Instrukcje online RFEM 6 | Powierzchnie wielowarstwowe

Powrót do Instrukcji online

1266x

003626

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2023-10-19

Wybór ręczny

Przegląd

Rozszerzenie Powierzchnie wielowarstwowe

Metoda wymiarowania:

Wprowadzanie danych

Wyniki

Przykłady obliczeń

Sztywności dla powierzchni wielowarstwowych

Modele materiałowe

Modele materiałowe są podstawą do tworzenia powierzchni wielowarstwowych w celu uzyskania efektywnej sztywności powierzchni. Rozszerzenie Powierzchnie wielowarstwowe umożliwia swobodne łączenie modeli materiałowych w programie RFEM 6. Podstawy modeli materiałowych są opisane w rozdziałach Materiały i Nieliniowe zachowanie materiału instrukcji obsługi programu RFEM.

Wybór możliwych kombinacji modeli materiałowych jest tworzony w modelu "Modele wielowarstwowe" (patrz prawa kolumna), który można pobrać w celu dalszej analizy kombinacji.

Poniższa lista przedstawia wybór możliwych kombinacji:

Warstwy izotropowe (np. beton - stal)
Warstwy ortotropowe (np. drewno klejone krzyżowo)
Izotropowy - ortotropowy (np. stal - GFRP)
Izotropowy plastyczny - Izotropowy (np. beton - stal)
Izotropowy nieliniowy sprężysty - ortotropowy (np. beton - drewno)
Izotropowy - ortotropowy plastyczny (np. beton - drewno)
Uszkodzenie izotropowe - Ortotropowe (np. Beton - Drewno)

Informacje

W przypadku kombinacji materiałów nieliniowych https://www.dlubal.com/pl/produkty/rozszerzenia-dla-rfem-6-i-rstab-9/dodatkowy -analyses/nonlinear-material-behaviour Nieliniowe zachowanie materiału]] powinno być aktywowane.

Sztywności dla powierzchni wielowarstwowych bez brył

Prostszą opcją obliczeń w rozszerzeniu Powierzchnie wielowarstwowe jest zdefiniowanie różnych warstw powierzchni w grubości typu 'Warstwy' bez brył. Tutaj można jednak dowolnie łączyć modele materiałowe.

Po zdefiniowaniu warstw rozszerzenie Powierzchnie wielowarstwowe tworzy globalną macierz sztywności powierzchni. W programie RFEM obliczane są siły wewnętrzne i odkształcenia dla tej powierzchni. W odpowiednim rozszerzeniu, takim jak Projektowanie drewna lub Analiza naprężeniowo-odkształceniowa, te siły wewnętrzne są następnie dzielone na istniejące warstwy. Siły wewnętrzne są zazwyczaj przedstawiane w postaci trzech punktów całkowania dla każdej pozycji.

Proces obliczeń dla powierzchni wielowarstwowych

W tym artykule wyjaśniono, jak obliczyć macierz sztywności dla materiałów izotropowych i ortotropowych.

obliczenia macierzy sztywności

Modele materiałowe są oparte na następujących warunkach (patrz rozdział [[#/pl/pliki-do-pobrania-i-informacje/dokumenty/instrukcje-online/rfem-6/000034 Materiały w instrukcji obsługi programu RFEM):

Wszystkie wartości sztywności ≥ 0
Macierz sztywności ogólnej powierzchni musi być dodatnio określona.
Podstawowe równanie izotropowe:

E = 2 G (1 + ν)

E	Moduł E
[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]	Moduł ścinania
ν	Współczynnik Poissona

Moduł sprężystości, moduł ścinania i współczynnik Poissona{

Podstawowe równanie ortotropowe:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Zależność odkształcenia poprzecznego

Lokalna macierz sztywności każdej warstwy

Izotropowy

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Warstwa macierzy sztywności izotropowa

ortotropowy

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Ortotropowa warstwa macierzy sztywności

Informacje

W przypadku materiału ortotropowego moduł sprężystości w płaszczyźnie szyby (G_xy ) jest definiowany za pomocą wartości materiałowych, natomiast w przypadku materiału izotropowego - na podstawie modułu sprężystości i odkształcenia poprzecznego. Dlatego też współczynnik Poissona oparty na zasadzie "położenie-przyczyna" jest istotny dla materiału ortotropowego.

