraz wydłużenie pręta przekątnych można uwzględnić za pomocą umownego pola przekrojuAD '. Co następuje:
sid | Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających |
ED | 5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych |
[LinkToImage04]D' | Umowne pole przekroju krzyżulców |
α | Kąt pomiędzy krzyżulcami a pasami |
Gdzie
[LinkToImage04]D' | Umowne pole przekroju krzyżulców |
[LinkToImage04]D | Pole przekroju krzyżulców |
ED | 5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych |
LD | Długość przekątnych |
Kser | Moduł poślizgu połączenia |
Krzyżulce mają wymiar w/h = 120/200 mm i długość LD 4,59 m. Moduł poślizgu połączenia po obu stronach przekątnych powinien wynosić 110 000 N/mm.
Idealne pole przekroju to odpowiednio
AD ' = 12 548 mm²
a tym samym sztywność na ścinanie stężenia przy kącie przekątnej do pasa 60,64 °
sid | Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających |
ED | 5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych |
[LinkToImage04]D' | Umowne pole przekroju krzyżulców |
α | Kąt pomiędzy krzyżulcami a pasami |
sid = 44,864 kN
Fundament prętów na stężenia można przeliczyć według [2] wzoru 7.291 w następujący sposób:
Ky' | Sprężyste podparcie pręta na stężenie |
sid | Idealna sztywność na ścinanie stężeń usztywniających |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość stężenia |
W przypadku dwóch stężeń i sześciu prętów kratownicowych dostępna jest następująca stała sprężystości dla każdej kratownicy:
Ky | Elastyczne podparcie pręta na pręt kratownicowy |
Ky' | Sprężyste podparcie pręta na stężenie |
Ky = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²
Zakładając, że KG = ∞, Kθ = 0, Ky = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a1 = 1,13 oraz a2 = 1,44, równoważna długość pręta wynosi:
lef | długość pręta zastępczego |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość belki, rozstaw podpór bocznych |
a1 , a2 | Współczynniki korekcyjne dla wyboczenia giętnego |
az | odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
IZ | moment bezwładności wokół osi drugorzędnej |
IT | Moment bezwładności przy skręcaniu |
α, β | Czynniki uwzględniające fundament prętowy |
lef = 0,13
Zatem krytyczny moment zginający daje nierealistyczną wartość:
Mcrit | Krytyczny moment zginający |
E0,05 | 5 % kwantyl modułu sprężystości |
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]0,05 | 5 % kwantyl modułu ścinania |
IZ | moment bezwładności wokół osi drugorzędnej |
IT | Moment bezwładności przy skręcaniu |
lef | Długość pręta zastępczego |
Mkryt = 18 482,84 kNm
Należy się spodziewać wartości zbliżonej do układu ze sztywnymi podporami pośrednimi. Jak w przypadku zwichrzenia w konstrukcjach drewnianych | teorii, zastosowanie rozszerzonego wzoru z α i β jest ograniczone.
Ściśle mówiąc, jest ono poprawne tylko wtedy, gdy postać wyboczenia ma kształt pojedynczego, dużego łuku sinusoidalnego. Innymi słowy, jeśli podłoże jest bardzo miękkie. Nie jest to już podane w tym przykładzie. Wielofalowe funkcje własne, które przy większej stałej sprężystości prowadzą do niewielkiego obciążenia krytycznego przy wyboczeniu, nie są uwzględnione w powyższym równaniu, ponieważ są oparte na analizie jednomianowej sinus.
Jak widać na rysunku 07, wielofalowy wektor własny wynika z analizy wartości własnych.
W takim przypadku można zastosować metodę zastosowaną przez prof. dr Heinricha Kreuzingera (2020). Krytyczny moment zginający oblicza się w następujący sposób:
Mcrit | Krytyczny moment zginający |
az | odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania |
e | odległość sprężystej podpory pręta od środka ścinania |
Ky | Elastyczne podparcie pręta na pręt kratownicowy |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość belki |
n | n-ty eigensolution |
E0,05 | 5 % kwantyl modułu sprężystości |
IZ | moment bezwładności wokół osi drugorzędnej |
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]0,05 | 5 % kwantyl modułu ścinania |
IT | Moment bezwładności przy skręcaniu |
Stała n oznacza pierwsze, drugie, trzecie itd. rozwiązanie własne. Z tego względu konieczne jest przeanalizowanie kilku rozwiązań własnych, od których decydujące znaczenie ma najmniejszy krytyczny moment zginający. Poniżej przedstawiono momenty krytyczne zginające dla n = 1…30.
