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2024-09-10

Несовершенства в формулах расчётных проверок для анализа потери устойчивости при изгибе

Расчёт на потерю устойчивости при изгибе - это сочетание расчёта на устойчивость и расчёты по предельным состояниям, которое использовалось в стальных конструкциях на протяжении сотен лет. Критическая нагрузка при продольном изгибе является исходной точкой для рассмотрения проблемы устойчивости, но ни один расчет не был выполнен без учета несовершенств. Как именно определяются эти несовершенства?

Инфо

Для лучшего понимания данной статьи, рекомендуем сначала прочитать статью о нагрузке Эйлера на потерю устойчивости: KB 1895.

КБ 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

Dort sind der Hintergrund und ähnliche Gleichungsumformungen der Differentialgleichungen ausführlich beschrieben.

Die Imperfektion des Bauteils besteht aus folgenden Anteilen:

Геометрические несовершенства
materielle Imperfektionen
exzentrische Lasteinleitung

Da sich diese Imperfektionen über die Länge des Bauteils verteilen, wird für sie zunächst eine Funktion angesetzt:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Начальное несовершенство

Функция несовершенства

КБ 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Функция несовершенства, визуализированная с помощью форм колебаний

Weiterhin beinhaltet dieser Nachweis zusätzliche Effekte aus Theorie II. Ordnung. Diese sind aber streng als zusätzlich wahrzunehmen und nur virtuell in der Herleitung der richtigen Biegefunktion aus der Imperfektion vorhanden. Es ist ausdrücklich kein Verzicht auf die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermöglicht aufgrund dieses Einzelnachweises, der auf Effekten der Theorie II. Ordnung beruht. Die zusätzlichen Effekte aus Theorie II. Ordnung, die in diesem Nachweiskonzept enthalten sind, sind sehr gering und sollten auf die bereits veränderten Schnittgrößen des Gesamttragwerks angewandt werden. Die Ausgangfunktion ist – wie bei der Ermittlung der idealen Knicklast – das Gleichgewicht innerer Momente und der Normalkraft mit ihrer Ausmitte.

Das folgende Bild zeigt, wie die Eulersche Knicklast ermittelt wird, und vergleicht dies anhand der Formeln nach Euler sowie der Ermittlung anhand von numerischen Methoden. Dabei lässt sich eine Abweichung von nur 0,47 % feststellen. Dies verdeutlicht, wie vor mehreren hundert Jahren die Grundlage der modernen Stabilitätsanalyse geschaffen wurde.

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Die Ausmitte setzt sich nun jedoch zusammen aus einem Teil, der rein aus der Imperfektionsfunktion besteht, und einem Teil der Verformungen infolge Theorie II. Ordnung. Damit ergibt sich folgende Formel:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Применение несовершенства

Wieder wird die Konstante α zur Substitution eingeführt:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Константа α

Daraus ergibt sich bei Einsetzen der Konstante sowie der Imperfektionsfunktion folgende Differentialgleichung:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

дифференциальное уравнение с несовершенствами и расчет по методу второго порядка

Dies entspricht einer inhomogenen Differentialgleichung:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Неоднородная часть дифференциального уравнения несовершенства

Sie stellt die Imperfektionsfunktion dar und kann somit nicht 0 sein.

Zunächst wird die Lösung der homogenen Gleichung gesucht:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Дифференциальное уравнение Эйлера с α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL прогиба после приведения к реальному компоненту

Anschließend muss der partikuläre Teil der Gleichung gelöst werden:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Частная часть DOF для несовершенств

Setzt man nun diese partikuläre Lösung in die homogene Gleichung ein, ergibt sich:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Ввод решения частиц несовершенства ODE

Es darf durch sin(π·x/L) dividiert werden, da die Bauteile und somit x nie 0 m lang sind.

Somit ergibt sich als Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

W_h	однородное решение OSD
W_p	частное решение HDL

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Aus den Randbedingungen W(x=0) ergibt sich somit B und w(x=L) = 0. Dadurch ergibt sich somit B = 0 und die Differentialgleichung reduziert sich auf:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Сокращенное дифференциальное уравнение для прогиба с несовершенствами

Da hier für A ≢ 0 die Eulersche Knicklast resultieren muss und die Imperfektion wieder infinitesimal werden muss, muss hier der Fall A = 0 betrachtet werden!

Somit ergibt sich die Gleichung:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Дифференциальное уравнение линии изгиба для применяемых несовершенств

Nun lässt sich das Kräftegleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte bilden:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Определение максимального изгибающего момента в зависимости от нормальной силы

Beim Einsetzen der Eulerschen Knicklast sowie einer Extremwertberechnung ergibt sich somit das maximale Biegemoment.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Определение экстремального значения изгибающего момента

Der Vergrößerungsfaktor (1-N/N_cr)^-1 wird als Dischinger Faktor bezeichnet.

Auf der sicheren Seite liegend wird ein Flächenträgheitsmoment angesetzt, das den Steg vernachlässigt. Ferner werden weitere Imperfektionsbeiwerte in Abhängigkeit von der Stahlgüte sowie Verhältnisse der Profilabmessungen (Knickkurven) genutzt, um das Knickversagen auf Basis von plastizierenden Flanschen zu bemessen. Man könnte daher die Wahl der Knickkurve als eine vereinfachte Art der Querschnittsklassifizierung betrachten, die bei beulgefährdeten Querschnitten den Ansatz der plastizierenden Querschnitte wieder reduziert. Vereinfacht wird von einer linearen Interaktion ausgegangen.

Линейное взаимодействие M/N

Der vereinfachte Trägheitsradius wird wie folgt ermittelt:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Радиус инерции без стенки

Dabei werden nur die Steineranteile der Flansche um die starke Achse betrachtet.

Nun lässt sich die Gleichung für das maximale Moment in Abhängigkeit von der idealen Knicklast in die Gleichung der linearen Interkation einsetzen:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	максимальная осевая сила перед потерей устойчивости
e₀	выбранная предварительная деформация
N_cr	Критическая нагрузка при потере устойчивости
N_pl	пластическое сопротивление нормальным силам
h	Высота сечения

Подстановка уравнения моментов, зависящего от упругой нагрузки потери устойчивости, в формулу взаимодействия

Weitergehend werden nun folgende Konstanten eingeführt:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	преддеформация
[LinkToImage03]	Конструктивная длина стержня
λ₁	Предельная гибкость
α	коэффициент несовершенства из различных кривых потери устойчивости
λ	Гибкость
$\overline{λ}$	соответствующая гибкость
m	Делитель предварительной деформации приспособлен к кривым потери устойчивости

Коэффициенты

Dabei wird für α ein aus Versuchen ermittelter Wert angesetzt:

КБ 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Коэффициенты несовершенства для кривых потери устойчивости

Beim Substituieren der Konstanten in die Gleichung der linearen Interaktion ergibt sich folgender Term:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Понижающий коэффициент от соотношения нормальной силы, при которой колонна выходит из работы из-за потери устойчивости при изгибе, и пластического сопротивления
α	Коэффициент несовершенства определяется как отношение предельной гибкости к амплитуде несовершенства.
λ^-	Предельная гибкость

Уравнение для понижающего коэффициента, основанного на линейном взаимодействии M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Решение квадратичного уравнения для потери устойчивости при изгибе

Ссылки

Европейский комитет по стандартизации. Расчет стальных конструкций - Часть 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. CEN, Brüssel, Mai 2005.

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