Sztywności na ścinanie dla materiału ortotropowego są następujące:

G_xy	Moduł ścinania w płaszczyźnie panelu (np. 690 N/mm² dla C24)
G_xz	Moduł ścinania w kierunku x na grubości (np. 690 N/mm² dla C24)
G_yz	Moduł ścinania w kierunku y na grubości (np. 690 N/mm² dla klasy C24) - nazywany również "modułem ścinania tocznego".

Ponadto materiał ortotropowy ma tę szczególną cechę, że można definiować w powierzchni sztywności kierunkowe. W przypadku domyślnym lokalna orientacja powierzchni lub warstwy w kierunku x odpowiada sztywności w kierunku x. Ponieważ można to jednak zdefiniować dowolnie za pomocą kąta β typu grubości 'Warstwy', należy odpowiednio przekształcić sztywności.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Sztywności transformacji

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Macierz transformacji

Zsumowany element każdej warstwy:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Poszczególne warunki na zmianę

Elementy zginane i skrętne [Nm]

W poniższych równaniach podane są elementy macierzy dla zginania i skręcania.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Sztywność na zginanie w x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Wyrażenie mimośrodu (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Sztywność na zginanie w y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Wyrażenie mimośrodu (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Wyrażenie mimośrodu (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

sztywność skrętna

W przypadku tylko jednej warstwy grubości typu 'Warstwy', obliczenia opierają się na parametrach opisanych w instrukcji do programu RFEM]].

Dla ścinania (Element D44/55) stosuje się różne równania w typie grubości 'Warstwy'. Są one opisane w rozdziale w płaszczyźnie Ścinanie w płaszczyźnie płyty.

Wymiarowanie mimośrodu [Nm/m]

W przypadku płyt niesymetrycznych powstają warunki mimośrodowe. Asymetryczna powierzchnia może być obliczana na przykład z uwagi na jednostronne zwęglenie drewnianej płyty klejonej krzyżowo. Elementy macierzy są następujące:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Element mimośrodu D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Element mimośrodu D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Element mimośrodu D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Element mimośrodowy D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Element mimośrodowy D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Element mimośrodu D38

Płaszczyzna płyty [N/m]

W płaszczyźnie "Ściana szyby" sztywności normalne są przedstawione w płaszczyźnie tafli szkła. Siła tnąca w szybie jest obliczana za pomocą elementu D88. Elementy macierzy są następujące:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Sztywność osiowa x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Sztywność normalna Mimośród D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Sztywność normalna Mimośród D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Sztywność osiowa y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Sztywność normalna Mimośród D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Ścinanie płyty D88

Ścinanie w płaszczyźnie płyty [N/m]

Aby określić sztywność na ścinanie dla materiału ortotropowego, należy obrócić sztywności zgodnie z ich orientacją względem lokalnej osi powierzchni. Należy to zrobić dla każdej warstwy grubości typu 'Warstwy'. W prostej konstrukcji warstwowej, w której warstwa wierzchnia jest zorientowana pod kątem 0° i warstwa leżąca poniżej 90°, występuje duża sztywność na ścinanie, którą należy odpowiednio uwzględnić w przypadku modelu wielowarstwowego. Poniższy rysunek (Źródło [1]) pokazuje to na przykładzie płyty z drewna klejonego krzyżowo.

Odkształcenie przy ścinaniu (źródło: (Służba informacji o drewnie)

W teorii laminatów sztywność konstrukcji warstwowej na ścinanie jest obliczana poprzez przekształcenie wszystkich składowych zginania i ścinania w odpowiednich kierunkach każdej warstwy. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w literaturze wymienionej poniżej.

Orientacja konstrukcji

Stosując transformację sztywności pokazaną na rysunku, sztywności są sumowane. Sumowanie to jest również znane jako „całka Grashoffa”.

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Sztywność na ścinanie w kierunku x

W celu obliczenia sztywności w kierunku x i y dla każdej konstrukcji powierzchni wielowarstwowej obliczany jest środek sztywności.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Środek sztywności w x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Sztywność ścinania w kierunku y

Środek sztywności w kierunku y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Środek sztywności w kierunku y

Aby określić orientację dla poszczególnych pozycji w obliczeniach sztywności na ścinanie, sztywności są określane zgodnie z poniższymi równaniami.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Zorientowana sztywność na ścinanie G11

G oznacza sztywność warstw na ścinanie w celu uniknięcia pomyłek dla elementów macierzy sztywności (D).

