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2024-09-10

Imperfekcje we wzorach do kontroli obliczeń dla analizy wyboczenia giętnego

Analiza wyboczenia giętnego jest połączeniem analizy stateczności i stanu granicznego nośności, stosowana w konstrukcjach stalowych od setek lat. Punktem wyjścia do rozważenia kwestii stateczności jest krytyczne obciążenie wyboczeniowe, ale dotychczas nie przeprowadzono obliczeń bez uwzględnienia imperfekcji. Jak dokładnie określane są te imperfekcje?

Informacje

Aby lepiej zrozumieć ten artykuł, zalecamy najpierw przeczytać artykuł na temat obciążenia wyboczeniowego Eulera: KB 1895.

KB 1895 | Woher kommt die Formel der idealen Knicklast druckbeanspruchter Einzelglieder?

Dort sind der Hintergrund und ähnliche Gleichungsumformungen der Differentialgleichungen ausführlich beschrieben.

Die Imperfektion des Bauteils besteht aus folgenden Anteilen:

geometrische Imperfektionen
materielle Imperfektionen
exzentrische Lasteinleitung

Da sich diese Imperfektionen über die Länge des Bauteils verteilen, wird für sie zunächst eine Funktion angesetzt:

e (x) = e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

e₀	Początkowa imperfekcja

Funkcja imperfekcji

KB 001897 | Imperfektionsfunktion visualisiert anhand der Eigenformen

Funkcja imperfekcji zwizualizowana za pomocą kształtów drgań

Weiterhin beinhaltet dieser Nachweis zusätzliche Effekte aus Theorie II. Ordnung. Diese sind aber streng als zusätzlich wahrzunehmen und nur virtuell in der Herleitung der richtigen Biegefunktion aus der Imperfektion vorhanden. Es ist ausdrücklich kein Verzicht auf die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermöglicht aufgrund dieses Einzelnachweises, der auf Effekten der Theorie II. Ordnung beruht. Die zusätzlichen Effekte aus Theorie II. Ordnung, die in diesem Nachweiskonzept enthalten sind, sind sehr gering und sollten auf die bereits veränderten Schnittgrößen des Gesamttragwerks angewandt werden. Die Ausgangfunktion ist – wie bei der Ermittlung der idealen Knicklast – das Gleichgewicht innerer Momente und der Normalkraft mit ihrer Ausmitte.

Das folgende Bild zeigt, wie die Eulersche Knicklast ermittelt wird, und vergleicht dies anhand der Formeln nach Euler sowie der Ermittlung anhand von numerischen Methoden. Dabei lässt sich eine Abweichung von nur 0,47 % feststellen. Dies verdeutlicht, wie vor mehreren hundert Jahren die Grundlage der modernen Stabilitätsanalyse geschaffen wurde.

Porównanie krytycznych obciążeń wyboczeniowych według współczesnej analizy stateczności oraz wzorów wynikających z równań różniczkowych według Eulera

Vergleich der kritischen Knicklasten nach modernen Stabilitätsanalyse und aus Differentialgleichungen entspringenden Formeln nach Euler

Die Ausmitte setzt sich nun jedoch zusammen aus einem Teil, der rein aus der Imperfektionsfunktion besteht, und einem Teil der Verformungen infolge Theorie II. Ordnung. Damit ergibt sich folgende Formel:

EI \cdot w^{''} (x) = - M (x) = - N \cdot [w (x) + e (x)]

w^{''} (x) + \frac{N}{EI} \cdot w (x) = - \frac{N}{EI} \cdot e (x)

Zastosowanie imperfekcji

Wieder wird die Konstante α zur Substitution eingeführt:

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Stała α

Daraus ergibt sich bei Einsetzen der Konstante sowie der Imperfektionsfunktion folgende Differentialgleichung:

w^{''} (x) + α^{2} \cdot w (x) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

równanie różniczkowe z imperfekcjami oraz analiza drugiego rzędu

Dies entspricht einer inhomogenen Differentialgleichung:

- α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Niejednorodna część równania różniczkowego imperfekcji

Sie stellt die Imperfektionsfunktion dar und kann somit nicht 0 sein.

