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Alex Bacon, EIT

30. Oktober 2019

Bemessung von Holzträgern nach der amerikanischen Norm 2018 NDS

Mit dem Zusatzmodul RF-TIMBER AWC ist eine Bemessung von Holzträgern nach der ASD-Methode der amerikanischen Norm 2018 NDS möglich. Die genaue Berechnung der Tragfähigkeit und der Anpassungsfaktoren von Stäben aus Holz ist aus Sicherheits- und Bemessungsgründen wichtig. Im folgenden Beitrag geht es um den Nachweis des maximalen kritischen Knickens in RF-HOLZ AWC. Es werden schrittweise analytische Gleichungen nach der amerikanischen Norm NDS 2018 verwendet, die Anpassungsfaktoren der Biegung, angepassten Bemessungswert der Biegung und finale Ausnutzung beinhalten.

Bemessung des Holzträgers

Es wird ein 15 ft langer, 4 in x 14 in (nominal) großer Träger aus Douglasien- und Fichtenholz (Norden) mit einer Punktlast von 2,500 kip in der Mitte bemessen. Bei dieser Bemessung sollen die angepassten Faktoren für Biegung und die Biegekapazität des Trägers bestimmt werden. Eine normale Lasteinwirkungsdauer und gelenkige Stützen an jedem Stabende werden hier angenommen. Die Lastkriterien werden für dieses Beispiel vereinfacht. Normale Lastkriterien sind in Abschn. 1.4.4 [1] aufgelistet. In Abbildung 01 ist ein Diagramm des einfachen Trägers mit Lasten und Abmessungen dargestellt.

Trägerbelastung und Abmessungen

Trägereigenschaften

Der in diesem Beispiel verwendete Querschnitt besteht aus Schnittholz mit einem Nennmaß von 4 in x 14 in. Die tatsächlichen Berechnungen der Querschnittseigenschaften des Holzträgers sind nachfolgend beschrieben:

b = 3, 50 in ., d = 13, 25 in ., L = 15 ft .

Formel 1

Bruttoquerschnittsfläche:

A_{g} = b \cdot d = (3, 50 in .) \cdot (13, 25 in .) = 46, 38 in .^{2}

Formel 2

Widerstandsmoment:

S_{x} = \frac{b \cdot d^{2}}{6} = \frac{(3, 50 in .) \cdot {(13, 25 in .)}^{2}}{6} = 102, 41 in .^{3}

Formel 3

Trägheitsmoment:

I_{x} = \frac{b \cdot d^{3}}{12} = \frac{(3, 50 in .) \cdot {(13, 25 in .)}^{3}}{12} = 678, 48 in .^{4}

Formel 4

Als Material für dieses Beispiel wird Douglasie-Lärche (Norden) verwendet. Die Materialeigenschaften sind wie folgt:

Bezugsbemessungswert der Biegung:

F_{b} = 1.350 psi

Formel 5

Mindestelastizitätsmodul:

E_{\min} = 690.000 psi

Formel 6

Anpassungsfaktoren des Trägers

Für die Bemessung von Stäben aus Holz nach der amerikanischen Norm 2018 NDS und der ASD-Methode müssen Stabilitätsfaktoren (oder Anpassungsfaktoren) auf den Bezugsbemessungswert der Biegung (F_b) angewendet werden. Dies liefert letztendlich den angepassten Bemessungswert der Biegung (F'_b). Der Faktor F'_b wird mit der folgenden Gleichung bestimmt, die sich stark an den aufgeführten Anpassungsfaktoren aus Tabelle 4.3.1 [1] orientieren:

F'_{b} = F_{b} \cdot C_{D} \cdot C_{M} \cdot C_{t} \cdot C_{L} \cdot C_{F} \cdot C_{fu} \cdot C_{i} \cdot C_{r}

Formel 7

Im Folgenden wird jeder der Anpassungsfaktoren ermittelt:

C_D - Der Lasteinwirkungsfaktor wird implementiert, um unterschiedliche Lastperioden zu berücksichtigen. Schnee, Wind und Erdbeben werden mit C_D berücksichtigt. Dieser Faktor ist mit allen Bezugsgrößen zu multiplizieren, mit Ausnahme des E-Moduls (E), des E-Moduls für Stab- und Stützenstabilität (E_min) und der Druckkräfte senkrecht zur Faserrichtung (F_c) aus Abschn. 4.3.2 [1] . C_D ist in diesem Fall auf 1,00 gemäß Abschnitt 2.3.2 [1] festgelegt, unter der Annahme einer normalen Lastsdauer von 10 Jahren.

C_M - Der Faktor der Feuchtbetriebsbedingung bezieht sich auf Bemessungswerte für Schnittholz auf der Grundlage der in Abschn. 4.1.4 [1] genannten Nassbetriebsbedingungen. Gemäß Abschn. 4.3.3 [1] wird C_Mauf 1,00 gesetzt.

