Die Imperfektion des Bauteils besteht aus folgenden Anteilen:
- geometrische Imperfektionen
- materielle Imperfektionen
- exzentrische Lasteinleitung
Da sich diese Imperfektionen über die Länge des Bauteils verteilen, wird für sie zunächst eine Funktion angesetzt:
Weiterhin beinhaltet dieser Nachweis zusätzliche Effekte aus Theorie II. Ordnung. Diese sind aber streng als zusätzlich wahrzunehmen und nur virtuell in der Herleitung der richtigen Biegefunktion aus der Imperfektion vorhanden. Es ist ausdrücklich kein Verzicht auf die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermöglicht aufgrund dieses Einzelnachweises, der auf Effekten der Theorie II. Ordnung beruht. Die zusätzlichen Effekte aus Theorie II. Ordnung, die in diesem Nachweiskonzept enthalten sind, sind sehr gering und sollten auf die bereits veränderten Schnittgrößen des Gesamttragwerks angewandt werden. Die Ausgangfunktion ist – wie bei der Ermittlung der idealen Knicklast – das Gleichgewicht innerer Momente und der Normalkraft mit ihrer Ausmitte.
Das folgende Bild zeigt, wie die Eulersche Knicklast ermittelt wird, und vergleicht dies anhand der Formeln nach Euler sowie der Ermittlung anhand von numerischen Methoden. Dabei lässt sich eine Abweichung von nur 0,47 % feststellen. Dies verdeutlicht, wie vor mehreren hundert Jahren die Grundlage der modernen Stabilitätsanalyse geschaffen wurde.
Die Ausmitte setzt sich nun jedoch zusammen aus einem Teil, der rein aus der Imperfektionsfunktion besteht, und einem Teil der Verformungen infolge Theorie II. Ordnung. Damit ergibt sich folgende Formel:
Wieder wird die Konstante α zur Substitution eingeführt:
Daraus ergibt sich bei Einsetzen der Konstante sowie der Imperfektionsfunktion folgende Differentialgleichung:
Dies entspricht einer inhomogenen Differentialgleichung:
Sie stellt die Imperfektionsfunktion dar und kann somit nicht 0 sein.
Zunächst wird die Lösung der homogenen Gleichung gesucht:
Anschließend muss der partikuläre Teil der Gleichung gelöst werden:
Setzt man nun diese partikuläre Lösung in die homogene Gleichung ein, ergibt sich:
Es darf durch sin(π·x/L) dividiert werden, da die Bauteile und somit x nie 0 m lang sind.
Somit ergibt sich als Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung:
Aus den Randbedingungen W(x=0) ergibt sich somit B und w(x=L) = 0. Dadurch ergibt sich somit B = 0 und die Differentialgleichung reduziert sich auf:
Da hier für A ≢ 0 die Eulersche Knicklast resultieren muss und die Imperfektion wieder infinitesimal werden muss, muss hier der Fall A = 0 betrachtet werden!
Somit ergibt sich die Gleichung:
Nun lässt sich das Kräftegleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte bilden:
Beim Einsetzen der Eulerschen Knicklast sowie einer Extremwertberechnung ergibt sich somit das maximale Biegemoment.
Der Vergrößerungsfaktor (1-N/Ncr)-1 wird als Dischinger Faktor bezeichnet.
Auf der sicheren Seite liegend wird ein Flächenträgheitsmoment angesetzt, das den Steg vernachlässigt. Ferner werden weitere Imperfektionsbeiwerte in Abhängigkeit von der Stahlgüte sowie Verhältnisse der Profilabmessungen (Knickkurven) genutzt, um das Knickversagen auf Basis von plastizierenden Flanschen zu bemessen. Man könnte daher die Wahl der Knickkurve als eine vereinfachte Art der Querschnittsklassifizierung betrachten, die bei beulgefährdeten Querschnitten den Ansatz der plastizierenden Querschnitte wieder reduziert. Vereinfacht wird von einer linearen Interaktion ausgegangen.
Der vereinfachte Trägheitsradius wird wie folgt ermittelt:
Dabei werden nur die Steineranteile der Flansche um die starke Achse betrachtet.
Nun lässt sich die Gleichung für das maximale Moment in Abhängigkeit von der idealen Knicklast in die Gleichung der linearen Interkation einsetzen:
Weitergehend werden nun folgende Konstanten eingeführt:
Dabei wird für α ein aus Versuchen ermittelter Wert angesetzt:
Beim Substituieren der Konstanten in die Gleichung der linearen Interaktion ergibt sich folgender Term: