Manuales en línea RFEM 6 | Superficies multicapa

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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2023-10-19

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Complemento Superficies multicapa

Procedimiento de cálculo

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Ejemplos de cálculo

Rigidez para superficies multicapa

modelos de material

Los modelos de materiales son la base para la composición de superficies multicapa para obtener una rigidez superficial eficaz. El complemento Superficies multicapa le permite combinar libremente los modelos de materiales en el programa RFEM 6. La base de los modelos de materiales se describe en los capítulos Materiales y Comportamiento no lineal del material del manual de RFEM.

Se crea una selección de las combinaciones posibles de los modelos de materiales en el modelo "Modelos multicapa" (ver la columna de la derecha), que puede descargar para un estudio más detallado de las combinaciones.

La siguiente lista muestra una selección de las combinaciones posibles:

Capas isótropas (p. ej. hormigón - acero)
Capas ortótropas (por ejemplo, madera contralaminada)
Isótropo - ortótropo (p. ej. acero - PRFV)
Isótropo Plástico - Isótropo (p. ej. hormigón - acero)
Isótropo elástico no lineal - ortótropo (p. ej. hormigón - madera)
Isótropo - Ortótropo Plástico (p. ej. Hormigón - Madera)
Daño isótropo - Ortótropo (p. ej. Hormigón - Madera)

Información

Para la combinación de materiales no lineales, el -analyses/nonlinear-material-behavior Comportamiento no lineal del material debe estar activado.

Rigideces para superficies multicapa sin sólidos

La opción de cálculo más simple en el complemento Superficies multicapa es definir diferentes capas de superficie en el tipo de espesor 'Capas' sin sólidos. Sin embargo, aquí también puede combinar libremente los modelos de material.

Una vez que se definen las capas, el complemento Superficies multicapa crea una matriz de rigidez global de la superficie. En RFEM, los esfuerzos internos y las deformaciones se calculan para esta superficie. En el complemento de cálculo respectivo, como Cálculo de madera o Análisis tensión-deformación, estos esfuerzos internos se dividen en las capas existentes. Normalmente, los esfuerzos internos se muestran como tres puntos de integración por posición.

Proceso de cálculo para superficies multicapa

Este artículo explica cómo calcular la matriz de rigidez para materiales isótropos y ortótropos.

cálculo de la matriz de rigidez

Los modelos de materiales se basan en las siguientes condiciones (véase el capítulo Materiales del manual de RFEM):

Todos los valores de rigidez ≥ 0
La matriz de rigidez global de la superficie debe ser definida positiva.
Ecuación básica isótropa:

E = 2 G (1 + ν)

E	Módulo de elasticidad
G	Módulo de cortante
ν	Coeficiente de Poisson

Módulo de elasticidad, módulo de cortante y coeficiente de Poisson

Ecuación básica ortótropa:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Relación de la deformación transversal

Matriz de rigidez local de cada capa

Isótropo

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Rigidez de la capa de la matriz isótropa

Ortótropo

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Matriz de rigidez ortótropa

Información

Para el material ortótropo, el módulo de cortante en el plano del panel (G_xy ) se define por medio de los valores del material, mientras que para el material isótropo se determina a partir del módulo de elasticidad y la deformación transversal. Por lo tanto, el coeficiente de Poisson' con el principio de "ubicación-causa" es importante para el material ortótropo.

Las rigideces a cortante para el material ortótropo son las siguientes:

G_xy	Módulo de cortante en el plano del panel (p. ej. 690 N/mm² para C24)
G_xz	Módulo de cortante en la dirección x sobre el espesor (p. ej. 690 N/mm² para C24)
G_yz	Módulo de cortante en dirección y sobre el espesor (p. ej. 690 N/mm² para C24), también llamado "módulo de cortante por rodadura".

Además, el material ortótropo tiene la característica especial de que se pueden definir las rigideces direccionales en una superficie. En el caso predeterminado, la orientación local de la superficie o capa en la dirección x corresponde a la rigidez en la dirección x. Sin embargo, dado que esto se puede definir libremente por medio del ángulo β en el tipo de espesor 'Capas', es necesario transformar las rigideces en consecuencia.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Rigidez de transformación

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Matriz de transformación

Elemento sumado de cada capa:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Términos individuales por turno

Elementos de flexión y torsión [Nm]

Los elementos de la matriz para flexión y torsión se dan en las siguientes ecuaciones.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Rigidez a la flexión en x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Término de excentricidad (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Rigidez a la flexión en y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Término de excentricidad (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Término de excentricidad (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

rigidez a torsión

Si solo hay una capa del tipo de espesor 'Capas', el cálculo se basa en los parámetros descritos en el manual de RFEM]].

Para el cortante (elemento D44/55) se aplican ecuaciones diferentes en el tipo de espesor 'Capas'. Se describen en la sección Cortante en el plano de la losa.

