215x

10. September 2024

Imperfektionen in Nachweisformeln für Biegeknicknachweis

Der Biegeknicknachweis stellt eine Kombination eines Stabilitäts- und Tragsicherheitsnachweises dar, der im Stahlbau bereits seit hunderten Jahren Anwendung findet. Die kritische Knicklast ist hier der Ausgangspunkt zur Berücksichtigung des Stabilitätsproblems, doch ohne Berücksichtigung von Imperfektionen ist noch kein Nachweis geführt. Wie genau sind diese Imperfektionen festgelegt?

Info

Für ein besseres Verständnis dieses Beitrags empfiehlt es sich, zunächst den Beitrag der Eulerschen Knicklast zu lesen: KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder? . Dort sind der Hintergrund und ähnliche Gleichungsumformungen der Differentialgleichungen ausführlich beschrieben.

Die Imperfektion des Bauteils besteht aus folgenden Anteilen:

geometrische Imperfektionen
materielle Imperfektionen
exzentrische Lasteinleitung

Da sich diese Imperfektionen über die Länge des Bauteils verteilen, wird für sie zunächst eine Funktion angesetzt:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Anfangsimperfektion

Imperfektionsfunktion

Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Weiterhin beinhaltet dieser Nachweis zusätzliche Effekte aus Theorie II. Ordnung. Diese sind aber streng als zusätzlich wahrzunehmen und nur virtuell in der Herleitung der richtigen Biegefunktion aus der Imperfektion vorhanden. Es ist ausdrücklich kein Verzicht auf die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermöglicht aufgrund dieses Einzelnachweises, der auf Effekten der Theorie II. Ordnung beruht. Die zusätzlichen Effekte aus Theorie II. Ordnung, die in diesem Nachweiskonzept enthalten sind, sind sehr gering und sollten auf die bereits veränderten Schnittgrößen des Gesamttragwerks angewandt werden. Die Ausgangfunktion ist – wie bei der Ermittlung der idealen Knicklast – das Gleichgewicht innerer Momente und der Normalkraft mit ihrer Ausmitte.

Das folgende Bild zeigt, wie die Eulersche Knicklast ermittelt wird, und vergleicht dies anhand der Formeln nach Euler sowie der Ermittlung anhand von numerischen Methoden. Dabei lässt sich eine Abweichung von nur 0,47 % feststellen. Dies verdeutlicht, wie vor mehreren hundert Jahren die Grundlage der modernen Stabilitätsanalyse geschaffen wurde.

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Die Ausmitte setzt sich nun jedoch zusammen aus einem Teil, der rein aus der Imperfektionsfunktion besteht, und einem Teil der Verformungen infolge Theorie II. Ordnung. Damit ergibt sich folgende Formel:

E I \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{E I} \cdot w (x) = - \frac{N}{E I} \cdot e (x)

Ansatz der Imperfektion

Wieder wird die Konstante α zur Substitution eingeführt:

α = \sqrt{\frac{N}{E I}}

Konstante α

Daraus ergibt sich bei Einsetzen der Konstante sowie der Imperfektionsfunktion folgende Differentialgleichung:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Differentialgleichung mit Imperfektionen sowie Theorie II. Ordnung

Dies entspricht einer inhomogenen Differentialgleichung:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Inhomogener Teil der Differentialgleichung der Imperfektion

Sie stellt die Imperfektionsfunktion dar und kann somit nicht 0 sein.

Zunächst wird die Lösung der homogenen Gleichung gesucht:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Differentialgleichung von Euler mit α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL der Durchbiegung nach Reduzierung auf reellen Anteil

Anschließend muss der partikuläre Teil der Gleichung gelöst werden:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Partikulärer Teil der DGL für Imperfektionen

Setzt man nun diese partikuläre Lösung in die homogene Gleichung ein, ergibt sich:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Einsetzen partikulärer Lösung der Imperfektions-DGL

Es darf durch sin(π·x/L) dividiert werden, da die Bauteile und somit x nie 0 m lang sind.

