Конструктивная модель
Для конструкции, показанной на Рисунке 01, необходимо выполнить расчет стропильной фермы на боковое выпучивание. На уровне кровли размещены шесть ферм в качестве параллельных балок длиной 18 м с двумя связями жесткости. Балки по сторонам фронтона опираются на колонны и не учитываются в расчете. На фермы действует расчетная нагрузка qd, равная 10 кН/м.
Данные о модели
18 | m | Длина балки | |
b | 120 | мм | Ширина балки |
h | 1,200 | мм | Высота балки |
GL24h | - | - | Материал по норме EN 14080 |
iZ | 172.800.000 | мм4 | Момент инерции |
IT | 647.654.753 | мм4 | момент инерции при кручении |
qd | 10 | кН/м | Расчетная нагрузка |
az | 600 | мм | Положение нагрузки |
e | 600 | мм | Положение фундамента |
Внимание! Несмотря на то, что следующие уравнения E и G не ссылаются прямо на значения 5% квантиля в индексе, они были соответственно приняты во внимание.
Однопролетная балка с вильчатым опиранием без промежуточных опор
Для полноты мы сначала проанализируем стропильную ферму без боковых опор (см. Рисунок 02). Длина заменяемого стержня в случае приложения нагрузки с верхней стороны фермы при a1 = 1,13 и a2 = 1,44 равна:
lef | Длина эквивалентного стержня |
L | Длина балки, шаг между боковыми опорами |
a1,a2 | Коэффициенты поперечного выпучивания |
az | Отступ точки приложения нагрузки от центра сдвига |
E0,05 | 5 % квантиль модуля упругости |
G0,05 | 5 % квантиль модуля сдвига |
Iz | Момент инерции вокруг оси минимальных моментов |
IT | Постоянная кручения |
lef = 17,79 м
После этого мы можем рассчитать значение критического изгибающего момента следующим образом:
Mcrit | Критический изгибающий момент |
E0,05 | 5 % квантиль модуля упругости |
G0,05 | 5 % квантиль модуля сдвига |
Iz | Момент инерции вокруг оси минимальных моментов |
IT | Постоянная кручения |
lef | Длина эквивалентного стержня |
Mcrit = 134,52 кНм
В наших примерах мы не будем рассматривать увеличение произведения 5% квантилей параметров жесткости в результате гомогенизации балок из клееной древесины.
Изгибающий момент, действующий на фермы, равен:
Md | Расчетный момент |
qd | Расчетная нагрузка |
L | Длина балки |
Md = 405,00 кНм
В результате анализа собственных чисел в дополнительном модуле RF-/FE-LTB мы получим коэффициент критической нагрузки, равный 0,3334. На основе этого критический изгибающий момент равен
Mcrit = 0,3334 ⋅ 405 кНм = 135,03 кНм
и, таким образом, идентичен результату аналитического решения.
Как и следовало ожидать, у такой тонкой фермы без опор действующий изгибающий момент больше (в 3 раза), чем критический изгибающий момент, и, таким образом, ферма недостаточно защищена от потери устойчивости. Вместе с тем, этому должна противостоять связь, которую мы теперь введем в расчет.
Однопролетная балка с вильчатым опиранием и жесткими промежуточными опорами
Если связь обладает достаточной жесткостью, то на практике в качестве длины заменяемого стержня в расчете потери устойчивости часто применяется расстояние между боковыми опорами (например, прогонами). Данный порядок был пояснен в предыдущей статье «Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях». | Примеры 1
Таким образом, в качестве длины L применяется значение 2,25 м. При a1 = 1,00 и a2 = 0,00 мы получим:
lef | Длина эквивалентного стержня |
L | Длина балки, шаг между боковыми опорами |
a1,a2 | Коэффициенты поперечного выпучивания |
az | Отступ точки приложения нагрузки от центра сдвига |
E0,05 | 5 % квантиль модуля упругости |
G0,05 | 5 % квантиль модуля сдвига |
Iz | Момент инерции вокруг оси минимальных моментов |
IT | Постоянная кручения |
lef = 2,25 м
Критический изгибающий момент равен:
Mcrit | Критический изгибающий момент |
E0,05 | 5 % квантиль модуля упругости |
G0,05 | 5 % квантиль модуля сдвига |
Iz | Момент инерции вокруг оси минимальных моментов |
IT | Постоянная кручения |
lef | Длина эквивалентного стержня |
Mcrit = 1063,51 кНм
Поскольку изгибающий момент, действующий на балку, меньше критического изгибающего момента, балка не подвержена потере устойчивости при наличии жестких промежуточных опор.
