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001647

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2020-07-17

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1

No artigo Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | A teoria explica os fundamentos teóricos para a determinação analítica do momento fletor crítico M_crit ou da tensão de flexão crítica σ_crit para a flexão de uma viga fletida. O artigo seguinte utiliza exemplos para verificar a solução analítica com o resultado da análise de valores próprios.

Símbolos utilizados

Criação de material definido pelo usuário	Comprimento da viga
B	Largura da viga
h	Altura da viga
E	módulo de elasticidade
G	módulo de corte
Iz	momento de inércia sobre o eixo menor
IT	Momento de inércia de torção
az	distância da aplicação de carga a partir do centro de corte

Viga de vão único com restrição à flexão e torção e sem apoio intermédio

Criação de material definido pelo usuário	18	m
B	160	mm
h	1,400	mm
az	700	mm
Iz	477.866.667	mm⁴
IT	1.773.842.967	mm⁴
E0,05	10,400	N/mm²
G0,05	540	N/mm²

Viga de um vão com restrição lateral e torção e sem apoio intermédio

Para a viga de vão único com restrição à flexão e torção e sem apoios intermédios (ver Figura 01), o comprimento de barra equivalente resulta no caso de uma aplicação de carga na parte superior para:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 18.26 m

comprimento de barra equivalente

Die Faktoren a₁ und a₂ können Bild 02 entsprechend dem Momentenverlauf entnommen werden.

Coeficientes da encurvadura por flexão

O momento fletor crítico pode então ser calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 375, 42 kNm

Fórmula 2

Auf eine Erhöhung des Produktes der 5-%-Quantilen der Steifigkeitskennwerte wegen der Homogenisierung von Trägern aus Brettschichtholz wird in diesem Beispiel verzichtet.

Für komplexere Systeme kann es von Vorteil sein, die kritischen Lasten, Momente beziehungsweise Spannungen mittels Eigenwertlöser zu bestimmen. Das Zusatzmodul RF-/FE-BGDK, das auf der Methode der finiten Elemente basiert, kann für die Berechnung der Stabilitätslasten von Stabsätzen benutzt werden. Dabei wird ein elastisches Materialverhalten bei geometrisch nichtlinearem Verhalten angenommen. Als Ergebnis für den Holzbau ist der kritische Lastfaktor von Bedeutung. Dieser gibt an, mit welchem Faktor die Belastung multipliziert werden kann, bevor das System instabil wird.

Módulo adicional RF-FE-LTB para o RFEM 5

Für dieses Beispiel wird der Träger mit einer Einheitslast von 1 kN/m belastet. Das Biegemoment ergibt sich hierfür zu:

M = \frac{q \cdot L^{2}}{8} = \frac{1, 00 \cdot 18, 00^{2}}{8} = 40, 50 kNm

Fórmula 3

Distribuição de momentos da viga de um vão sob carga unitária

Da der untere Quantilwert des kritischen Moments bestimmt werden soll, sind für die Steifigkeitskennwerte E und G die 5-%-Quantile zu verwenden. Dazu muss ein benutzerdefiniertes Material erstellt werden, welches nur im Zusatzmodul Anwendung findet. Für dieses Material sind dann die Steifigkeitskennwerte E und G zu ersetzen.

Criação de material definido pelo usuário

Im Anschluss sind die Gabellagerungen zu definieren. Hierbei ist darauf zu achten, dass auch der Freiheitsgrad φ_Z zu lösen ist.

Definição das condições de apoio técnico

Damit die Last an der Oberseite des Trägers wirkt, ist diese exzentrisch zu setzen.

Aplicação de carga excêntrica

In den Details muss die Reduzierung der Steifigkeit durch den Teilsicherheitsbeiwert γ_M noch deaktiviert werden (siehe Bild 07). Alternativ kann auch direkt im benutzerdefinierten Material der Teilsicherheitsbeiwert zu 1,0 gesetzt werden.

Detalhes no RF-/FE-LTB

Aus der Berechnung ergibt sich ein kritischer Lastfaktor von 9,3333 (siehe Bild 08). Wird die Belastung nun mit diesem Faktor multipliziert, wird ein Ausweichen des Obergurtes stattfinden und das System wird instabil.

Fator de carga crítica

Für das kritische Moment folgt:

M_{crit} = 9, 3333 \cdot 40, 50 kNm = 378, 00 kNm

Fórmula 4

Dieses stimmt sehr gut mit dem Ergebnis der analytischen Lösung überein.

Gabelgelagerter Einfeldträger mit Zwischenabstützung

Der Träger wird nun in den Drittelspunkten durch eine Aussteifungskonstruktion seitlich unverschieblich gehalten.

Diagrama do momento fletor no vão interior

Da der Momentenverlauf im mittleren Bereich nahezu konstant ist, wird für die Kipplängenbeiwerte in guter Näherung ein konstanter Momentenverlauf angenommen. Der Wert a₁ ist somit 1,0 und a₂ gleich 0. Es ergibt sich die effektive Länge mit L = 6,0 m zu

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 6, 00 m

Fórmula 5

und das kritische Moment zu

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.142, 41 kNm

Fórmula 6

Aus dem Eigenwertlöser ergibt sich unter Berücksichtigung der Zwischenabstützungen im Schubmittelpunkt (siehe Bild 10) ein kritischer Lastfaktor von 26,1735.

Definição do apoio lateral

Für das kritische Moment folgt:

M_{crit} = 26, 1735 \cdot 40, 50 kNm = 1.060, 03 kNm

Fórmula 7

Wirkt die Zwischenabstützung an der Oberseite (siehe Bild 11) wird der kritische Lastfaktor größer (32,5325), da diese Position sich günstiger auf das Kippverhalten des Trägers auswirkt.

M_{crit} = 32, 5325 \cdot 40, 50 kNm = 1.317, 57 kNm

Fórmula 8

Definição de apoio excêntrico

Die analytische Näherung ist auch für diesen Fall relativ gut.

Alternative Untersuchung am Flächenmodell

Die Verzweigungslastfaktoren können auch mit RFEM und dem Zusatzmodul RF-STABIL berechnet werden. Hierfür ist es notwendig, den Träger als orthotrope Fläche zu modellieren. Die Ergebnisse aus RF-STABIL stimmen sehr gut mit der Stabberechung aus RF-/FE-BGDK überein. Die erste Eigenform sowie der zugehörige Verzweigungslastfaktor sind in Bild 12 dargestellt.

Módulo adicional RF-STABILITY para o RFEM 5

Eigenformen des Flächenmodells mit zugehörigem Verzweigungslastfaktor

Sistema	M_crit analytisch	M_crit RF-/FE-BGDK	M_crit RF-STABIL
ohne Zwischenabstützung	375,42 kNm	378,00 kNm	378,55 kNm
mit Zwischenabstützung im Schubmittelpunkt	1.142,41kNm	1.060,03 kNm	1.085,81 kNm
mit Zwischenabstützung am Obergurt	-	1.317,57 kNm	1.455,98 kNm

Für die meisten Fälle ist es wohl ausreichend, das kritische Biegemoment M_crit beziehungsweise die kritische Biegespannung σ_crit mit den analytischen Gleichungen aus der Literatur zu bestimmen. Für Sonderfälle wurden zwei Möglichkeiten aufgezeigt, wie dies mithilfe von Dlubal-Programmen umgesetzt werden kann. Während mit dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK,die Berechnung mittels Stäben erfolgt, können mit dem Zusatzmodul RF-STABIL noch komplexere Stabilitätsbetrachtungen durchgeführt werden. Als Beispiel sei hier eine Gabellagerung genannt, welche nicht über die komplette Trägerhöhe angeordnet ist. Dies lässt sich mit einem Flächenmodell sehr bequem untersuchen.

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KB 001647 | Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplos 1

Autor

O Eng. Rehm participa nos desenvolvimentos da área das estruturas de madeira e presta apoio técnico a clientes.

Ligações

Downloads

Modelo do artigo técnico | Ficheiro do RFEM 5

1,96 MB

Modelo de artigo técnico | Ficheiro RSTAB 8

1,96 MB

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