n | Mkryt. [kNm] | n | Mkryt.[kNm] |
---|---|---|---|
1 | 9.523,25 | 16 | 2.214,63 |
2 | 4.281,26 | 17 | 2.339,17 |
3 | 2.294,32 | 18 | 2.464,92 |
4 | 1.605,56 | 19 | 2.591,63 |
5 | 1.354,68 | 20 | 2.719,14 |
6 | 1.282,70 | 21 | 2.847,30 |
7 | 1.294,12 | 22 | 2.976,00 |
8 | 1.348,81 | 23 | 3.105,16 |
9 | 1.428,05 | 24 | 3.234,71 |
10 | 1.522,29 | 25 | 3.364,60 |
11 | 1.626,24 | 26 | 3.494,77 |
12 | 1.736,77 | 27 | 3.625,20 |
13 | 1.851,94 | 28 | 3.755,84 |
14 | 1.970,50 | 29 | 3.886,67 |
15 | 2.091,60 | 30 | 4.017,68 |
WartośćMkryt . staje się minimalna dla n = 6 i wynosi około 1,282,70 kNm.
Rozwiązanie oparte na wartościach własnych z modułu dodatkowego RF-/FE-LTB (patrz Rysunek 07) daje następujące wyniki:
Mcrit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1 397,25 kNm
Oba wyniki są bardzo dobre. Rozwiązanie analityczne jest jednak bezpieczne, ponieważ metoda ta opiera się na stałym rozkładzie momentów zginających. Następnie stałemu krytycznemu momentowi zginającemu Mkryt przyporządkowane jest obciążenie krytyczneqkryt.
qkryt. | obciążenie krytyczne |
Mcrit | Krytyczny moment zginający |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość belki |
Ponieważ podparcie prętowe w tym przykładzie jest traktowane jako bardzo sztywne i jest stale rozłożone na długości pręta kratownicy, powstają krytyczne momenty zginające, które są nieco większe niż w przypadku sztywnych podpór pojedynczych.
Zgodnie z [3] rozdział 9.2.5.3 (2) stężenia muszą być wystarczająco sztywne, aby nie przekraczały ugięcia poziomego L/500. Obliczenia należy przeprowadzić z uwzględnieniem obliczeniowych wartości sztywności (patrz [1] rozdział NCI do 9.2.5.3).
Dlakcrit = 0,195, H = 5 m i qp = 0,65 kN/m² jako ciśnienia prędkości podmuchu, powstają następujące obciążenia (patrz [3] rozdział 9.2.5.3):
N[CRASHREASON.DESCRIPTION] | Siła stabilizująca dla pasa ściskanego |
kkryt. | Wsp. bocznej stateczności |
M[CRASHREASON.DESCRIPTION] | Moment obliczeniowy |
H | Wysokość belki |
Nd = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN
q[CRASHREASON.DESCRIPTION] | Obciążenie usztywniające |
n | Liczba prętów kratownicy |
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION] | Długość belki |
kf, 3 | Współczynnik modyfikujący dla nośności usztywnienia |
qd = 2,76 kN/m
qd, wiatr | Obliczeniowe obciążenie wiatrem |
γQ | Częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zmiennego oddziaływania |
cpe | Współczynnik ciśnienia zewnętrznego |
qP | Szczytowe ciśnienie prędkości |
h | Wysokość budynku |
qd,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5/2 = 2,44 kN/m
Odkształcenie stężenia usztywniającego pokazano na rysunku 08. Obciążenia zostały podzielone na pół ze względu na dwa stężenia usztywniające.
Dopuszczalne odkształcenie wynosi:
Wynik potwierdza założenie, że stężenie stężenia jest bardzo sztywne i jest zgodny z prawie identycznymi momentami krytycznymi układu ze sztywnymi podporami pośrednimi i układu ze sprężystym podłożem prętowym.
Uwagi końcowe
Pokazano, jakie możliwości w konstrukcjach drewnianych można wykorzystać do analizy zwichrzenia belek zginanych. W przypadku typowych metod ważne jest, aby stężenia usztywniające były wystarczająco sztywne, aby pomieścić sztywne podpory. W tym artykule pokazano możliwości w przypadkach, w których założenie to nie ma zastosowania. Zasadniczo, belki zginane i stężenia usztywniające należy zaprojektować pod kątem ich nośności i użytkowalności zgodnie z odpowiednią normą. Jednak wykracza to poza zakres tego artykułu.