Zunächst wird die Lösung der homogenen Gleichung gesucht:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Równanie różniczkowe Eulera z α

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL ugięcia po redukcji do składowej rzeczywistej

Anschließend muss der partikuläre Teil der Gleichung gelöst werden:

w_{p} (x) = C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

{w_{p}}^{''} (x) = - {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

Szczególna część DOF dla imperfekcji

Setzt man nun diese partikuläre Lösung in die homogene Gleichung ein, ergibt sich:

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) + α^{2} \cdot C \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L}) = - α^{2} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

- {(\frac{π}{L})}^{2} \cdot C + α^{2} \cdot C = - α^{2} \cdot e_{0}

C \cdot (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2}) = - α^{2} \cdot e_{0} | / (α^{2} - {(\frac{π}{L})}^{2})

C = \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}}

Wprowadzenie rozwiązania imperfekcji cząstek stałych ODE

Es darf durch sin(π·x/L) dividiert werden, da die Bauteile und somit x nie 0 m lang sind.

Somit ergibt sich als Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung:

w (x) = w_{h} (x) + w_{p} (x)

w (x) = Asin (αx) + Bcos (αx) + \frac{α^{2} \cdot e_{0}}{{(\frac{π}{2})}^{2} - α^{2}} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

W_h	jednorodne rozwiązanie OSD
W_P	szczególne rozwiązanie HDL

Rozwiązanie całkowite niejednorodnego równania różniczkowego

Aus den Randbedingungen W(x=0) ergibt sich somit B und w(x=L) = 0. Dadurch ergibt sich somit B = 0 und die Differentialgleichung reduziert sich auf:

w (x) = A \cdot \sin (α \cdot x) + \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{{(π^{2} - αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π x}{L})

Zredukowane równanie różniczkowe dla ugięcia z imperfekcjami

Da hier für A ≢ 0 die Eulersche Knicklast resultieren muss und die Imperfektion wieder infinitesimal werden muss, muss hier der Fall A = 0 betrachtet werden!

Somit ergibt sich die Gleichung:

w (x) = \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(αL)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Równanie różniczkowe linii zginania dla zastosowanych imperfekcji

Nun lässt sich das Kräftegleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte bilden:

M (x) = N \cdot [w (x) + e (x)]

M (x) = N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + 1) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot (\frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} + \frac{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}) \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{(α \cdot L)^{2} + π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{π^{2}}{π^{2} - {(α \cdot L)}^{2}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

= N \cdot \frac{1}{1 - \frac{{(α \cdot L)}^{2}}{π^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

α = \sqrt{\frac{N}{EI}} = > N \cdot \frac{1}{1 - \frac{N \cdot L^{2}}{{EIπ}^{2}}} \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{πx}{L})

Wyznaczanie maksymalnego momentu zginającego w funkcji siły osiowej

Beim Einsetzen der Eulerschen Knicklast sowie einer Extremwertberechnung ergibt sich somit das maximale Biegemoment.

M (x) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \sin (\frac{π \cdot x}{L})

M^{'} (x) = \frac{π}{L} \cdot \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} \cdot \cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0

\cos (\frac{π \cdot x}{L}) = 0 = > x = 0

M (x = 0) = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0} = M_{max}

Wyznaczanie wartości ekstremalnej momentu zginającego

Der Vergrößerungsfaktor (1-N/N_cr)^-1 wird als Dischinger Faktor bezeichnet.

Auf der sicheren Seite liegend wird ein Flächenträgheitsmoment angesetzt, das den Steg vernachlässigt. Ferner werden weitere Imperfektionsbeiwerte in Abhängigkeit von der Stahlgüte sowie Verhältnisse der Profilabmessungen (Knickkurven) genutzt, um das Knickversagen auf Basis von plastizierenden Flanschen zu bemessen. Man könnte daher die Wahl der Knickkurve als eine vereinfachte Art der Querschnittsklassifizierung betrachten, die bei beulgefährdeten Querschnitten den Ansatz der plastizierenden Querschnitte wieder reduziert. Vereinfacht wird von einer linearen Interaktion ausgegangen.

