Berechnung von Holztafelwänden | 2. Steifigkeit und Nachgiebigkeit einer Wand

Die Berechnung der Verformung bezieht sich dabei auf den ersten Artikel dieser Reihe.

• KB | Berechnung von Holztafelwänden | 1. Ermittlung der Tragfähigkeit und Steifigkeit

1 System

Steifigkeit einer Wand

Die Steifigkeit einer Wand wird unter einer Einheitslast für 1 kN berechnet. Weiterführende Informationen zu den hier verwendeten Gleichungen finden sich in der angegebenen Literatur [1] sowie dem erwähnten früheren Beitrag dieser Reihe.

Beispiel

Die Berechnung der Steifigkeit wird für ein einfaches Beispiel mit den in Bild 01 dargestellten Dimensionen durchgeführt.

2 System

System

• Länge Wand l = 2,50 m
• Höhe Wand h = 2,75 m
• Ständer C24 6/12 cm, ρ_m,T = 350 kg/m³
• Beplankung OSB 3, t = 18 mm (einseitig), ρ_m,O = 439 kg/m³, G = 108 kN/cm²
• k_ser = 159N/mm
• b_E = b+t = 12cm + 1,8cm = 13,8 cm
• Verklammerung d = 1,5 mm, t = 45 mm
• Abstand Verklammerung a_v = 60 mm (einreihig)
• Raster 62,5 cm
• Zuganker mit 10 Nägeln Durchmesser 4,2 mm ausgenagelt
• FE-Netzgröße ist 1,3m (4 Elemente pro Scheibe)

Steifigkeit

• Nachgiebigkeit des Verbindungsmittels (Klammer):
  $${\mathrm{u}}_{\mathrm{k},\mathrm{inst}} = \left(2 · \mathrm{l} + 2 · \mathrm{h}\right) · \frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{v}}}{{\mathrm{k}}_{\mathrm{ser}} · \mathrm{l}²} · \mathrm{F}$$

  $$= \left(2 · 2500 \mathrm{mm} + 2 · 2750 \mathrm{mm}\right) · \frac{60 \mathrm{mm}}{159 \mathrm{N}/\mathrm{mm} · (2500 \mathrm{mm})²} · 1000 \mathrm{N}$$

  $$= 0.634 \mathrm{mm}$$

  Nachgiebigkeit des Verbindungsmittels (Klammer)
• Nachgiebigkeit der Beplankung:
  $${\mathrm{u}}_{\mathrm{G},\mathrm{inst}} = \frac{\mathrm{F} · \mathrm{h}}{{\displaystyle \frac{5}{6} · \mathrm{G} · \mathrm{A}}} = \frac{1000 \mathrm{N} · 2750 \mathrm{mm}}{{\displaystyle \frac{5}{6} · 1080 \mathrm{N}/\mathrm{mm}² · 18 \mathrm{mm} · 2500 \mathrm{mm}}} = 0.068 \mathrm{mm}$$

  Nachgiebigkeit der Beplankung
• Nachgiebigkeit der Rippen:
  $${\mathrm{u}}_{\mathrm{E},\mathrm{inst}} = \frac{2}{3} · \frac{\mathrm{F} · {\mathrm{h}}^3}{\mathrm{E} · \mathrm{A} · {\mathrm{l}}^2} = \frac{2}{3} · \frac{1000 \mathrm{N} ·(2750 \mathrm{mm})³}{11000 \mathrm{N}/\mathrm{mm}² · 60 \mathrm{mm} · 120 \mathrm{mm} · (2500 \mathrm{mm})²} = 0.028 \mathrm{mm}$$

  Nachgiebigkeit der Rippen
• Nachgiebigkeit Anker:
  $$\begin{array}{l}{\mathrm{k}}_{\mathrm{ser}} = 10 · {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{m}}^{1.5} · \frac{{\mathrm{d}}^{0.8}}{30} = 10 · {(350 \mathrm{kg}/\mathrm{m}³)}^{1.5} · \frac{{(4.2 \mathrm{mm})}^{0.8}}{30} = 6879.9 \mathrm{N}/\mathrm{mm}\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{K},\mathrm{DF}} = \mathrm{h} · \sin \mathrm{\alpha } = 2750 \mathrm{mm} · \sin (0.0195) = 0.94 \mathrm{mm}\\ \mathrm{\alpha } = \frac{\mathrm{F} · \mathrm{h} · 180}{{\mathrm{K}}_{\mathrm{DF}} · \mathrm{\pi }} = \frac{1000 \mathrm{N} · 2750 \mathrm{mm} · 180}{8.06 · {10}^9 · \mathrm{\pi }} = 0.0195°\\ {\mathrm{K}}_{\mathrm{DF}} = \frac{{\mathrm{l}}^2 · {\mathrm{k}}_{\mathrm{ser}}}{2} = \frac{(2500 \mathrm{mm})² · 6879.9 \mathrm{N}/\mathrm{mm}}{2} = 2.15 · {10}^{10}\end{array}$$