В результате анализа собственных чисел в дополнительном модуле RF-/FE-LTB мы получим коэффициент критической нагрузки, равный 2,7815. На основе этого критический изгибающий момент равен
Mcrit | Критический изгибающий момент |
η | Коэффициент критической нагрузки |
Md | Расчетный момент |
Mcrit = 2,7815 ⋅ 405 кНм = 1 126,50 кНм
Однопролетная балка с вильчатым опиранием и упругим основанием стержня
Как при потере устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | теории, нахождение эквивалентных длин стержня расширено коэффициентами α и β для стержней с упругим основанием в [1].
Таким образом можно принять во внимание сдвиговую жесткость связи в потере устойчивости фермы. Жесткость связи при сдвиге' можно определить, например, по {%><#Refer [2]]] рисунку 6.34. Как мы видим, она зависит от типа связи, жесткости при растяжении подкосов и стоек, наклона подкосов и податливости соединительных элементов. Для связи, показанной на Рисунке 01, жесткость при сдвиге равна:
sid | Идеальная жесткость поперечной связи |
ED | 5 % квантиль модуля упругости диагоналей |
AD | Площадь сечения диагоналей |
α | Угол между диагоналями и поясами ферм |
При этом ED - модуль упругости подкосов, а AD - площадь их сечения. Однако в указанное выше уравнение не входит податливость соединительных элементов подкосов. Податливость, а также удлинение стержней подкосов можно учесть с помощью фиктивной площади сечения AD'. Из этого следует:
sid | Идеальная жесткость поперечной связи |
ED | 5 % квантиль модуля упругости диагоналей |
AD' | Условная площадь сечения диагоналей |
α | Угол между диагоналями и поясами ферм |
Где:
AD' | Условная площадь сечения диагоналей |
AD | Площадь сечения диагоналей |
ED | 5 % квантиль модуля упругости диагоналей |
LD | Длина диагоналей |
Kser | Модуль скольжения соединения |
Подкосы имеют размер w/h = 120/200 мм и длину LD 4,59 м. Модуль смещения соединения с каждой стороны подкоса должен составлять 110 000 Н/мм.
Идеальная площадь равна соответственно
AD' = 12 548 мм²
и, следовательно, жесткость связи при сдвиге с углом подкоса относительно пояса 60,64 °
sid | Идеальная жесткость поперечной связи |
ED | 5 % квантиль модуля упругости диагоналей |
AD' | Условная площадь сечения диагоналей |
α | Угол между диагоналями и поясами ферм |
sid = 44 864 кН
Основание стержня для каждой связи можно преобразовать по формуле {%ref#Refer [2]]] 7.291 следующим образом:
Ky' | Упругое основание стержня на отдельных связях |
sid | Идеальная жесткость поперечной связи |
L | Длина крепления |
Для двух связей и шести ферм можно применить следующую константу упругости для каждой фермы:
Ky | Упругое основание стержня на отдельные фермы |
Ky' | Упругое основание стержня на отдельных связях |
Ky = 455,6 кН/м² = 0,456 Н/мм²
При условии, что KG = ∞, Kθ = 0, Ky = 0,456 Н/мм², e = 600 мм, a1 = 1,13 и a2 = 1,44, длина заменяемого стержня равна:
lef | Длина эквивалентного стержня |
L | Длина балки, шаг между боковыми опорами |
a1,a2 | Коэффициенты поперечного выпучивания |
az | Отступ точки приложения нагрузки от центра сдвига |
E0,05 | 5 % квантиль модуля упругости |
G0,05 | 5 % квантиль модуля сдвига |
Iz | Момент инерции вокруг оси минимальных моментов |
IT | Постоянная кручения |
α, β | Коэффициенты для учета основания стержня |
lef = 0,13
Критический изгибающий момент в результате равен утопическому значению:
Mcrit | Критический изгибающий момент |
E0,05 | 5 % квантиль модуля упругости |
G0,05 | 5 % квантиль модуля сдвига |
Iz | Момент инерции вокруг оси минимальных моментов |
IT | Постоянная кручения |
lef | Длина эквивалентного стержня |
Mcrit = 18 482,84 кНм
Ожидать можно было значение, аналогичное системе с жесткими промежуточными опорами. Как при потере устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | теории, то применение расширенной формулы с α и β ограничено.
Строго говоря, формула действительна только в случае прогиба по большой синусоидальной дуге. Другими словами, если основание очень пластично. В нашем примере это не так. Многоволновые собственные функции, которые при более высоких константах упругости приводят к более низкой критической нагрузке, не включены в вышеупомянутое уравнение, поскольку оно основано на односоставном синусовом подходе.
Как видно на рисунке 07, результатом анализа собственных значений является многоволновая собственная форма.