Liniowa interakcja M/N

Der vereinfachte Trägheitsradius wird wie folgt ermittelt:

i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot ((b \cdot tf) \cdot {(\frac{h}{2})}^{2}}{2 \cdot (b \cdot tf)}} = \frac{h}{2}

Promień bezwładności bez środnika

Dabei werden nur die Steineranteile der Flansche um die starke Achse betrachtet.

Nun lässt sich die Gleichung für das maximale Moment in Abhängigkeit von der idealen Knicklast in die Gleichung der linearen Interkation einsetzen:

\frac{\frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot N \cdot e_{0}}{N_{pl} \cdot \frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = \frac{1}{1 - \frac{N}{N_{cr}}} \cdot \frac{N}{N_{pl}} \cdot \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} + \frac{N}{N_{pl}} = 1

N	maksymalna siła osiowa przed wyboczeniem
e₀	wybrane odkształcenie wstępne
N_cr	Krytyczne obciążenie wyboczeniowe
N_pl	nośność plastyczna przy obciążeniu siłą podłużną
h	Wysokość przekroju

Wstawienie równania momentu zależnego od obciążenia sprężystego przy wyboczeniu do wzoru na interakcję

Weitergehend werden nun folgende Konstanten eingeführt:

χ = \frac{N}{N_{pl}}; λ = \frac{N_{pl}}{N_{cr}}; \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}}; e_{0} = \frac{L}{m}; α = \frac{λ_{1}}{m}

= > \frac{e_{0}}{\frac{h}{2}} = \frac{(\frac{L}{m})}{i} = \frac{(\frac{L}{i})}{m} = \frac{λ}{m} = \frac{\bar{λ} \cdot λ_{1}}{m} = \bar{λ} \cdot α

e₀	Deformacja wstępna
[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	Konstrukcyjna długość pręta
λ₁	Wartość graniczna smukłości
α	współczynnik imperfekcji z różnych krzywych wyboczenia
λ	smukłość
$\overline{λ}$	powiązana smukłość
m	Dzielnik odkształcenia wstępnego dostosowany do krzywych wyboczenia

Współczynniki

Dabei wird für α ein aus Versuchen ermittelter Wert angesetzt:

KB 001897 | Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien

Współczynniki imperfekcji krzywych wyboczenia

Beim Substituieren der Konstanten in die Gleichung der linearen Interaktion ergibt sich folgender Term:

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1

χ	Współczynnik redukcyjny ze stosunku siły osiowej, przy której słup ulega uszkodzeniu w wyniku wyboczenia giętnego do nośności plastycznej
α	Współczynnik imperfekcji wynika ze stosunku smukłości granicznej do amplitudy imperfekcji.
λ^-	Wartość graniczna smukłości

Równanie dla współczynnika redukcyjnego opartego na interakcji liniowej M/N

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ = 1 | - 1

\frac{1}{1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}} \cdot χ \cdot α + χ - 1 = 0 | \cdot 1 - χ \cdot {\bar{λ}}^{2}

= > χ^{2} - \frac{2 ϕ}{λ^{2}} \cdot χ + \frac{1}{λ^{2}} = 0

χ_{1, 2} = + \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \sqrt{{(\frac{ϕ}{λ^{2}})}^{2} - \frac{1}{λ^{2}}} = \frac{ϕ}{λ^{2}} \pm \frac{1}{λ^{2}} \cdot \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})

= \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}) \cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}{\cdot (ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{ϕ^{2} - (ϕ^{2} - λ^{2})}{(ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}})}

χ = \frac{1}{ϕ \pm \sqrt{ϕ^{2} - λ^{2}}}

Obliczanie równania kwadratowego dla wyboczenia giętnego

Odniesienia

Europejski Komitet Normalizacyjny. Design of Steel Structures - Part 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. CEN, Brüssel, Mai 2005.

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