  Nachgiebigkeit Anker
• Summe der Nachgiebigkeiten (gerechnet ohne Zuganker):
  $${\mathrm{u}}_{\mathrm{inst}} = {\mathrm{u}}_{\mathrm{E},\mathrm{inst}} \frac{1}{\sum {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{u}}_{\mathrm{G},\mathrm{inst}}}}} \frac{1}{\sum {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{u}}_{\mathrm{k},\mathrm{inst}}}}} = 0.028 0.07 0.63 = 0.728 \mathrm{mm}$$

  Summe der Nachgiebigkeiten

Umrechnung in effektive Fläche

Die berechnete Steifigkeit wird in eine effektive orthotrope Scheibensteifigkeit umgerechnet. Hintergrundinformationen zum orthotropen Materialmodell befinden sich in diesem Fachbeitrag.

• KB | Orthotrope Materialgesetze

• Normalsteifigkeitsanteil:
  $$\begin{array}{l}{\mathrm{E}}_{\mathrm{eq}} = \frac{\mathrm{F} · \mathrm{h}³}{{3 · \mathrm{u}}_{\mathrm{E},\mathrm{inst}} · {\displaystyle \frac{\mathrm{l}³ · \mathrm{b}}{12}}}=\frac{1 \mathrm{kN} · (275 \mathrm{cm})³}{3 · 0.0028 \mathrm{cm} · {\displaystyle \frac{(250 \mathrm{cm})³ · 12 \mathrm{cm}}{12}}} = 158.45 \mathrm{kN}/\mathrm{cm}²\\ \mathrm{D}66/77 = \frac{\mathrm{E} · \mathrm{d}}{1 - \mathrm{\nu }} = 158.45 \mathrm{kN}/\mathrm{cm}² · 12 \mathrm{cm} = 1901.4 \mathrm{kN}/\mathrm{cm}\end{array}$$

  Normalsteifigkeitsanteil
• Schubsteifigkeit in Scheibenebene:
  $$\begin{array}{l}{\mathrm{G}}_{\mathrm{eq}} = \frac{\mathrm{F} · \mathrm{h}}{({\mathrm{u}}_{\mathrm{G},\mathrm{inst}} {\mathrm{u}}_{\mathrm{k},\mathrm{inst}}) · {\displaystyle \frac{5}{6}} · {\mathrm{b}}_{\mathrm{E}} · \mathrm{l}} = \frac{1 \mathrm{kN} · 275 \mathrm{cm}}{0.07 \mathrm{cm} · {\displaystyle \frac{5}{6}} · 13.8 \mathrm{cm} · 250 \mathrm{cm}} = 1.37 \mathrm{kN}/\mathrm{cm}²\\ \mathrm{D}88 = {\mathrm{G}}_{\mathrm{eq}} · {\mathrm{b}}_{\mathrm{E}} = 1.37 \mathrm{kN}/\mathrm{cm}² · 13.8 \mathrm{cm} = 18.86 \mathrm{kN}/\mathrm{cm}\end{array}$$

  Schubsteifigkeit in Scheibenebene

Der Zuganker kann direkt in RFEM als linear elastische Feder mit der berechneten Federsteifigkeit von 6.879,9 N/mm definiert werden. Der Vergleich der Verformungen wird im Bild 1 gezeigt. Im angehängten Modell 1 können die Unterschiede ebenfalls nachvollzogen werden.

Für eine dreidimensionale Berechnung birgt diese Methode das Problem der Definition der Plattenbiegesteifigkeiten. In dem genannten Fachbeitrag zu den orthotropen Materialmodellen wird dies näher erläutert.

Anstatt die Steifigkeit der Holztafelwand über Flächen abzubilden, wird im weiteren eine Methode zur Umrechnung der berechneten Nachgiebigkeit in ein Liniengelenk aufgezeigt.

3 Räumliches Modell

Der Vorteil hier liegt darin, dass die Flächeneigenschaften des Modells als starr angenommen werden können.

Zusammenfassung

In diesem Beitrag wurde die Berechnung einer Holztafel über eine effektive orthotrope Fläche aufgezeigt. Der Zuganker kann direkt als Federsteifigkeit definiert werden. Für eine lineare zweidimensionale Berechnung des Systems decken sich die Ergebnisse sehr gut mit den Handrechnungen in [1]. Eine reale Bemessung mit den Lasten aus einer Aussteifungsberechnung kann hiermit erfolgen. Das Modell zur Beispielrechnung findet sich unter Downloads.

Als weitere Option wurde die Umrechnung der Nachgiebigkeit in eine lineare Feder der Linie aufgezeigt. Für räumliche Modelle ist diese Methode besser geeignet, da sie den Einfluss aus Plattenbiegung sowie Biegung in Scheibenebene weitgehend ausschließt. Auch hierzu findet sich das Modell unter Downloads.

In einem weiteren Beitrag wird die Aussteifung eines Grundrisses in 2D sowie die Bemessung der Wandtafeln in 3D aufgezeigt.