Online-Handbücher RFEM 6 | Mehrschichtige Flächen

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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

20. Oktober 2023

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Add-On Mehrschichtige Flächen

Theorie

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Berechnungsbeispiele

Spannungen

Festigkeiten

In folgender Tabelle sind die Festigkeiten angegeben, die für die Spannungsanalyse von Brettsperrholz eine Rolle spielen.

Symbol	Festigkeit	Grafik
f_m,0,k	Biegefestigkeit
f_t,0,k	Zugfestigkeit
f_t,90,k	Zugfestigkeit senkrecht
f_c,0,k	Druckfestigkeit
f_c,90,k	Druckfestigkeit senkrecht
f_v,xz,k	Schubfestigkeit
f_v,xy,k	Schubfestigkeit (Versagensmechanismus 1)
f_v,net,k	Schubfestigkeit (Versagensmechanismus 2)
f_v,tor,k	Schubfestigkeit (Versagensmechanismus 3)
f_v,yz,k	Rollschubfestigkeit

Die Grundspannungen werden in RFEM nach der Finite-Elemente-Methode berechnet. Die entsprechenden Gleichungen sind im Kapitel Spannungen des RFEM-Handbuchs vorgestellt.

Grundgleichung

σ (z) = d_{i} ε (z)

Spannungsberechnung

Berechnung der Dehnung

ε_{t o t} = [\begin{matrix} \begin{matrix} (\frac{\partial u}{\partial x}) + (\frac{\partial φ_{y}}{\partial x}) \\ (\frac{\partial v}{\partial y}) - (\frac{\partial φ_{x}}{\partial y}) \\ \frac{\partial φ_{y}}{\partial y} - \frac{\partial φ_{x}}{\partial x} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial x} + φ_{y} \\ \frac{\partial w}{\partial y} - φ_{x} \\ \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \end{matrix} \end{matrix}] \cdot z

Dehnung Mehrschichtige Flächen

Biegespannungen

Die Dehnung wird gemäß obiger Gleichung wie folgt bestimmt:

ε_{x} = (\frac{\partial u}{\partial x}) + (\frac{\partial φ_{y}}{\partial x}) \cdot z

Dehnung x mehrschichtige Flächen

Bei reiner Biegebeanspruchung ohne Normalkraft vereinfacht sich die Berechnung der Gesamtdehnung mittels der Inversen der Gesamtplattensteifigkeit. In folgender Gleichung wird dies für die X-Richtung dargestellt.

ε_{x, g} = D 11^{- 1} \cdot m_{x}

Gesamtdehnung Biegung x

Aus dieser Gesamtdehnung wird die Spannung für einen Gesamtaufbau ermittelt. Anschließend wird über die lokale Steifigkeitsmatrix jeder Schicht die Spannung an den einzelnen Integrationspunkten berechnet.

ε_{x, i} = ε_{x, g} \cdot z_{i}

Dehnung je Integrationspunkt

σ_{x, i} = d 11 \cdot ε_{x, i}

Spannung je Integrationspunkt

Im folgenden Bild wird dieses Verfahren exemplarisch für eine dreilagige Platte gezeigt. Der Spannungsverlauf links stellt die Ausgangsspannung dar, der Spannungsverlauf rechts die resultierende Spannung in jeder Schicht. Da die mittlere Schicht in diesem Beispiel den E-Modul E_y = 0 aufweist, kann dort auch keine nennenswerte Spannung vorliegen.

Spannungsverlauf gesamt (links) und lokal (rechts)

Schubspannungen

Für Schub bei Beanspruchung in Plattenebene sind drei Arten von Versagensmechanismen (VM) zu unterscheiden.

Versagensmechanismus 1

Versagensmechanismus 1: Schub Bruttoquerschnitt

Versagensmechanismus 2

Versagensmechanismus 2: Schub Nettoquerschnitt

η = \frac{τ_{x, netto}}{f_{v, n e t t o}} = \frac{\frac{n_{x y} e_{x}}{b_{x} \sum_{i, y} t_{i}}}{f_{v, n e t t o}} \leq 1

η = \frac{τ_{y, netto}}{f_{v, n e t t o}} = \frac{\frac{n_{x y} e_{y}}{b_{y} \sum_{i, x} t_{i}}}{f_{v, n e t t o}} \leq 1

n_xy	Schubkraft
e_x, e_y	Brettbreite in x- oder y-Richtung mit Fuge
b_x, b_y	Brettbreite in x- oder y-Richtung

Versagensmechanismus 2

Versagensmechanismus 3

Dieser Versagensmechanismus entspricht im Prinzip einem Torsionsnachweis. Hier wird nachgewiesen, dass die Schubspannungen durch das Scheren der Kreuzungsflächen der übereinanderliegenden Bretter nicht zu groß werden.

Versagensmechanismus 3: Schub Klebeflächen

η = \frac{τ_{t o r, x}}{f_{v, t o r}} + \frac{τ_{x} + τ_{x z}}{f_{R}} = \frac{\frac{3 n_{x y}}{e_{x} (n - 1)}}{f_{v, t o r}} + \frac{\frac{\frac{\partial n_{x}}{\partial x}}{n - 1} + τ_{x z}}{f_{R}} \leq 1

η = \frac{τ_{t o r, y}}{f_{v, t o r}} + \frac{τ_{y} + τ_{y z}}{f_{R}} = \frac{\frac{3 n_{x y}}{e_{y} (n - 1)}}{f_{v, t o r}} + \frac{\frac{\frac{\partial n_{y}}{\partial y}}{n - 1} + τ_{y z}}{f_{R}} \leq 1

Versagensmechanismus 3

Der Wert e_x oder e_y bezeichnet die Brettbreite in x- bzw. y-Richtung mit Fuge.

Rollschubspannungen

Die Rollschubspannungen werden über die Resultierende der Schubspannungen in Dickenrichtung x sowie y über folgende Gleichung berücksichtigt.

{τ_{y z}}^{'} = - τ_{x z} \sin β + τ_{y z} \cos β

Rollschubspannungen

Bei einer üblichen Orientierung einer Brettsperrholzplatte von 0° / 90° der einzelnen Lagen, wird demzufolge entweder die Schubspannung in x oder y Richtung dem Rollschub gegenübergestellt.

Übergeordnetes Kapitel

Theorie