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2. September 2024

Steifigkeit eines Knotenlagers mittels fiktiver Stütze

In diesem Fachbeitrag werden die Gleichungen vorgestellt, die das Programm bei der Ermittlung der Lagerfedern aus den Stützenparametern verwendet.

Modellierung einer Stütze als Knotenlager

2D-Systeme bieten gegenüber räumlichen Modellen mitunter Vorteile. Bei der ebenen Modellierung herausgelöster Platten müssen jedoch die Lagerungsbedingungen berücksichtigt werden, die sich aus den Stützen ergeben und die im 2D-Modell nicht abgebildet sind. Eine starre Lagerung würde im Bereich der Knotenlager zu Steifigkeitsverhältnissen führen, die meist nicht der Realität entsprechen. Zudem würde das starre Knotenlager Singularitätseffekte bei der FE-Berechnung intensivieren. Da sich die Nachgiebigkeit der Stütze auf die Steifigkeit und den Schnittgrößenverlauf auswirkt, sollte sie im 2D-Modell daher entsprechend berücksichtigt werden.

Tipp

Im Fachbeitrag Singularitäten an Knoten- und Linienlagern von Plattentragwerken vermeiden sind die Effekte der 2D-Modellierung anhand eines Beispiels für RFEM 5 beschrieben.

Singularitäten an Knoten- und Linienlagern von Plattentragwerken vermeiden

Ermittlung der Steifigkeit einer Stütze

Sie können die Konstanten der Federn für Verschiebung und Verdrehung bei der Definition des Knotenlagers manuell festlegen. Das Programm bietet aber auch die Möglichkeit, die Steifigkeit automatisch zu ermitteln. Haken Sie hierzu im Knotenlager-Dialog das Kontrollfeld Steifigkeit mittels fiktiver Stütze an.

Steifigkeit mittels fiktiver Stütze durch Programm ermitteln

Im Register 'Steifigkeit mittels fiktiver Stütze' können Sie dann die Randbedingungen definieren, aus denen das Programm die Lagersteifigkeit bestimmt.

Ermittlung der Lagerfedern

Zunächst können Sie zwischen drei Modellen zur Lagerung auswählen.

Modell der Lagerung auswählen

Im Folgenden wird jedoch ausschließlich auf die Ermittlung der Federkonstanten im Modell der Lagerung durch Flächenbettungen und Elastische Knotenlagerung eingegangen, da das Modell für Knotenlager mit angepasstem FE-Netz numerisch durch Iterationen und Steifigkeitsmatrizen berechnet wird.

Die Abmessungen des Stützenkopfes entscheiden über die Randbedingungen des FE-Modells und die Bemessung. Damit wird auch die Lasteinleitungsfläche definiert.

Der Stützenquerschnitt ist maßgebend für die zur Berechnung benötigte Steifigkeit der Stütze.

Flächenbettungen

Dieses Modell erlaubt eine detaillierte Analyse der Lastverteilung und der Verformungen über eine Fläche. Diese Art der Betrachtung ist komplexer als die der elastischen Knotenlagerung, da sie eine durchgehende Verteilung von Reaktionskräften und das Biegeverhalten in mehrere Richtungen modelliert.

Flächenbettung	mit Berücksichtigung der Schubsteifigkkeit
Gelenkig am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot A_{head} \cdot (4 + k_{z})}$ $C_{u Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot A_{head} \cdot (4 + k_{y})}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h \cdot A_{head}}$ $C_{φ Y} = \frac{E I_{z}}{A_{head} \cdot h} \cdot \frac{2}{1 + k_{z}}$ $C_{φ X} = \frac{E I_{y}}{A_{head} \cdot h} \cdot \frac{2}{1 + k_{y}}$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenfuß, elastische Flächenbettung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Nachgiebig am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot A_{head} \cdot (4 + k_{z})} + \frac{X}{100} \cdot \frac{36 \cdot E I_{z}}{A_{head} \cdot h^{3} \cdot (1 + k_{z}) \cdot (4 + k_{z})}$ $C_{u Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot A_{head} \cdot (4 + k_{y})} + \frac{X}{100} \cdot \frac{36 \cdot E I_{y}}{A_{head} \cdot h^{3} \cdot (1 + k_{y}) \cdot (4 + k_{y})}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h \cdot A_{head}}$ $C_{φ Y} = 2 \cdot \frac{E I_{z}}{\cdot A_{head} \cdot h \cdot (1 + k_{z})} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{z}}{A_{head} \cdot h \cdot (1 + k_{z})}$ $C_{φ X} = \frac{2 \cdot E I_{y}}{A_{head} \cdot h \cdot (1 + k_{y})} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{y}}{A_{head} \cdot h \cdot (1 + k_{y})}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenfuß, elastische Flächenbettung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Eingespannt am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot A_{head} \cdot (1 + k_{z})}$ $C_{u Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot A_{head} \cdot (1 + k_{y})}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h \cdot A_{head}}$ $C_{φ Y} = \frac{E I_{z}}{A_{head} \cdot h} \cdot \frac{3}{1 + k_{z}}$ $C_{φ X} = \frac{E I_{y}}{A_{head} \cdot h} \cdot \frac{3}{1 + k_{y}}$ Federkonstanten - Eingespannter Stützenfuß, elastische Flächenbettung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit

Flächenbettung	ohne Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Gelenkig am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{3 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot A_{head}}$ $C_{u Y} = \frac{3 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot A_{head}}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h \cdot A_{head}}$ $C_{φ Y} = 2 \cdot \frac{E I_{z}}{A_{head} \cdot h}$ $C_{φ X} = 2 \cdot \frac{E I_{y}}{A_{head} \cdot h}$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenfuß, elastische Flächenbettung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit
Nachgiebig am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{3 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot A_{head}} + \frac{X}{100} \cdot \frac{9 \cdot E I_{z}}{A_{head} \cdot h^{3}}$ $C_{u Y} = \frac{3 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot A_{head}} + \frac{X}{100} \cdot \frac{9 \cdot E I_{y}}{A_{head} \cdot h^{3}}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h \cdot A_{head}}$ $C_{φ Y} = 2 \cdot \frac{E I_{z}}{A_{head} \cdot h} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{z}}{A_{head} \cdot h}$ $C_{φ X} = 2 \cdot \frac{E I_{y}}{A_{head} \cdot h} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{y}}{A_{head} \cdot h}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenfuß, elastische Flächenbettung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit
Eingespannt am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot A_{head}}$ $C_{u Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot A_{head}}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h \cdot A_{head}}$ $C_{φ Y} = 3 \cdot \frac{E I_{z}}{A_{head} \cdot h}$ $C_{φ X} = 3 \cdot \frac{E I_{y}}{A_{head} \cdot h}$ Federkonstanten - Eingespannter Stützenfuß, elastische Flächenbettung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit

Elastische Knotenlagerung

Dieses Modell konzentriert sich auf die Verformungen und Kräfte an spezifischen Knotenpunkten. Dadurch ist dieses Modell einfacher zu berechnen als das vorherige.

Elastische Knotenlagerung	Gelenkiger Stützenkopf mit Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Gelenkig am Stützenfuß	$C_{u X} = 0$ $C_{u Y} = 0$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ Y} = 0$ $C_{φ X} = 0$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenkopf, gelenkiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Nachgiebig am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{X}{100} \cdot \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot (4 + k_{z})}$ $C_{u Y} = \frac{X}{100} \cdot \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot (4 + k_{y})}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ Y} = 0$ $C_{φ X} = 0$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenkopf, nachgiebiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Eingespannt am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot (4 + k_{z})}$ $C_{u Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot (4 + k_{y})}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ Y} = 0$ $C_{φ X} = 0$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenkopf, eingespannter Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit

Elastische Knotenlagerung	Gelenkiger Stützenkopf ohne Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Gelenkig am Stützenfuß	$C_{u X} = 0$ $C_{u Y} = 0$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ Y} = 0$ $C_{φ X} = 0$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenkopf, gelenkiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit
Nachgiebig am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{X}{100} \cdot \frac{3 \cdot E I_{z}}{h^{3}}$ $C_{u Y} = \frac{X}{100} \cdot \frac{3 \cdot E I_{y}}{h^{3}}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ Y} = 0$ $C_{φ X} = 0$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenkopf, nachgiebiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit
Eingespannt am Stützenfuß	$C_{u X} = \frac{3 \cdot E I_{z}}{H^{3}}$ $C_{u Y} = \frac{3 \cdot E I_{y}}{H^{3}}$ $C_{u Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ Y} = 0$ $C_{φ X} = 0$ Federkonstanten - Gelenkiger Stützenkopf, eingespannter Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit

Elastische Knotenlagerung	Nachgiebiger Stützenkopf mit Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Gelenkig am Stützenfuß	$C_{u, X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot (4 + k_{z})}$ $C_{u, Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} (4 + k_{y})}$ $C_{u, Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ, X} = \frac{3 + k_{y}}{1 + k_{y}} \cdot \frac{E I_{y}}{h}$ $C_{φ, Y} = \frac{3 + k_{z}}{1 + k_{z}} \cdot \frac{3 \cdot E I_{z}}{h}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenkopf, gelenkiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Nachgiebig am Stützenfuß	$C_{u, X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot (4 + k_{z})} + \frac{X}{100} \cdot \frac{36 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot (1 + k_{z}) (4 + k_{z})}$ $C_{u, Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot (4 + k_{y})} + \frac{X}{100} \cdot \frac{36 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot (1 + k_{y}) (4 + k_{y})}$ $C_{u, Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ, X} = \frac{3 + k_{y}}{1 + k_{y}} \cdot \frac{E I_{y}}{h} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{y}}{h \cdot (1 + k_{y})}$ $C_{φ, Y} = \frac{3 + k_{z}}{1 + k_{z}} \cdot \frac{E I_{z}}{h} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{z}}{h \cdot (1 + k_{z})}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenkopf, nachgiebiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Eingespannt am Stützenfuß	$C_{u, X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3} \cdot (1 + k_{z})}$ $C_{u, Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3} \cdot (1 + k_{y})}$ $C_{u, Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ, X} = \frac{4 + k_{y}}{1 + k_{y}} \cdot \frac{E I_{y}}{h}$ $C_{φ, Y} = \frac{4 + k_{z}}{1 + k_{z}} \cdot \frac{E I_{z}}{h}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenkopf, eingespannter Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Berücksichtigung der Schubsteifigkeit

Elastische Knotenlagerung	Nachgiebiger Stützenkopf ohne Berücksichtigung der Schubsteifigkeit
Gelenkig am Stützenfuß	$C_{u, X} = \frac{3 \cdot E I_{z}}{h^{3}}$ $C_{u, Y} = \frac{3 \cdot E I_{y}}{h^{3}}$ $C_{u, Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ, X} = \frac{3 \cdot E I_{y}}{h}$ $C_{φ, Y} = \frac{3 \cdot E I_{z}}{h}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenkopf, gelenkiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit
Nachgiebig am Stützenfuß	$C_{u, X} = \frac{3 \cdot E I_{z}}{h^{3}} + \frac{X}{100} \cdot \frac{9 \cdot E I_{z}}{h^{3}}$ $C_{u, Y} = \frac{3 \cdot E I_{y}}{h^{3}} + \frac{X}{100} \cdot \frac{9 \cdot E I_{y}}{h^{3}}$ $C_{u, Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ, X} = \frac{3 \cdot E I_{y}}{h} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{y}}{h}$ $C_{φ, Y} = \frac{3 \cdot E I_{z}}{h} + \frac{X}{100} \cdot \frac{E I_{z}}{h}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenkopf, nachgiebiger Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit
Eingespannt am Stützenfuß	$C_{u, X} = \frac{12 \cdot E I_{z}}{h^{3}}$ $C_{u, Y} = \frac{12 \cdot E I_{y}}{h^{3}}$ $C_{u, Z} = \frac{E A}{h}$ $C_{φ, X} = \frac{4 \cdot E I_{y}}{h}$ $C_{φ, Y} = \frac{4 \cdot E I_{z}}{h}$ Federkonstanten - Nachgiebiger Stützenkopf, eingespannter Stützenfuß, elastische Knotenlagerung, Vernachlässigung der Schubsteifigkeit

Info

Wenn die Schubsteifigkeit nicht berücksichtigt wird, könnte die tatsächliche Verformung der Stütze unterschätzt werden. Dies führt zu einer weniger präzisen Analyse, insbesondere bei kurzen, breiten Stützen oder wenn die Stütze signifikante horizontale Lasten tragen muss.

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