Manuels en ligne RFEM 6 | Surfaces multicouches

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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

19.10.2023

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Module complémentaire Surfaces multicouches

Théorie

Données

Résultats

Exemples de calcul

Rigidités pour les surfaces multicouches

Modèles de matériau

Les modèles de matériau constituent la base de la composition de surfaces multicouches afin d’obtenir une rigidité de surface efficace. Le module complémentaire Surfaces multicouches vous permet de combiner librement des modèles de matériau dans RFEM 6. La base des modèles de matériau est décrite dans les chapitres Matériaux et Comportement non linéaire du matériau du manuel de RFEM.

Une sélection des combinaisons possibles des modèles de matériau est créée dans le modèle « Modèles multicouches » (voir la colonne de droite), que vous pouvez télécharger pour une étude plus approfondie des combinaisons.

La liste suivante affiche une sélection des combinaisons possibles :

Couches isotropes (par ex. béton - acier)
Couches orthotropes (par ex. bois lamellé-croisé)
Isotrope - Orthotrope (par ex. acier - PRV)
Isotrope plastique - Isotrope (par ex. béton - acier)
Isotrope élastique non-linéaire - Orthotrope (par ex. béton - bois)
Isotrope - Orthotrope plastique (par ex. béton - bois)
Isotrope endommagement - Orthotrope (par ex. béton - bois)

Informations

Pour la combinaison de matériaux non linéaires, le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau doit être activé.

Rigidités pour les surfaces multicouches sans solides

L’option de calcul la plus simple dans le module complémentaire Surfaces multicouches consiste à définir différentes couches de surface avec le type d’épaisseur « Couches » sans solides. Cependant, vous pouvez également combiner librement les modèles de matériau ici.

Une fois les couches définies, le module complémentaire Surfaces multicouches crée une matrice de rigidité globale de la surface. Dans RFEM, les efforts internes et les déformations sont calculés pour cette surface. Dans le module complémentaire correspondant, tel que « Vérification du bois » ou « Analyse contrainte-déformation », ces efforts internes sont ensuite répartis entre les couches existantes. Les efforts internes sont généralement affichés sous forme de trois points d’intégration par couche.

Processus de calcul pour les surfaces multicouches

Voici comment calculer la matrice de rigidité pour les matériaux isotropes et orthotropes.

Calcul de la matrice de rigidité

Les modèles de matériau sont basés sur les conditions suivantes (voir le chapitre Matériaux du manuel de RFEM) :

Toutes les valeurs de rigidité ≥ 0
La matrice de rigidité globale de la surface doit être définie positive.
Équation de base isotrope :

E = 2 G (1 + ν)

E	Module d'élasticité
G	Module de cisaillement
ν	Coefficient de poisson

Module d'élasticité, module de cisaillement et coefficient de Poisson

Équation de base orthotrope :

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Relation de déformation transversale

Matrice de rigidité locale de chaque couche

Isotrope

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Couche de matrice de rigidité isotrope

Orthotrope

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Couche de matrice de rigidité orthotrope

Informations

Pour un matériau orthotrope, le module de cisaillement dans le plan de panneau (G_xy) est défini à l’aide des valeurs de matériau, tandis que pour un matériau isotrope, il est déterminé à partir du module d’élasticité et de la déformation transversale. Le coefficient de Poisson avec le principe de « Causalité » est donc important pour un matériau orthotrope.

Les rigidités de cisaillement pour un matériau orthotrope sont les suivantes :

G_xy	Module de cisaillement dans le plan de panneau (par ex. 690 N/mm² pour C24)
G_xz	Module de cisaillement en direction x sur l’épaisseur (par ex. 690 N/mm² pour C24)
G_yz	Module de cisaillement en direction y sur l’épaisseur (par exemple 690 N/mm² pour C24), aussi appelé « Module de cisaillement roulant ».

De plus, un matériau orthotrope a la particularité que les rigidités directionnelles peuvent être définies dans une surface. Dans le cas par défaut, l’orientation locale de la surface ou de la couche en direction x correspond à la rigidité en direction x. Cependant, comme celui-ci peut être défini librement à l’aide de l’angle β dans le type d’épaisseur « Couches », les rigidités doivent être transformées en conséquence.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Rigidités de transformation

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Matrice de transformation

Élément additionné de chaque couche :

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Termes individuels par équipe

Éléments en flexion et torsion [Nm]

Les éléments de matrice pour la flexion et la torsion sont donnés dans les équations ci-dessous :

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Rigidité en flexion en x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Terme d'excentrement (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Rigidité en flexion en y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Terme d'excentrement (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Terme d'excentrement (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

rigidité en torsion

S’il n’y a qu’une couche avec le type d’épaisseur « Couches », le calcul est effectué à l’aide des équations détaillées dans le manuel de RFEM.

Pour le cisaillement (élément D44/55), des équations différentes sont appliquées pour le type d’épaisseur « Couches ». Elles sont décrites dans Cisaillement dans le plan de dalle.

Termes d’excentrement [Nm/m]

Les termes d’excentrement apparaissent dans le cas de plaques asymétriques. Une surface asymétrique peut être due, par exemple, dans une vérification de la résistance au feu, à la carbonisation unilatérale d’une plaque en bois lamellé-croisé. Les éléments de la matrice sont les suivants :

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Élément d'excentrement D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Élément d'excentrement D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Élément d'excentrement D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Élément d'excentrement D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Élément d'excentrement D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Élément d'excentrement D38

Plan de panneau [N/m]

Les rigidités normales sont représentées dans le plan du panneau. L’effort tranchant dans le panneau est calculé à l’aide de l’élément D88. Les éléments de la matrice sont les suivants :

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Rigidité axiale x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Rigidité normale Excentrique D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Rigidité normale Excentrique D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Rigidité axiale y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Rigidité normale Excentrique D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Cisaillement de plaque D88

Cisaillement dans le plan de la plaque [N/m]

Pour déterminer la rigidité de cisaillement d’un matériau orthotrope, faites pivoter les rigidités selon leur orientation par rapport à l’axe de surface local. Cela doit être fait pour chaque couche avec le type d’épaisseur « Couches ». Dans une structure à couches simples avec une orientation à 0° de la couche de revêtement et une orientation à 90° de la couche sous-jacente, la rigidité de cisaillement est élevée et doit être considérée en conséquence pour le modèle multicouche. L’image suivante (Source [1]) le montre à l’aide d’un exemple de plaque en bois lamellé-croisé.

Déformation de cisaillement (Source: Service d’information bois)

Dans la théorie des stratifiés, la rigidité au cisaillement d’une structure en couches est calculée en modifiant tous les composantes de flexion et de cisaillement dans les directions respectives de chaque couche. De plus amples informations sont disponibles dans la littérature indiquée ci-dessous.

Orientations de calcul

Les rigidités sont ajoutées à l’aide de la transformation de la rigidité affichée sur la figure. Cette somme est également connue sous le nom d’« intégrale de Grassoff ».

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidité de cisaillement dans la direction x

Afin de calculer la rigidité dans les directions x et y, un centre de gravité de rigidité est calculé pour chaque composition d’une surface multicouche.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centre de rigidité en x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidité de cisaillement en direction de l'axe y

Centre de rigidité en direction y :

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centre de rigidité dans la direction y

Afin de déterminer l’orientation par couche dans le calcul de la rigidité de cisaillement, les rigidités sont déterminées selon les équations suivantes :

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidité de cisaillement orientée G11

G signifie la rigidité de cisaillement des couches, afin d’éviter de la confondre avec les éléments de la matrice de rigidité (D).

La rigidité de cisaillement de chaque couche peut également être affichée sous forme de matrice :

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Matrice de rigidité en cisaillement

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidité de cisaillement orientée G22

La rigidité de cisaillement excentrée dans l'équation suivante serait toujours nulle et ne serait donc pas pertinente pour la structure symétrique en bois lamellé-croisé (0°/90°/0°) mentionnée ci-dessus. Dans le cas du bois lamellé-croisé collé diagonalement DLT (« Diagonal Laminated Timber »), par exemple, cet élément d’excentrement n’est pas nul et joue donc un rôle important.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Rigidité de cisaillement orienté excentrement G12

Pour en savoir plus, veuillez consulter [4] et cette vidéo.

Calcul de la rigidité de cisaillement

La rigidité de cisaillement est déterminée à l’aide des étapes suivantes :

Tout d’abord, l’angle de rigidité maximale est déterminé. L’angle φ affiche la modification du système de coordonnées local x de la surface par rapport à la direction orientée x''.
Toutes les rigidités sont tournées dans la direction x'' selon les équations ci-dessus.
La matrice de rigidité de chaque couche (3 x 3) est transformée du système de coordonnées local x', y' au système de rotation x'', y". En plus du calcul de la direction orientée de chaque couche, cette opération est également effectuée pour les modules d’élasticité de chaque couche.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Module d'élasticité orienté dans la direction x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Module d'élasticité orienté dans la direction y
La rigidité de cisaillement est calculée à l’aide des équations (intégrale de Grashoff) décrites ci-dessus. La rigidité de cisaillement est calculée à l’aide des composantes individuelles.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Moment d'inertie dans la direction x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Rigidité équivalente par couche (en x)

Les équations ne sont affichées ici que pour la direction x (D44). Il en va de même pour la direction y. La rigidité équivalente (composante de Steiner) est calculée pour chaque couche.
Les rigidités calculées pour la direction orientée de la composition entière sont finalement calculées à l’aide des relations angulaires et affichées comme les rigidités d’origine D44, D55 et D45 dans la matrice de rigidité.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidité de cisaillement D44 recalculée

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidité de cisaillement D55 recalculée

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Rigidité de cisaillement D45 recalculée

Augmentation de la rigidité de cisaillement

Étant donné que les géométries avec des bandes de surface très étroites sont également possibles en modélisant des stratifiés sous forme de surface, la rigidité de cisaillement doit être augmentée en conséquence lors du calcul de ces géométries problématiques.

L’équation suivante le montre pour la direction X

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Rigidité maximale de cisaillement

La longueur l dans l’équation ci-dessus signifie la longueur la plus courte d’un caisson qui peut être placée sur la géométrie correspondante.

Dans un autre modèle téléchargeable, une surface étroite de 10 cm de largeur a été comparée à une surface identique de 20 cm de largeur.

La rigidité en cisaillement de la surface étroite est D44 = 15 253 kN/m contre D44 = 5 970,8 kN/m de la surface plus large. Par conséquent, la déformation de la surface plus rigide est plus faible et la charge de cisaillement est plus élevée, malgré la charge identique.

Rigidités pour les surfaces multicouches avec solides intégrés

À l’avenir, il sera également possible de définir des solides avec des surfaces dans le module complémentaire Surfaces multicouches. Dans ce type, la surface est également exportée vers RFEM. La génération des rigidités et la compression des efforts internes prenant plus de temps, elles sont expliquées séparément.

Références

Bâtiment en bois lamellé-croisé - Éléments porteurs en bois massif pour murs, planchers et toitures - Série 4, partie 6, partie 1. Service d'information Holz
Structures à surface plane : Principes de base de la modélisation et du calcul des voiles et des plaques
Moores, RM (nd). Mécanique des matériaux composites (2e éd.). Celui-ci peut être utilisé à Philadelphie.
Arnold, M.: Propriétés mécaniques du bois lamellé diagonal (DLT) par rapport aux dalles de bois massives supportées par appuis ponctuels .Mémoireen préparation. Département de la construction bois et du bâtiment, Université technique de Munich, Allemagneprévu2023.

Chapitre parent

Théorie

Modèle

445x

10x

Modèles multicouches

Modèle multicouche dans un raidisseur de cisaillement

Rigidité en cisaillement