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001897

2024-09-10

Imperfeições nas fórmulas de verificação para a análise de encurvadura por flexão

A análise de encurvadura por flexão é uma combinação de estabilidade e verificação do estado limite último que é utilizada em estruturas de aço há centenas de anos. A carga de encurvadura crítica é o ponto de partida para considerar o problema de estabilidade, mas ainda não foi realizado um dimensionamento sem considerar as imperfeições. Como são determinadas exatamente estas imperfeições?

Informação

Para uma melhor compreensão deste artigo, recomendamos primeiro a leitura do artigo sobre a carga de encurvadura de Euler': KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder? . Dort sind der Hintergrund und ähnliche Gleichungsumformungen der Differentialgleichungen ausführlich beschrieben.

Die Imperfektion des Bauteils besteht aus folgenden Anteilen:

geometrische Imperfektionen
materielle Imperfektionen
exzentrische Lasteinleitung

Da sich diese Imperfektionen über die Länge des Bauteils verteilen, wird für sie zunächst eine Funktion angesetzt:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Imperfeição inicial

Função de imperfeição

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Função de imperfeição visualizada utilizando formas próprias

Weiterhin beinhaltet dieser Nachweis zusätzliche Effekte aus Theorie II. Ordnung. Diese sind aber streng als zusätzlich wahrzunehmen und nur virtuell in der Herleitung der richtigen Biegefunktion aus der Imperfektion vorhanden. Es ist ausdrücklich kein Verzicht auf die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermöglicht aufgrund dieses Einzelnachweises, der auf Effekten der Theorie II. Ordnung beruht. Die zusätzlichen Effekte aus Theorie II. Ordnung, die in diesem Nachweiskonzept enthalten sind, sind sehr gering und sollten auf die bereits veränderten Schnittgrößen des Gesamttragwerks angewandt werden. Die Ausgangfunktion ist – wie bei der Ermittlung der idealen Knicklast – das Gleichgewicht innerer Momente und der Normalkraft mit ihrer Ausmitte.

Das folgende Bild zeigt, wie die Eulersche Knicklast ermittelt wird, und vergleicht dies anhand der Formeln nach Euler sowie der Ermittlung anhand von numerischen Methoden. Dabei lässt sich eine Abweichung von nur 0,47 % feststellen. Dies verdeutlicht, wie vor mehreren hundert Jahren die Grundlage der modernen Stabilitätsanalyse geschaffen wurde.

Comparação das cargas de encurvadura críticas de acordo com a análise de estabilidade moderna e as fórmulas resultantes das equações diferenciais de acordo com Euler

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Die Ausmitte setzt sich nun jedoch zusammen aus einem Teil, der rein aus der Imperfektionsfunktion besteht, und einem Teil der Verformungen infolge Theorie II. Ordnung. Damit ergibt sich folgende Formel:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Aplicação da imperfeição

Wieder wird die Konstante α zur Substitution eingeführt:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Constante α

Daraus ergibt sich bei Einsetzen der Konstante sowie der Imperfektionsfunktion folgende Differentialgleichung:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

equação diferencial com imperfeições e análise de segunda ordem

Dies entspricht einer inhomogenen Differentialgleichung:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte não homogénea da equação diferencial da imperfeição

Sie stellt die Imperfektionsfunktion dar und kann somit nicht 0 sein.

Zunächst wird die Lösung der homogenen Gleichung gesucht:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

A equação diferencial de Euler com α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

Equação diferencial da flecha após redução para componente real

Anschließend muss der partikuläre Teil der Gleichung gelöst werden:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Parte específica do GDL para imperfeições

Setzt man nun diese partikuläre Lösung in die homogene Gleichung ein, ergibt sich:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Inserir solução particulada de imperfeição ODE

Es darf durch sin(π·x/L) dividiert werden, da die Bauteile und somit x nie 0 m lang sind.

Somit ergibt sich als Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

w_h	solução homogénea do OSD
w_p	solução particular do HDL

Solução total da equação diferencial não homogénea

Aus den Randbedingungen W(x=0) ergibt sich somit B und w(x=L) = 0. Dadurch ergibt sich somit B = 0 und die Differentialgleichung reduziert sich auf:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Equação diferencial reduzida para flecha com imperfeições

Da hier für A ≢ 0 die Eulersche Knicklast resultieren muss und die Imperfektion wieder infinitesimal werden muss, muss hier der Fall A = 0 betrachtet werden!

Somit ergibt sich die Gleichung:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Equação diferencial da linha de flexão para imperfeições aplicadas

Nun lässt sich das Kräftegleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte bilden:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Determinação do momento fletor máximo em função da força axial

Beim Einsetzen der Eulerschen Knicklast sowie einer Extremwertberechnung ergibt sich somit das maximale Biegemoment.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Determinação do valor extremo do momento fletor

Der Vergrößerungsfaktor (1-N/N_cr)^-1 wird als Dischinger Faktor bezeichnet.

Auf der sicheren Seite liegend wird ein Flächenträgheitsmoment angesetzt, das den Steg vernachlässigt. Ferner werden weitere Imperfektionsbeiwerte in Abhängigkeit von der Stahlgüte sowie Verhältnisse der Profilabmessungen (Knickkurven) genutzt, um das Knickversagen auf Basis von plastizierenden Flanschen zu bemessen. Man könnte daher die Wahl der Knickkurve als eine vereinfachte Art der Querschnittsklassifizierung betrachten, die bei beulgefährdeten Querschnitten den Ansatz der plastizierenden Querschnitte wieder reduziert. Vereinfacht wird von einer linearen Interaktion ausgegangen.

Interação linear M/N

Der vereinfachte Trägheitsradius wird wie folgt ermittelt:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Raio de giração sem alma

Dabei werden nur die Steineranteile der Flansche um die starke Achse betrachtet.

Nun lässt sich die Gleichung für das maximale Moment in Abhängigkeit von der idealen Knicklast in die Gleichung der linearen Interkation einsetzen:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	esforço normal antes da encurvadura
e₀	pré-deformação selecionada
N_cr	Carga de encurvadura crítica
N_pl	resistência plástica a forças normais
h	Extensão de altura de secção total

Inserir a equação do momento dependendo da carga de encurvadura elástica na fórmula de interação

Weitergehend werden nun folgende Konstanten eingeführt:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	pré-deformação
[LinkToImage04]	Comprimento estrutural da barra
λ₁	Esbelteza limite
α	fator de imperfeição das várias curvas de encurvadura
λ	Esbelteza
$\overline{λ}$	esbelteza relacionada
m	O divisor da pré-deformação está ajustado às curvas de encurvadura

Coeficientes

Dabei wird für α ein aus Versuchen ermittelter Wert angesetzt:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Coeficientes de imperfeição de curvas de encurvadura

Beim Substituieren der Konstanten in die Gleichung der linearen Interaktion ergibt sich folgender Term:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Fator de redução da relação da força axial à qual o pilar rompe devido à encurvadura por flexão e à resistência plástica
α	O fator de imperfeição resulta da relação entre a esbelteza limite e a amplitude da imperfeição.
λ^-	Esbelteza limite

Equação para fator de redução com base na interação linear M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

A solucionar equação quadrática para encurvadura por flexão

Referências

Comité Europeia para a normalização. Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. CEN, Brüssel, Mai 2005.

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