C_t - Der Temperaturfaktor wird dadurch gesteuert, dass ein Stab anhaltend hohen Temperaturen von bis zu 150 Grad Fahrenheit ausgesetzt ist. Alle Bezugsbemessungswerte werden mit C_t multipliziert. Unter Verwendung der Tabelle 2.3.3 [1] wird C_t für alle Bezugsbemessungswerte auf 1,00 gesetzt, unter der Voraussetzung, dass die Temperaturen unter oder gleich 100 Grad Fahrenheit liegen.

C_F- Der Größenfaktor für Schnittholz berücksichtigt die Tatsache, dass Holz kein homogenes Material ist. Die Größe des Trägers und die Holzart werden berücksichtigt. In diesem Beispiel hat der Träger eine Breite zwischen 2 in und 4 in sowie eine nominale Höhe von 14 in. Bezogen auf die Tabelle 4A und anhand des Materials und der Größe des Trägers wird ein Faktor von 1,00 angesetzt. Diese Informationen stehen in Abschn. 4.3.6.1 [1].

C_i - Der perforierte Faktor wird verwendet, um die konservierende Behandlung zu berücksichtigen, die Holz durchläuft, um es widerstandsfähig gegen Fäulnis zu machen, die Pilzwachstum verursachen kann. Meistens handelt es sich dabei um eine Druckbehandlung, in einigen Fällen muss jedoch das Holz perforiert werden, um die Oberfläche für die chemische Behandlung zu vergrößern. In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass das Holz perforiert ist. In Tabelle 4.3.8 [1] wird eine Übersicht darüber angegeben, mit welchen Faktoren die einzelnen Stabeigenschaften multipliziert werden müssen.

C_r - Der repetitive Stabfaktor wird in Fällen verwendet, in denen mehrere Schnittholzelemente auf eine gleichmäßige Art und Weise wirken und die Lasten gleichmäßig auf die Stäbe verteilen. Diese Stäbe können nicht mehr als 24 in von der Mitte aus gesetzt werden. In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass der Träger eng beieinander liegt und entweder durch eine Ummantelung oder eine Verkleidung verbunden ist. In diesem Fall ist der repetitive Stabfaktor C_r gleich 1,15 gemäß Abschn. 4.3.9 [1].

C_L - Der Trägerstabilitätsfaktor prüft, dass das Drillknicken oder das Knicken der schwachen Achse nicht über lange, nicht seitlich abgestützte Spannweiten erfolgt. Dies wird in Abschn. 5.3.4 [1] genannt und wird nachstehend berechnet.

C_fu - Der flache Nutzungsfaktor wird verwendet, wenn die Belastung eines Stabes aus Holz auf die schwache Achse gegen die starken Achse aufgebracht wird. In diesem Beispiel wird die Belastung auf die starke Achse aufgetragen, sodass dieser Faktor nicht in diese Berechnungen einbezogen wird.

C_T - Der Knicksteifigkeitsfaktor wird verwendet, um Sperrholzummantelungen zu berücksichtigen, die den Knickwiderstand von Druckbindergurten erhöhen können. In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass es keine Sperrholzummantelung gibt, sodass C_T gleich 1,00 ist.

Angepasster Elastizitätsmodul

Der Bezugsmodul der Elastizitätswerte (E und E_min) muss ebenfalls angepasst werden. Der angepasste Elastizitätsmodul (E' und E'_min) wird aus Tabelle 4.3.1 [1] ermittelt und der Perforierungsfaktor C_i beträgt 0,95 gemäß Tabelle 4.3.8 [1].

\begin{array}{l} E ­' = E \cdot C_{M} \cdot C_{t} \cdot C_{i} \\ E' = 160.550 psi \\ E'_{\min} = E_{\min} \cdot C_{M} \cdot C_{t} \cdot C_{i} \cdot C_{T} \\ E'_{\min} = 690.000 psi \end{array}

Formel 8

Trägerstabilitätsbeiwert (C_L)

Der Trägerstabilitätsbeiwert (C_L) wird benötigt, um den angepassten Biegebemessungswert des Trägers und die Biegeausnutzung zu berechnen. Die folgenden Schritte enthalten die notwendigen Gleichungen und Werte, um C_L zu bestimmen.

Die effektive Länge dieses Trägers kann unter Verwendung der seitlichen freitragenden Länge (l_u) berechnet werden, die die volle Länge des Trägers ist. Die in Inches umgerechnete Stablänge wird in der effektiven Längengleichung aus Tabelle 3.3.3 [1] verwendet.

\begin{array}{l} l_{u} = 15 ft . \cdot \frac{12 in .}{1 ft .} = 180 in . \\ l_{e} = 1, 37 l_{u} 3 \cdot d \\ l_{e} = 23, 86 ft . \end{array}

Formel 9

Als nächstes wird das Schlankheitsverhältnis von Biegestäben (R_B) unter Verwendung von Abschn. 3.3.3.6 [1] berechnet mit der Breite, Tiefe und effektiven Spannweite des Trägers.

\begin{array}{l} R_{B} = \sqrt{\frac{l_{e} \cdot d}{b^{2}}} = \sqrt{\frac{23, 86 ft . \cdot 13, 25 in . \cdot \frac{1 ft .}{12 in .}}{{(3, 50 in .)}^{2}}} = \sqrt{2, 15 ft .} = 1, 47 ft \cdot \frac{12 in .}{1 ft .} \\ R_{B} = 17, 60 in . \end{array}

Formel 10

Nun wird der Biegedrillbemessungswert für Biegestäbe (F_be) unter Bezugnahme auf Abschn. 3.3.3.8 [1] berechnet. Der Elastizitätsmodul für die Trägerstabilität (E'_min ) wird zusammen mit dem zuvor berechneten Schlankheitsverhältnis der Biegung (R_B) verwendet.