Sztywność na ścinanie każdej warstwy można również wyświetlić w postaci macierzy w następujący sposób:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Macierz sztywności na ścinanie

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Zorientowana sztywność na ścinanie G22

Sztywność mimośrodowa na ścinanie w poniższym równaniu zawsze będzie wynosić zero, a zatem nie ma znaczenia dla symetrycznej konstrukcji drewna klejonego krzyżowo (0°/90°/0°) wspomnianej powyżej. Na przykład w przypadku drewna klejonego ukośnie DLT ( Diagonal Laminated Timber ), ten element mimośrodu nie wynosi zero i dlatego odgrywa ważną rolę.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Sztywność na ścinanie mimośrodowe G12

Więcej informacji można znaleźć w [4] oraz w tym wideo na YouTube.

Obliczanie sztywności na ścinanie

Sztywność na ścinanie jest określana w następujących krokach:

Najpierw określany jest kąt maksymalnej sztywności. Kąt φ pokazuje zmianę lokalnego układu współrzędnych x powierzchni w odniesieniu do kierunku zorientowanego x''.
Wszystkie sztywności są obrócone w kierunku zorientowanym x'' zgodnie z równaniami przedstawionymi powyżej.
Macierz sztywności szyby dla każdej pozycji (3 x 3) jest przekształcana z lokalnego układu współrzędnych x', y' na układ obrócony x'', y". Oprócz obliczenia Skierowana-sztywność każdej pojedynczej warstwy, jest to również obliczane dla modułów sprężystości każdej warstwy.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Zorientowany moduł sprężystości w kierunku x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Zorientowany moduł sprężystości w kierunku y
Sztywność na ścinanie jest obliczana za pomocą opisanych powyżej. Sztywność na ścinanie oblicza się na podstawie poszczególnych części.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Moment bezwładności przekroju w kierunku x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Równoważna sztywność na warstwę (w x)

Tutaj równania są pokazane tylko dla kierunku x (D44). To samo dotyczy kierunku y. Dla każdej warstwy obliczana jest sztywność równoważna (składowa Stintera).
Obliczone sztywności dla zorientowanego kierunku całej konstrukcji są ostatecznie obliczane ponownie za pomocą zależności kątowych i przedstawiane jako oryginalne sztywności D44, D55 i D45 w macierzy sztywności.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D45

Zwiększająca się sztywność na ścinanie

Ponieważ laminaty można modelować jako powierzchnię, możliwe są również geometrie z bardzo wąskimi pasmami powierzchni, sztywność na ścinanie musi zostać odpowiednio zwiększona podczas obliczania takich problematycznych geometrii.

Pokazuje to poniższe równanie dla kierunku X

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Maksymalna sztywność na ścinanie

Długość lw powyższym równaniu oznacza najkrótszą długość bryły, która może zostać umieszczona nad odpowiednią geometrią.

W innym modelu, który można pobrać po prawej stronie, porównano wąską powierzchnię o szerokości 10 cm z identyczną powierzchnią o szerokości 20 cm.

Sztywność na ścinanie wąskiej powierzchni wynosi D44=15 253 kN/m w porównaniu do D44=5970,8 kN/m szerszej powierzchni. W rezultacie odkształcenie sztywniejszej powierzchni jest mniejsze, a obciążenie ścinające większe, pomimo identycznego obciążenia.

Sztywności dla powierzchni wielowarstwowych ze zintegrowanymi bryłami

W przyszłości bryły wraz z powierzchniami będzie można również definiować w rozszerzeniu Powierzchnie wielowarstwowe. W tym przypadku do programu RFEM eksportowana jest również powierzchnia. Ponieważ generowanie sztywności i rozkładanie sił wewnętrznych jest bardziej czasochłonne, zostanie to wyjaśnione osobno.

Odniesienia

Budynek z drewna klejonego krzyżowo - Nośne masywne elementy drewniane ścian, stropów i dachów - Seria 4, część 6, część 1. Serwis informacyjny Holz
Płaskie konstrukcje powierzchniowe: Podstawy modelowania i obliczeń ścian i płyt
Jones, RM (nd). Mechanika materiałów kompozytowych (wyd. 2). Taylor & Francis Inc., Filadelfia.
Arnold, M.: Właściwości mechaniczne drewna klejonego ukośnie (DLT) z uwzględnieniem masywnych płyt drewnianych podpartych punktowo .Praca doktorskaw przygotowaniu. Katedra Drewna i Konstrukcji Budowlanych, Uniwersytet Techniczny w Monachiumoczekiwano2023.

Rozdział nadrzędny

Metoda wymiarowania:

Model

445x

10x

Modele wielowarstwowe

Model wielowarstwowy w usztywnieniu przy ścinaniu

Sztywność na ścinanie