В данном случае можно применить метод, разработанный профессором Генрихом Кройцингером (2020). Критический изгибающий момент рассчитывается следующим образом:
Mcrit | Критический изгибающий момент |
az | Отступ точки приложения нагрузки от центра сдвига |
e | Oтступ упругого основания стержня от центра сдвига |
Ky | Упругое основание стержня на отдельные фермы |
L | Длина балки |
n | nth eigensolution |
E0,05 | 5 % квантиль модуля упругости |
Iz | Момент инерции вокруг оси минимальных моментов |
G0,05 | 5 % квантиль модуля сдвига |
IT | Постоянная кручения |
Константа n обозначает первое, второе, третье и т.д. собственное решение. Таким образом, необходимо проанализировать несколько собственных решений, а определяющим будет наименьший критический изгибающий момент. Следующие критические изгибающие моменты мы получим для n = 1…30.
n | Mcrit [кНм] | n | Mcrit[кНм] |
---|---|---|---|
1 | 9 523,25 | 16 | 2 214,63 |
2 | 4 281,26 | 17 | 2 339,17 |
3 | 2 294,32 | 18 | 2 464,92 |
4 | 1 605,56 | 19 | 2 591,63 |
5 | 1 354,68 | 20 | 2 719,14 |
6 | 1 282,70 | 21 | 2 847,30 |
7 | 1 294,12 | 22 | 2 976,00 |
8 | 1 348,81 | 23 | 3 105,16 |
9 | 1 428,05 | 24 | 3 234,71 |
10 | 1 522,29 | 25 | 3 364,60 |
11 | 1 626,24 | 26 | 3 494,77 |
12 | 1 736,77 | 27 | 3 625,20 |
13 | 1 851,94 | 28 | 3 755,84 |
14 | 1 970,50 | 29 | 3 886,67 |
15 | 2 091,60 | 30 | 4 017,68 |
При n = 6 Mcrit имеет минимальное значение, которое равно 1 282,70 кНм.
Результатом решения собственных чисел в дополнительном модуле RF-/FE-LTB (см. Рисунок 07) является:
Mcrit = 3,4376 ⋅ 405 кНм = 1 397,25 кНм
Оба результата практически совпадают. Кроме того, аналитическое решение является надежным, поскольку данный метод упрощенно основывается на постоянном распределении изгибающего момента. Постоянному критическому изгибающему моменту Мcrit таким образом присваивается критическая нагрузка qcrit.
qcrit | Критическая нагрузка |
Mcrit | Критический изгибающий момент |
L | Длина балки |
Поскольку в данном примере основание стержня считается очень жестким и постоянным по всей длине фермы, то мы получим критические изгибающие моменты, которые немного выше, чем в случае жестких точечных опор.
Согласно [3], раздел 9.2.5.3 (2), жесткие связи должны обладать достаточной жесткостью для того, чтобы не был превышен горизонтальный прогиб L/500. Расчет должен выполняться с расчетными значениями жесткости (см. [1] Глава NCI по 9.2.5.3).
При kcrit = 0,195, H = 5 м и qp = 0,65 кН/м² в качестве динамического давления порыва ветра мы получим следующие нагрузки (см. [3] раздел 9.2.5.3):
Nd | Стабилизирующая сила для сжатого пояса |
kcrit | Коэффициент поперечного выпучивания |
Md | Расчетный момент |
h | Высота балки |
Nd = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 кН
qd | Нагрузка на крепь |
n | Количество ферм |
L | Длина балки |
kf,3 | Коэффициент модификации для несущей способности крепи |
qd = 2,76 кН/м
qd,wind | Расчетная ветровая нагрузка |
γQ | Частичный коэффициент надежности для временных воздействий |
cpe | Коэффициент внешнего давления |
qp | Пиковое скоростное давление |
h | Высота здания |
qd,ветер = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 кН/м
Деформация связей жесткости показана на рисунке 08. При этом нагрузки были снова разделены пополам из-за наличия двух связей жесткости.
Допустимая деформация составляет:
Результат подтверждает предположение связи с высокой жесткостью и соответствует почти одинаковым критическим изгибающим моментам конструкции с жесткими промежуточными опорами и конструкции с упругим основанием стержня.
Заключение
В статье было показано, какие возможности существуют для расчета бокового выпучивания изогнутых балок в деревянных конструкциях. В применении распространенных методов решения важно обеспечить достаточную жесткость связей для того, чтобы можно было применить в расчете жесткие опоры. В нашей статье также были показаны варианты для тех случаев, когда данное предположение не действительно. Как правило, для изгибаемых балок и связей жесткости должен быть выполнен расчет несущей способности и пригодности к эксплуатации по соответствующей норме. Однако это не является предметом нашей статьи.