F_{be} = \frac{1.20 \cdot E'_{\min}}{R_{B}^{2}} = \frac{1.20 \cdot (655, 500 psi)}{{(17.60 in .)}^{2}} = 2539.39 psi

Formel 11

Der Trägerstabilitätsfaktor (C_L) kann nun unter Bezugnahme auf denselben Abschnitt oben berechnet werden.

C_{L} = \frac{1 \frac{F_{be}}{F *_{b}}}{1, 9} - \sqrt{{(\frac{1 \frac{F_{be}}{F *_{b}}}{1, 9})}^{2} - \frac{\frac{F_{be}}{F *_{b}}}{0, 95}} = 0, 96

Formel 12

Der perforierte Faktor C_i beträgt 0,80 für F_b aus Tabelle 4.3.8 [1]. Nun wurden alle Anpassungsfaktoren aus Tabelle 4.3.1 [1] ermittelt. Daher kann der angepasste Bemessungswert der Biegung (F'_b) berechnet werden.

\begin{array}{l} F'_{b} = F_{b} \cdot C_{D} \cdot C_{M} \cdot C_{t} \cdot C_{L} \cdot C_{F} \cdot C_{fu} \cdot C_{i} \cdot C_{r} \\ F'_{b} = 1192, 32 psi \end{array}

Formel 13

Trägerausnutzung

Das Endziel dieses Beispiels ist es, die Ausnutzung für diesen einfachen Träger zu erhalten. Dadurch kann man erfahren, ob die Stabgröße bei der gegebenen Belastung angemessen oder noch weiter optimiert werden muss. Die Berechnung der Ausnutzung erfordert das maximale Biegemoment und die tatsächliche Biegespannung.

Das maximale Moment um die x-Achse (M_max) ergibt sich wie folgt.

M_{\max} = \frac{P \cdot L}{4} = 9.375 lb \cdot ft

Formel 14

Als nächstes wird die tatsächliche Biegespannung (f_b) durch Einsetzen von M_max und S aus früheren Berechnungen ermittelt. Nachfolgend wird das unter Verwendung von Abschn. 3.3.2.1 [1] gezeigt.

f_{b} = \frac{M_{\max}}{S} = \frac{9.375 lb \cdot ft . \cdot \frac{12 in .}{1 ft .}}{102, 40 in .^{3}} = 1.098, 63 psi

Formel 15

Schließlich kann die Ausnutzung (η) gemäß Abschn. 3.3.1 berechnet werden.

η = \frac{f_{b}}{f'_{b}} \cdot η = \frac{1.098, 63 psi}{1192, 32 psi} \cdot η = 0, 92

Formel 16

Anwendung in RFEM

Für die Holzbemessung gemäß der amerikanischen Norm 2018 NDS in RFEM analysiert und optimiert das Zusatzmodul RF-HOLZ AWC Querschnitte basierend auf Lastkriterien und Tragfähigkeit für einen einzelnen Stab oder einen Stabsatz. Diese stehen entweder dem LRFD- oder dem ASD-Nachweisverfahren zur Verfügung. Beim Modellieren und Entwerfen des obigen Trägerbeispiels in RF-HOLZ AWC können die Ergebnisse verglichen werden.

RFEM-Modell

Im Fenster "Basisangaben" des Zusatzmoduls RF-HOLZ AWC werden Stab, Belastungsbedingungen und Bemessungsmethoden ausgewählt. Material und Querschnitte werden aus RFEM definiert und die Belastungsdauer wird auf zehn Jahre gesetzt. Die Feuchtigkeitsbedingung im Betrieb ist auf Trocken eingestellt und die Temperatur ist gleich oder niedriger als 100 Grad Fahrenheit. Die Definition des Biegedrillknickens erfolgt gemäß Tabelle 3.3.3 [1]. Die Modulberechnungen ergeben eine tatsächliche Biegespannung (f_b) von 1.098,50 psi und einen angepassten Biegebemessungswert (f'_b ) von 1.189,59 psi. Aus diesen Werten wird eine Ausnutzung (η) von 0,92 bestimmt, was gut mit den oben gezeigten analytischen Handberechnungen übereinstimmt.

Zusatzmodul RF-HOLZ AWC

Autor

Alex ist für die Schulung der Kunden, den technischen Support und die Programmentwicklung für den nordamerikanischen Markt verantwortlich.

Links

Statiksoftware für den Holzbau

Referenzen

National Design Specification (NDS) for Wood Construction 2018 Edition

Downloads

RFEM-Modelldatei

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