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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

18.12.2020

Phénomène de déversement dans les structures bois | Exemple 2

Le premier article de cette série « Phénomène de déversement dans les structures bois - | Exemple 1 » explique l'application pratique de la détermination du moment fléchissant critique M_crit ou de la contrainte de flexion critique σ_crit pour le flambement latéral d'une poutre en flexion ' à l'aide d'exemples simples. Dans cet article, le moment fléchissant critique est déterminé en considérant une fondation élastique résultant d'un contreventement.

Modèle de calcul de structure

Les treillis doivent être analysés pour le flambement latéral dans le cas du système représenté sur la Figure 01. Dans le plan de toiture, se trouvent six barres de treillis sous forme de poutres parallèles de 18 m de longueur et deux contreventements. Les poutres des côtés du pignon sont supportées par des poteaux et ne sont pas considérées pour le calcul. Une charge de calcul q_d de 10 kN/m agit sur les barres en treillis.

1 Modèle de structure

Données du modèle

L	18	m	Longueur de la poutre
b	120	mm	Largeur de la poutre
h	1.200	mm	Hauteur de la poutre
GL24h	-	-	Matériau selon l'EN 14080
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment d'inertie
I_T	647.654.753	mm⁴	Inertie de torsion
q_d	10	kN/m	Charge de calcul
a_z	600	mm	Position de charge
e	600	mm	Position de la fondation

Remarque : Même si les équations suivantes pour E et G ne se réfèrent pas explicitement aux valeurs de quantiles à 5 % dans l'index, elles ont été prises en compte en conséquence.

Poutre à travée simple avec maintien latéral et en torsion sans appuis intermédiaires

2 Poutre à travée simple avec maintien latéral et de torsion sans appuis intermédiaires

Par souci d'exhaustivité, la barre en treillis est d'abord analysée, sans appuis latéraux (voir la Figure 02). La longueur de barre équivalente résulte de l'application de charge sur la face supérieure du treillis avec a₁ = 1,13 et a₂ = 1,44 comme suit :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{Z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	longueur de barre équivalente
L	Longueur de poutre, espacement entre les appuis latéraux
un₁ , un₂	Facteurs utilisés pour le déversement latéral
a_z	distance d'application de la charge au centre de cisaillement
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	module d'inertie selon l'axe faible
I_T	Inertie de torsion

longueur de barre équivalente

l_ef = 17,79 m

Le moment fléchissant critique peut alors être calculé comme suit :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Moment fléchissant critique
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	module d'inertie selon l'axe faible
I_T	Inertie de torsion
l_ef	longueur de barre équivalente

Moment de flexion critique

M_crit = 134,52 kNm

Ces exemples n'augmentent pas le produit des propriétés de rigidité à 5 % en raison de l'homogénéisation des poutres en bois lamellé-collé.

Le moment fléchissant agissant sur les treillis est le suivant :

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_d	Moment de calcul
q_d	charge de calcul
L	Longueur de la poutre

Moment de calcul

M_d = 405,00 kNm

L'analyse des valeurs propres avec le module additionnel RF-/FE-LTB fournit un facteur de charge critique de flambement de 0,3334. On obtient ainsi le moment fléchissant critique

M_crit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm

qui est donc identique au résultat de la solution analytique.

3 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

Comme prévu pour cette barre en treillis élancée non supportée, le moment fléchissant agissant est supérieur (par un facteur 3) au moment fléchissant critique et le treillis n'est donc pas suffisamment maintenu contre le flambement latéral. Cependant, un contreventement devrait agir contre cela, ce qui est désormais considéré pour le calcul.

Poutre à travée simple avec maintien latéral et en traction et appuis intermédiaires rigides

4 Poutre à travée simple avec maintien latéral et de torsion avec appuis intermédiaires rigides

Si le contreventement est assez rigide, l'espacement entre les appuis latéraux (par exemple, par des pannes) est souvent utilisé comme longueur de barre équivalente pour l'analyse du déversement latéral. Cette procédure a été décrite dans l'article précédent « Phénomène de déversement dans les structures bois ». | Exemples 1.

Phénomène de déversement dans les structures bois | Exemples 1

Ainsi, 2,25 m sont utilisés comme L. Pour a₁ = 1,00 et a₂ = 0,00 :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Longueur de barre équivalente
L	Longueur de poutre, espacement entre les appuis latéraux
un₁ , un₂	Facteurs utilisés pour le déversement latéral
a_z	distance d'application de la charge au centre de cisaillement
E_0,05	5 % du module d'élasticité
G_0,05	5 % du module de cisaillement
I_z	module d'inertie selon l'axe faible
I_T	Inertie de torsion

longueur de barre équivalente

l_ef = 2,25 m

Résultats suivants pour le moment fléchissant critique :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Moment fléchissant critique
E_0,05	5 % du module d'élasticité
G_0,05	5 % du module de cisaillement
I_z	Moment d'inertie selon l'axe faible
I_T	Inertie de torsion
l_ef	Longueur de barre équivalente

Moment fléchissant critique

M_crit = 1 063,51 kNm

Étant donné que le moment fléchissant agissant sur la poutre est inférieur au moment fléchissant critique, la poutre n'est pas menacée par un flambement latéral en cas d'appuis intermédiaires rigides.

