Tem a sua origem na equação diferencial, que descreve o equilíbrio do momento interno de um componente estrutural e o momento a partir da força axial multiplicada pela excentricidade em cada posição x do componente estrutural.
Para a rotura da estabilidade tem de haver sempre uma imperfeição. Na literatura, é aplicado como função, mas pode ser infinitamente pequeno e determinado de forma incoerente com a carga de encurvadura crítica.
| M(x) | Momento interno em cada posição x |
| N | Força axial de compressão atuante |
| w(x) | Flecha/deslocamento em qualquer posição x |
| E | Módulo de elasticidade. |
| I | momento de inércia de área |
Para reduzir o número de constantes, é introduzida uma nova constante que é utilizada para substituir N, E e I.
A equação diferencial do equilíbrio das forças internas e externas pode assim ser reescrita como:
Agora, Leonhard Euler criou a primeira função de aproximação para a deformação.
Após formar a segunda derivação e depois inseri-la na equação do equilíbrio das forças, resulta a seguinte equação:
Uma vez que as funções exponenciais nunca podem tornar-se 0, o termo completo pode ser dividido por elas.
Uma vez que isto resulta em duas soluções complexas independentes, a equação diferencial da flecha pode ser configurada através de uma combinação linear real das duas equações complexas:
Neste caso, as funções podem ser reescritas como combinações complexas, o que corresponde ao princípio do círculo unitário. Isso torna-se claro quando se analisa a função-e com base na expansão da série deTaytor:
Se considerar a série de Maclaurin da função seno e cosseno, o princípio do círculo unitário e assim os seguintes ajustamentos da equação diferencial podem ser explicados:
Quando considera estas três séries, a função de Euler torna-se imediatamente evidente:
Uma vez que i é um número complexo e a função pode, portanto, ser dividida em parte real e imaginária, é possível primeiro introduzir as constantes de integração A e B, que são compostas pelas partes imaginárias e reais:
| A | constante de integração complexa A = c1 |
| B | constante de integração complexa B = c2 |
| a1 | parte real da constante de integração que controla a parte real da função |
| a2 | parte imaginária da constante de integração que controla a parte imaginária da função |
| b1 | a parte real da constante de integração B que controla a parte real da função |
| b2 | a parte imaginária da constante de integração B que controla a parte imaginária da função |
Uma vez que a função reflete a deformação, que contém apenas valores reais, a função deve ser reduzida à sua parte real para que a equação (as novas constantes de integração A e B) seja constituída por partes puramente reais:
Isto pode ser derivado novamente para a função da curvatura do componente:
Uma vez que neste exemplo será considerado um pilar com apoios totalmente articulados em ambos os lados, as constantes podem ser resolvidas utilizando as seguintes condições de fronteira aqui:
Devido à função seno, isso resulta em várias soluções como um múltiplo de um número natural de π. Estas soluções podem ser definidas como vários valores próprios de apenas uma imperfeição. É importante reconhecer que isto não calcula todos os valores próprios, mas apenas vários valores próprios que surgem da mesma abordagem de imperfeição.
O bom desta derivação é o princípio de o quão independente a carga de encurvadura crítica é da imperfeição escolhida. Embora uma imperfeição tenha de ser aplicada, a sua amplitude é completamente negligenciável; o cálculo da imperfeição é incoerente com o cálculo da rotura de estabilidade.
Isto ilustra como os vários métodos de dimensionamento nas construções de aço são, em última análise, os mesmos: Enquanto nos métodos que utilizam a verificação da barra equivalente o momento fletor resultante é calculado por meio desta carga de encurvadura ideal com outros fatores de redução e imperfeição que conduzem à verificação do estado limite último, nos outros métodos de dimensionamento uma imperfeição é aplicada independentemente das fórmulas de verificação cujas cargas equivalentes tem o mesmo momento fletor como no caso da análise de estabilidade. Assim, a análise de estabilidade está incluída em todos os dimensionamentos do estado limite último.
O seguinte artigo fornece mais informações sobre a amplitude da imperfeição de acordo com o método de dimensionamento com base na verificação da secção, cuja combinação resulta na carga de dimensionamento resultante da carga de encurvadura ideal:
O artigo seguinte fornece mais informações sobre como aplicar a amplitude de acordo com o método da barra equivalente, cuja combinação resulta na carga de dimensionamento resultante da carga de encurvadura ideal: KB 1897 | Imperfeições nas fórmulas de verificação para a análise de encurvadura por flexão
No caso da encurvadura por flexão-torção, que não é abordada neste artigo, existe espaço para discussão. As equações são mais complexas devido às forças de corte ao longo do comprimento da viga. No decurso das imperfeições geométricas, não ocorrem apenas momentos fletores.