Somit ergibt sich als Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	homogene Lösung der DGL
w_p	partikuläre Lösung der DGL

Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung

Aus den Randbedingungen W(x=0) ergibt sich somit B und w(x=L) = 0. Dadurch ergibt sich somit B = 0 und die Differentialgleichung reduziert sich auf:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Reduzierte Differentialgleichung für Durchbiegung mit Imperfektionen

Da hier für A ≢ 0 die Eulersche Knicklast resultieren muss und die Imperfektion wieder infinitesimal werden muss, muss hier der Fall A = 0 betrachtet werden!

Somit ergibt sich die Gleichung:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

DGL der Biegelinie für angesetzte Imperfektionen

Nun lässt sich das Kräftegleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte bilden:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Bestimmung des maximalen Biegemoments als Funktion der Normalkraft

Beim Einsetzen der Eulerschen Knicklast sowie einer Extremwertberechnung ergibt sich somit das maximale Biegemoment.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Bestimmung des Extremwertes des Biegemoments

Der Vergrößerungsfaktor (1-N/N_cr)^-1 wird als Dischinger Faktor bezeichnet.

Auf der sicheren Seite liegend wird ein Flächenträgheitsmoment angesetzt, das den Steg vernachlässigt. Ferner werden weitere Imperfektionsbeiwerte in Abhängigkeit von der Stahlgüte sowie Verhältnisse der Profilabmessungen (Knickkurven) genutzt, um das Knickversagen auf Basis von plastizierenden Flanschen zu bemessen. Man könnte daher die Wahl der Knickkurve als eine vereinfachte Art der Querschnittsklassifizierung betrachten, die bei beulgefährdeten Querschnitten den Ansatz der plastizierenden Querschnitte wieder reduziert. Vereinfacht wird von einer linearen Interaktion ausgegangen.

Lineare M/N Interaktion

Der vereinfachte Trägheitsradius wird wie folgt ermittelt:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot t f) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot t f)}} = \frac{h}{2}

Trägheitsradius ohne Steg

Dabei werden nur die Steineranteile der Flansche um die starke Achse betrachtet.

Nun lässt sich die Gleichung für das maximale Moment in Abhängigkeit von der idealen Knicklast in die Gleichung der linearen Interkation einsetzen:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{c r}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{p l} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{p l}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{c r}}} \cdot \frac{N}{N_{p l}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{p l}} = 1

N	maximale Normalkraft vor dem Knicken
e₀	gewählte Vorverformung
N_cr	kritische Knicklast
N_pl	plastische Normalkrafttragfähigkeit
h	Profilhöhe

Einsetzen der Momentengleichung in Abhängigkeit der idealen Knicklast in Interaktionsformel

Weitergehend werden nun folgende Konstanten eingeführt:

χ = \frac{N}{N_{p l}}; λ = \frac{N_{p l}}{N_{c r}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	Vorverformung
L	Länge des Bauteils
λ₁	Grenzschlankheit
α	Imperfektionsbeiwert aus den verschiedenen Knicklinien
λ	Schlankheit
$\overline{λ}$	bezogene Schlankheit
m	Divisor der Vorverformung wird auf Knicklinien angepasst

Faktoren

Dabei wird für α ein aus Versuchen ermittelter Wert angesetzt:

Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Beim Substituieren der Konstanten in die Gleichung der linearen Interaktion ergibt sich folgender Term:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Abminderungsbeiwert aus dem Verhältnis der Normalkraft bei welcher die Stütze durch Biegeknicken ausfällt und der plastischen Tragfähigkeit
α	Imperfektionsbeiwert, welcher dem Verhältnis der Grenzschlankheit zur Imperfektionsamplitude entspringt.
λ^-	Grenzschlankheit

Gleichung für Abminderungsbeiwert auf Basis linearer M/N-Interaktion

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Lösen der quadratischen Gleichung für Biegeknicken

Referenzen

EN 1993-1-1:2005: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. CEN, Brüssel, Mai 2005.

;