Он берет свое начало в дифференциальном уравнении, которое описывает равновесие внутреннего момента конструктивного элемента и момента осевой силы, умноженного на эксцентриситет в каждом месте x конструктивного элемента.
Для разрушения при потере устойчивости всегда должно присутствовать несовершенство. В литературе он применяется в качестве функции, но может быть бесконечно малым и определяться несвязанно с критической нагрузкой потери устойчивости.
| M(x) | Внутренний момент на каждом x-разрезе |
| N | Действующая сжимающая нормальная сила |
| w(x) | Прогиб/смещение в любом месте x |
| E | Мод. упруг. |
| i | Момент инерции сечения |
Чтобы уменьшить количество констант, вводится новая константа, которая используется для замены N, E и I.
Таким образом, дифференциальное уравнение равновесия внутренних и внешних сил можно переписать в следующем виде:
Теперь Леонард Эйлер создал функцию первого приближения для прогиба.
После образования второй производной и подстановки ее в уравнение равновесия сил, мы получим следующее уравнение:
Поскольку экспоненциальные функции никогда не могут быть равны 0, можно на них разделить весь термин.
Поскольку это приводит к двум независимым комплексным решениям, дифференциальное уравнение прогиба можно составить с помощью реальной линейной комбинации обоих комплексных уравнений:
В этом случае функции можно переписать в виде сложных сочетаний, что соответствует принципу единичной окружности. Это становится ясным при анализе функции e, основанной на разложении в ряд Тейлора:
Если принять во внимание ряд Маклорена функции синуса и косинуса, то можно объяснить принцип единичной окружности и, следовательно, следующие корректировки дифференциального уравнения:
При рассмотрении этих трех рядов функция Эйлера сразу становится очевидной:
Поскольку i - это комплексное число, и, таким образом, функцию можно разделить на действительную и мнимую часть, можно сначала ввести константы интегрирования A и B, которые состоят из мнимой и действительной частей:
| одного | комплексная постоянная интегрирования A = c1 |
| B | комплексная постоянная интегрирования B = c2 |
| a1 | действительная часть константы интегрирования, определяющая действительную часть функции |
| a2 | мнимая часть константы интегрирования, которая управляет мнимой частью функции |
| b1 | действительная часть константы интегрирования B, которая определяет действительную часть функции |
| b2 | мнимая часть константы интегрирования B, которая управляет мнимой частью функции |
Поскольку функция отражает прогиб, который содержит только действительные значения, то функция должна быть уменьшена до ее действительной части, чтобы уравнение (новые константы интегрирования A и B) состояло из чисто действительных частей:
Это можно снова вывести для функции кривизны компонента:
Поскольку в нашем примере рассматривается колонна с полностью шарнирными опорами на обеих сторонах, константы можно найти с помощью следующих граничных условий:
Благодаря функции синуса, мы получим несколько решений, кратных натуральному количеству π. Эти решения можно задать в виде нескольких собственных значений только одного несовершенства. Важно понимать, что при этом рассчитываются не все собственные значения, а только несколько собственных значений, возникающих из одного и того же метода несовершенства.
Самым интересным в данном выводе является принцип того, насколько критическая нагрузка потери устойчивости не зависит от выбранного несовершенства. Несовершенство должно быть применено, но его амплитуда совершенно незначительна; расчет несовершенства не соответствует расчету разрушения на устойчивость.
Это показывает, каким образом различные методы расчёта стальных конструкций в конечном итоге одинаковы: В то время как в методах, использующих расчет эквивалентных стержней, результирующий изгибающий момент рассчитывается с помощью этой идеальной нагрузки потери устойчивости с дальнейшим понижающим коэффициентом и коэффициентами несовершенства, что приводит к расчету предельного состояния по несущей способности, в других методах расчета несовершенство применяется независимо от расчетных формул, размер которых эквивалентные нагрузки имеют тот же изгибающий момент, что и в случае расчета на устойчивость. Таким образом, анализ устойчивости включен во все расчеты предельных состояний по несущей способности.
В следующей статье будет представлена более подробная информация об амплитуде несовершенства при расчетном методе, основанном на проверке сечения, в результате сочетания которого мы получим расчетную нагрузку, возникающую в результате идеальной потери устойчивости при изгибе:
В следующей статье будет приведена более подробная информация о применении амплитуды по методу эквивалентного стержня, в результате сочетания которого мы получим расчетную нагрузку в качестве идеальной нагрузки потери устойчивости: КБ 1897 | Несовершенства в формулах расчётных проверок для анализа потери устойчивости при изгибе
В случае потери устойчивости плоской формы изгиба, который не рассматривается в нашей статье, есть тема для обсуждения. Уравнения более сложные из-за поперечных сил по длине балки. В ходе геометрических несовершенств возникают не только изгибающие моменты.