L'analyse des valeurs propres avec le module additionnel RF-/FE-LTB fournit un facteur de charge critique de flambement de 2,7815. On obtient ainsi le moment fléchissant critique

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Moment fléchissant critique
η	facteur de charge de flambement
M_d	Moment de calcul

Moment de flexion critique

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1 126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Poutre à travée simple avec maintien latéral et en torsion et fondation élastique de barre

Poutre à travée simple avec maintien latéral et de torsion et fondation élastique de barre

Comme pour le déversement dans les structures bois | en théorie, la détermination des longueurs de barre équivalentes est complétée par les facteurs α et β pour les barres avec fondations élastiques dans {%}#Refer [1]]].

Phénomène de déversement dans les structures bois | Théorie

Il est ainsi possible de considérer la rigidité de cisaillement d'un contreventement pour le flambement latéral des treillis. La rigidité de cisaillement des contreventements peut être déterminée par exemple selon la Figure 6.34 {%}#Refer [2]]]. Comme indiqué ci-dessus, cela dépend du type de contreventement, de la rigidité des diagonales et des poteaux, de l'inclinaison des diagonales et de la ductilité des organes d'assemblage. Pour le contreventement représenté sur la Figure 01, on obtient la rigidité de cisaillement suivante :

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidité de cisaillement idéale des contreventements
E_d	Quantile de 5 % du module d'élasticité des diagonales
A_d	Aire de section des diagonales
α	Angle entre les diagonales et les membrures

Rigidité de cisaillement idéale pour les contreventements

E_D est le module d'élasticité des diagonales et A_D de leur aire de section. Cependant, l'équation ci-dessus n'inclut pas la ductilité des organes d'assemblage des diagonales. Celles-ci et l'allongement de barre des diagonales peuvent être considérés à l'aide de l'aire de section fictive A_D'. Le calcul est effectué comme suit :

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidité de cisaillement idéale des contreventements
E_d	Quantile de 5 % du module d'élasticité des diagonales
A_d'	Aire notionnelle des diagonales
α	Angle entre les diagonales et les membrures

Rigidité de cisaillement idéale pour les contreventements

où :

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_d'	Aire notionnelle des diagonales
A_d	Aire de section des diagonales
E_d	Quantile de 5 % du module d'élasticité des diagonales
L_D	Longueur des diagonales
K_ser	Module de glissement de la connexion

Aire de section théorique des diagonales

Les diagonales ont une dimension l/h de 120/200 mm et une longueur L_D de 4,59 m. Le module de glissement de l’assemblage de chaque côté des diagonales doit être de 110 000 N/mm.

La zone idéale est donc

A_D' = 12 548 mm²

la rigidité de cisaillement d'un contreventement avec un angle d'inclinaison de la membrure de 60,64 ° est

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidité de cisaillement idéale des contreventements
E_d	Quantile de 5 % du module d'élasticité des diagonales
A_d'	Aire notionnelle des diagonales
α	Angle entre les diagonales et les membrures

Rigidité de cisaillement idéale pour les contreventements

s_id = 44,864 kN

La fondation de barre par contreventement peut être convertie selon la formule 7.291 [2] comme suit :

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Fondation de barre élastique par contreventement
s_id	Rigidité de cisaillement idéale des contreventements
L	Longueur du contreventement

Fondation de barre élastique par contreventement

Pour deux contreventements et six treillis, la constante de ressort suivante est disponible par treillis :

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Fondation de barre élastique par barre de treillis
K_y'	Fondation de barre élastique par contreventement

Fondation de barre élastique par barre de treillis

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Si K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 et a₂ = 1,44, la longueur de barre équivalente est obtenue comme suit :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	longueur de barre équivalente
L	Longueur de poutre, espacement entre les appuis latéraux
un₁ , un₂	Facteurs utilisés pour le déversement latéral
a_z	distance d'application de la charge au centre de cisaillement
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	module d'inertie selon l'axe faible
I_T	Inertie de torsion
α, β	Facteurs pour considérer une fondation membre

longueur de barre équivalente

l_ef = 0,13

Le moment fléchissant critique est ainsi obtenu avec une valeur irréaliste de :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Moment fléchissant critique
E_0,05	5 % du module d'élasticité
G_0,05	5 % du module de cisaillement
I_z	Moment d'inertie selon l'axe faible
I_T	Inertie de torsion
l_ef	Longueur de barre équivalente

Moment fléchissant critique

M_crit = 18 482,84 kNm

Une valeur similaire à celle du système avec des appuis intermédiaires rigides est souhaitée. Comme pour le déversement dans les structures bois | en théorie, l'utilisation de la formule étendue avec α et β est limitée.

Phénomène de déversement dans les structures bois | Théorie

Elle n'est valide qu'en cas de flèche dans une grande courbure sinusoïdale. En d'autres termes, si la fondation est très molle. Cette opération n'est plus effectuée dans cet exemple. Les fonctions propres à plusieurs ondes, qui entraînent une faible charge critique de flambement pour une constante de ressort plus importante, ne sont pas incluses dans l'équation ci-dessus, car elle est basée sur des approches de sinus monomial.

Comme vous pouvez le voir sur la Figure 07, un mode propre multi-onde est obtenu à partir de l'analyse des valeurs propres.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

Dans ce cas, la méthode définie par le professeur Heinrich Kreuzinger (2020) peut être appliquée. Le moment fléchissant critique est calculé comme suit :

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Moment fléchissant critique
a_z	Distance d'application de la charge au centre de cisaillement
e	Espacement entre la fondation élastique de barre et le centre de cisaillement
K_y	Fondation de barre élastique par barre de treillis
L	Longueur de la poutre
n	n ^th eigensolution
E_0,05	5 % du module d'élasticité
I_z	Moment d'inertie selon l'axe faible
G_0,05	5 % du module de cisaillement
I_T	Inertie de torsion

Moment fléchissant critique

La constante n désigne la première, la deuxième, la troisième, etc., solution propre. Plusieurs solutions propres doivent être analysées et le moment fléchissant critique le plus faible s'applique alors. Les moments fléchissants critiques suivants sont le résultat pour n = 1 à 30.

n	M_crit [kNm]	n	M :_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

M_crit devient minimal pour n = 6, et est d'environ 1 282,70 kNm.

La solution des valeurs propres du module additionnel RF-/FE-LTB (voir la Figure 07) est calculée comme suit :

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1 397,25 kNm

Les deux résultats correspondent très bien. La solution analytique reste toutefois sûre, car cette méthode est basée sur une distribution constante des moments fléchissants. Une charge critique q_crit est ensuite assignée au moment fléchissant critique constant M_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Charge critique
M_crit	Moment fléchissant critique
L	Longueur de la poutre

Charge critique

Étant donné que la fondation de barre dans cet exemple est considérée comme très rigide et uniformément répartie sur la longueur de la barre en treillis, des moments de flexion critiques légèrement plus élevés que ceux des appuis simples rigides ont lieu.

Selon le Chapitre 9.2.5.3 (2) de [3], les raidisseurs doivent être suffisamment rigides pour ne pas dépasser la flèche horizontale de L/500. Le calcul doit être effectué avec les valeurs de calcul des rigidités (voir le Chapitre {%}#Refer [1]]] NCI à 9.2.5.3).

Pour_kcrit = 0,195, H = 5 m et q_p = 0,65 kN/m² comme pression dynamique de rafale, on obtient les charges suivantes (voir le Chapitre 9.2.5.3 {%}#Refer [3]]]) :

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Force de stabilisation de la membrure comprimée
k_crit	Facteur de stabilité latérale
M_d	Moment de calcul
h	Hauteur de la poutre

Force de stabilisation de la membrure en compression

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Charge raidissante
n	Nombre de barres de treillis
L	Longueur de la poutre
k_{f, 3}	Facteur de modification pour la résistance au raidissement

Charge raidissante

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_{d, vent}	Charge de calcul due au vent
γ_Q	Coefficient partiel de sécurité pour une action variable
c_pe	Coefficient de pression externe
q_P	Pression dynamique extrême
h	Hauteur du bâtiment

Charge de calcul due au vent

q_d,vent = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5/2 = 2,44 kN/m

La déformation du contreventement est illustrée dans la Figure 08. Les charges ont été réduites par moitié car il y a deux contreventements.

Déplacement horizontal du contreventement de raidissement

La déformation admissible est :

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Déformation admissible

Le résultat confirme l'hypothèse d'un contreventement très rigide et est cohérent avec les moments fléchissants critiques presque identiques du système avec des appuis intermédiaires rigides et un avec fondation élastique de barre.

Conclusion

Il a été montré quelles possibilités dans la construction bois peuvent être utilisées pour analyser le déversement latéral des poutres en flexion. Pour les méthodes courantes, il est important de s'assurer que les raidisseurs sont suffisamment rigides pour supporter des appuis rigides. Des options ont été présentées dans cet article pour les cas où cette hypothèse ne s'applique pas. Les poutres en flexion et les raidisseurs doivent être calculés pour leur capacité portante et leur ELS selon la norme correspondante. Cela n'est cependant pas détaillé dans cet article.

Base de connaissance

KB 001669 | Phénomène de déversement dans les structures bois | Exemple 2

Auteur

M. Rehm est responsable du développement de produits pour les structures en bois et il fournit une assistance technique aux clients.

Liens

Références

Annexe Nationale - Eurocode 5 : calcul des structures en bois - Partie 1-1 : Général - Règles communes et règles pour les bâtiments ; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: (1982). Statik und Stabilität der Baukonstruktionen , (2e édition. Wiesbaden : Vueeg.
Eurocode 5 : calcul des structures en bois - Partie 1-1 : Général – Règles courantes et règles pour les bâtiments ; DIN EN 1995-1-1:2010-12

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