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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2020-12-18

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture di legno | Esempi 2

Nell'articolo precedente, instabilità flesso-torsionale nelle strutture in legno | L'esempio 1 spiega l'applicazione pratica per determinare il momento flettente critico M_crit o la tensione flettente critica σ_crit per un'instabilità laterale di una trave flettente's utilizzando semplici esempi. In questo articolo, il momento flettente critico è determinato tenendo conto di una fondazione elastica risultante da un controvento di irrigidimento.

Modello strutturale

Per il sistema mostrato nell'immagine 01, le aste reticolari dovrebbero essere analizzate per instabilità laterale. Nel piano della copertura, sono disponibili sei aste reticolari come travi parallele con una lunghezza di 18 m e due controventi di irrigidimento. Le travi sui lati del timpano sono supportate da colonne e non sono considerate per il calcolo. Un carico di progetto q_d di 10 kN/m agisce sulle aste reticolari.

1 Modello strutturale

Dati modello

Modello strutturale	18	m	Lunghezza trave
b	120	mm	Larghezza trave
h	1,200	mm	Altezza trave
GL24h	-	-	Materiale secondo EN 14080
i_Z	172.800.000	mm⁴	Momento d'inerzia
i_T	647.654.753	mm⁴	Costante torsionale
q_d	10	kN/m	carico di progetto
a_z	600	mm	posizione del carico
e	600	mm	Posizione della fondazione

Nota: Anche se le seguenti equazioni per E e G non si riferiscono esplicitamente ai quantili del 5% nell'indice, sono state prese in considerazione di conseguenza.

Trave a campata singola con vincolo laterale e torsionale senza vincoli intermedi

2 Trave a campata singola con vincolo laterale e torsionale senza supporti intermedi

Per ragioni di completezza, viene prima analizzata l'asta reticolare, senza vincoli laterali (vedere la Figura 02). La lunghezza dell'asta equivalente risulta da un'applicazione di carico sul lato superiore della travatura reticolare con a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44 come segue:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{Z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	lunghezza dell'asta equivalente
[LinkToImage01]	Lunghezza della trave, spaziatura tra i vincoli laterali
un₁ , un₂	Fattori di instabilità laterali
a_z	Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[LinkToImage01]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_Z	Secondo momento dell'area intorno all'asse debole
i_T	Costante torsionale

lunghezza dell'asta equivalente

l_ef = 17,79 m

Il momento flettente critico può quindi essere calcolato come segue:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Momento flettente critico
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[LinkToImage01]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_Z	Secondo momento dell'area intorno all'asse debole
i_T	Costante torsionale
l_ef	lunghezza dell'asta equivalente

Momento flettente critico

M critico =_134,52 kNm

Questi esempi fanno a meno di un aumento del prodotto dei quantili del 5% delle proprietà di rigidezza dovuto all'omogeneizzazione di travi in legno lamellare incollato.

Il momento flettente agente sulle travature reticolari risulta come segue:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_d	Momento fattorizzato
q_d	carico di progetto
[LinkToImage01]	Lunghezza trave

Momento fattorizzato

M_d = 405,00 kNm

Di conseguenza, l'analisi degli autovalori con il modulo aggiuntivo RF‑/FE‑LTB fornisce un coefficiente di carico critico di 0,3334. Ciò si traduce nel momento flettente critico

M critico =_0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm

ed è quindi identico al risultato della soluzione analitica.

3 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

Come ci si poteva aspettare per questa asta snella non supportata, il momento flettente agente è maggiore (di un coefficiente 3) del momento flettente critico e la travatura reticolare non è quindi sufficientemente vincolata contro l'instabilità laterale. Tuttavia, un controvento dovrebbe contrastare, che ora è considerato per il calcolo.

Trave a campata singola con vincolo laterale e torsionale con vincoli esterni rigidi

4 Trave a campata singola con vincolo laterale e torsionale con supporti intermedi rigidi

Se il controvento di irrigidimento è sufficientemente rigido, la spaziatura tra i vincoli esterni laterali (ad esempio tramite arcarecci) viene spesso utilizzata come lunghezza dell'asta equivalente per l'analisi di instabilità laterale. Questa procedura è stata descritta nell'articolo precedente, Instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno | Esempi 1.

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture di legno | Esempi 1

Quindi, 2,25 m è utilizzato come L. Per a₁ = 1.00 e a₂ = 0.00, ciò segue:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Lunghezza dell'asta equivalente
[LinkToImage01]	Lunghezza della trave, spaziatura tra i vincoli laterali
un₁ , un₂	Fattori di instabilità laterali
a_z	Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
[LinkToImage01]_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
i_Z	Secondo momento dell'area intorno all'asse debole
i_T	Costante torsionale

lunghezza dell'asta equivalente

l_ef = 2,25 m

I seguenti risultati per il momento flettente critico:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Momento flettente critico
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
[LinkToImage01]_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
i_Z	Secondo momento dell'area intorno all'asse debole
i_T	Costante torsionale
l_ef	Lunghezza dell'asta equivalente

Momento flettente critico

M critico =_1.063,51 kNm

Poiché il momento flettente agente sulla trave è inferiore al momento flettente critico, la trave non è minacciata da instabilità laterale nell'ipotesi di vincoli intermedi rigidi.

Di conseguenza, l'analisi degli autovalori con il modulo aggiuntivo RF-/FE-LTB fornisce un coefficiente di carico critico di 2,7815. Ciò si traduce nel momento flettente critico

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Momento flettente critico
η	coefficiente di carico critico
M_d	Momento fattorizzato

Momento flettente critico

M critico =_2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Trave a campata singola con vincolo laterale e torsionale e fondazione elastica dell'asta

Come nell'instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno | teoria, la determinazione delle lunghezze equivalenti delle aste è estesa dei coefficienti α e β per le aste con fondazioni elastiche in [1].

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture di legno | Procedura progettuale

Pertanto, è possibile considerare la rigidezza a taglio di un controvento di irrigidimento per l'instabilità laterale delle aste reticolari. La rigidezza a taglio del controvento' può essere determinata, ad esempio, secondo [2] Figura 6.34. Come si può vedere da quanto sopra, dipende dal tipo di controvento, dalla rigidezza alla deformazione di diagonali e montanti, dall'inclinazione delle diagonali' e dalla duttilità dei dispositivi di fissaggio. Per il controvento di irrigidimento mostrato nell'immagine 01, la rigidezza a taglio risulta in:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento
E_d	5 % quantile del modulo di elasticità delle diagonali
[LinkToImage01]_d	Area sezione diagonale
α	Angolo tra diagonali e corde

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

Qui, E_D è il modulo di elasticità delle diagonali' e_AD è la loro area della sezione trasversale. Tuttavia, l'equazione sopra non include la duttilità degli elementi di fissaggio delle diagonali'. Questo e l'allungamento dell'asta delle diagonali possono essere considerati per mezzo di un'area della sezione trasversale teorica A_D '. Quello che segue è questo:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento
E_d	5 % quantile del modulo di elasticità delle diagonali
[LinkToImage01]_d'	Area della sezione trasversale nozionale delle diagonali
α	Angolo tra diagonali e corde

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

dove

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

[LinkToImage01]_d'	Area della sezione trasversale nozionale delle diagonali
[LinkToImage01]_d	Area sezione diagonale
E_d	5 % quantile del modulo di elasticità delle diagonali
L_D	Lunghezza delle diagonali
K_ser	Modulo di collegamento a scorrimento

Area nozionale della sezione trasversale delle diagonali

Le diagonali hanno una dimensione di w/h = 120/200 mm e una lunghezza L_D di 4,59 m. Il modulo di scorrimento del collegamento su ciascun lato delle diagonali dovrebbe essere 110.000 N/mm.

L'area ideale è, di conseguenza,

A_D ' = 12.548 mm²

e quindi, la rigidezza a taglio di un controvento con un angolo diagonale-corda di 60,64 ° è

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento
E_d	5 % quantile del modulo di elasticità delle diagonali
[LinkToImage01]_d'	Area della sezione trasversale nozionale delle diagonali
α	Angolo tra diagonali e corde

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

s_id = 44,864 kN

La fondazione dell'asta per controvento può essere convertita secondo [2] Formula 7.291 come segue:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Fondazione dell'asta elastica per controvento
s_id	Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento
[LinkToImage01]	Lunghezza del controvento

Fondazione dell'asta elastica per controvento

Per due controventi e sei aste reticolari, è disponibile la seguente costante elastica per trave reticolare:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Fondazione dell'asta elastica per asta di travatura reticolare
K_y'	Fondazione dell'asta elastica per controvento

Fondazione dell'asta elastica per asta di travatura reticolare

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

A condizione che K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, la lunghezza dell'asta equivalente risulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	lunghezza dell'asta equivalente
[LinkToImage01]	Lunghezza della trave, spaziatura tra i vincoli laterali
un₁ , un₂	Fattori di instabilità laterali
a_z	Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[LinkToImage01]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_Z	Secondo momento dell'area intorno all'asse debole
i_T	Costante torsionale
α, β	Fattori per considerare la fondazione di un membro

lunghezza dell'asta equivalente

_lf = 0,13

Pertanto, il momento flettente critico risulta in un valore non realistico di:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Momento flettente critico
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
[LinkToImage01]_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
i_Z	Secondo momento dell'area intorno all'asse debole
i_T	Costante torsionale
l_ef	Lunghezza dell'asta equivalente

Momento flettente critico

M critico =_18.482,84 kNm

Ci si aspetterebbe un valore simile al sistema con vincoli esterni rigidi. Come nell'instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno | teoria, l'applicazione della formula estesa con α e β è limitata nella sua applicazione.

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture di legno | Procedura progettuale

A rigor di termini, è valido solo se c'è una inflessione in un grande arco sinusoidale. In altre parole, se la fondazione è molto morbida. Questo non è più fornito in questo esempio. Le autofunzioni multi-onda, che portano a un piccolo carico critico per qualsiasi costante della molla più grande, non sono incluse nell'equazione suddetta, poiché si basa su approcci del seno monomio.

Come puoi vedere nell'immagine 07, un autovettore multi-onda risulta dall'analisi degli autovalori.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

In questo caso, può essere applicato il metodo derivato dal Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). Il momento flettente critico si calcola come segue:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Momento flettente critico
a_z	Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio
e	Distanza della fondazione elastica dell'asta dal centro di taglio
K_y	Fondazione dell'asta elastica per asta di travatura reticolare
[LinkToImage01]	Lunghezza trave
n	n ^° eigensolution
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
i_Z	Secondo momento dell'area intorno all'asse debole
[LinkToImage01]_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
i_T	Costante torsionale

Momento flettente critico

La costante n indica la prima, la seconda, la terza e così via, autosoluzione. Pertanto, è necessario analizzare diverse autosoluzioni e quindi determina il momento flettente critico più piccolo. I seguenti momenti flettenti critici sono il risultato per n = 1…30.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

M_crit diventa minimo per n = 6 ed è di circa 1.282,70 kNm.

La soluzione degli autovalori dal modulo aggiuntivo RF-/FE-LTB (vedi Figura 07) risulta in:

M critico =_3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Entrambi i risultati corrispondono molto bene. Tuttavia, la soluzione analitica è sicura, poiché questo metodo si basa su una distribuzione del momento flettente costante. Quindi, un carico critico qcrit è assegnato al momento flettente critico costante M_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	carico critico
M_crit	Momento flettente critico
[LinkToImage01]	Lunghezza trave

Carico critico

Poiché la fondazione dell'asta in questo esempio è considerata molto rigida e costantemente distribuita sulla lunghezza dell'asta reticolare, si verificano momenti flettenti critici leggermente superiori rispetto ai vincoli singoli rigidi.

Secondo [3] Capitolo 9.2.5.3 (2), i controventi di irrigidimento devono essere sufficientemente rigidi da non superare l'inflessione orizzontale di L/500. Il calcolo deve essere eseguito con i valori di progetto delle rigidezze (vedere [1] capitolo NCI a 9.2.5.3).

Per k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² come pressione cinetica della raffica, risultano i seguenti carichi (vedere [3] Capitolo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Forza stabilizzante per la corda di compressione
k_crit	Coeff. di stabilità laterale
M_d	Momento fattorizzato
h	Altezza trave

Forza stabilizzante per corda di compressione

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Carico di irrigidimento
n	Numero di aste reticolari
[LinkToImage01]	Lunghezza trave
k_{f, 3}	Coefficiente di modifica per la resistenza all'irrigidimento

Carico di irrigidimento

_qd = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_{d, vento}	Carico di progetto dal vento
γ_Q	Coefficiente di sicurezza parziale per azione variabile
c_pe	Coefficiente di pressione esterna
q_P	Pressione cinetica di picco
h	Altezza dell'edificio

Carico di progetto dal vento

q_d,vento = 1.5 ⋅ (0.7 + 0.3) ⋅ 0.65 ⋅ 5/2 = 2.44 kN/m

La deformazione del controvento di irrigidimento è mostrata nella Figura 08. I carichi sono stati divisi a metà perché ci sono due controventi di irrigidimento.

Spostamento orizzontale dei controventi di irrigidimento

La deformazione ammissibile è:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Spostamento ammissibile

Il risultato conferma l'ipotesi di un controvento molto rigido ed è coerente con i momenti flettenti critici quasi identici del sistema con vincoli esterni rigidi e quello con aste di fondazione elastiche.

Conclusione

È stato mostrato quali possibilità nella costruzione in legno possono essere utilizzate per analizzare l'instabilità laterale delle travi flettenti. Per i metodi comuni, è importante assicurarsi che i controventi di irrigidimento siano sufficientemente rigidi da accettare vincoli esterni. Le opzioni sono state mostrate in questo articolo per i casi in cui questa ipotesi non si applica. Fondamentalmente, le travi flettenti e i controventi di irrigidimento devono essere progettati per la loro capacità portante e di esercizio secondo la norma corrispondente. Tuttavia, questo va oltre lo scopo di questo articolo.

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Autore

Il signor Rehm è responsabile dello sviluppo di prodotti per strutture in legno e fornisce supporto tecnico ai clienti.

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Bibliografia

Appendice nazionale - Eurocodice 5: Progettazione di strutture in legno - Parte 1-1: Generale - Regole e regole comuni per gli edifici; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. (1982). Statik und Stabilität der Baukonstruktionen , (2nd ndr). Wiesbaden: Visualizza es.
Eurocodice 5: Progettazione di strutture in legno - Parte 1-1: Generale - Regole comuni e regole per edifici; DIN EN 1995-1-1:2010-12

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