Términos de excentricidad [Nm/m]

Para placas asimétricas, surgen términos de excentricidad. Una superficie asimétrica puede ser, por ejemplo, en un cálculo de resistencia al fuego debido a la carbonización de un lado de una placa de madera contralaminada. Los elementos de la matriz son los siguientes:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Elemento de excentricidad D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Elemento de excentricidad D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Elemento de excentricidad D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Elemento de excentricidad D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Elemento de excentricidad D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Elemento de excentricidad D38

Plano de la chapa [N/m]

En el plano "Muro de panel", las rigideces normales se representan en el plano del panel de vidrio. El esfuerzo cortante en el panel se calcula utilizando el elemento D88. Los elementos de la matriz son los siguientes:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Rigidez axial x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Rigidez normal Excéntrica D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Rigidez normal Excéntrica D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Rigidez axial y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Rigidez normal Excéntrica D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Placa a cortante D88

Cortante en el plano de la losa [N/m]

Para determinar la rigidez a cortante para un material ortótropo, tiene que girar las rigideces según su orientación respecto al eje local de la superficie. Esto se debe hacer para cada capa del tipo de espesor 'Capas'. En una estructura de capas simple con una orientación de 0° de la capa de recubrimiento y una orientación de 90° de la capa subyacente, hay una rigidez a cortante alta, que se debe considerar en consecuencia para el modelo multicapa. La siguiente imagen (fuente [1]) muestra esto utilizando un ejemplo de una placa de madera contralaminada.

Deformación a cortante (Fuente: Servicio de información de madera)

En la teoría laminada, la rigidez a cortante de una estructura en capas se calcula transformando todos los componentes de flexión y cortante en las direcciones respectivas de cada capa. Puede encontrar más información al respecto en la bibliografía que se detalla a continuación.

Steifigkeitsorientierung

Al usar la transformación de la rigidez que se muestra en la figura, se suman las rigideces. Esta sumatoria también se conoce como la "integral de Grashoff".

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidez a cortante en dirección x

Para calcular la rigidez en las direcciones x e y, se calcula un centro de gravedad de la rigidez para cada estructura de una superficie multicapa.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centro de rigidez en x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidez a cortante en dirección y

Centro de rigidez en dirección y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centro de rigidez en dirección y

Para determinar la orientación por posición en el cálculo de la rigidez a cortante, las rigideces se determinan según las siguientes ecuaciones.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidez a cortante orientada G11

G representa la rigidez a cortante de las capas para evitar errores para los elementos de la matriz de rigidez (D).

La rigidez a cortante de cada capa también se puede mostrar en forma de matriz como a continuación:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Matriz de rigidez a cortante

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidez a cortante orientada G22

La rigidez a cortante excéntrica en la siguiente ecuación siempre sería cero y, por lo tanto, irrelevante para la estructura simétrica de madera contralaminada (0°/90°/0°) mencionada anteriormente. En el caso de la madera contralaminada encolada diagonalmente DLT ( Diagonal Laminated Timber ), por ejemplo, este elemento de excentricidad no es nulo y, por lo tanto, juega un papel importante.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Rigidez a cortante orientada excéntrica G12

Puede encontrar más información en [4] y en este vídeo de YouTube.

Cálculo de la rigidez a cortante

La rigidez a cortante se determina en los siguientes pasos:

Primero, se determina el ángulo de máxima rigidez. El ángulo φ muestra la modificación del sistema de coordenadas local x de la superficie con respecto a la dirección orientada x''.
Todas las rigideces se giran en la dirección orientada x'' de acuerdo con las ecuaciones presentadas anteriormente.
La matriz de rigidez del panel de cada posición (3 x 3) se transforma del sistema de coordenadas local x', y' al sistema girado x'', y". Además de calcular la de cada capa individual, esto también se realiza para los módulos de elasticidad de cada capa.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Módulo de elasticidad orientado en dirección x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Módulo de elasticidad orientado en dirección y
La rigidez a cortante se calcula con las ecuaciones (integral de Grashoff) descritas anteriormente. La rigidez a cortante se calcula utilizando las partes individuales.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Segundo momento de inercia en dirección x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Rigidez equivalente por capa (en x)

Aquí, las ecuaciones solo se muestran para la dirección x (D44). Lo mismo se aplica a la dirección y. La rigidez equivalente (componente de Stinter) se calcula para cada capa.
Las rigideces calculadas para la dirección orientada de toda la estructura se calculan finalmente por medio de las relaciones angulares y se muestran como las rigideces originales D44, D55 y D45 en la matriz de rigidez.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidez a cortante recalculada D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidez a cortante recalculada D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Rigidez a cortante recalculada D45

Rigidez a cortante creciente

Dado que las geometrías con franjas de superficie muy estrechas también son posibles modelando los laminados como una superficie, la rigidez a cortante se debe aumentar en consecuencia al calcular tales geometrías problemáticas.

La siguiente ecuación muestra esto para la dirección X

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Rigidez a cortante máxima

La longitud l en la ecuación anterior significa la longitud más corta de un cajón que se puede colocar sobre la geometría correspondiente.

En otro modelo, que se puede descargar a la derecha, se comparó una superficie estrecha de 10 cm de ancho con una superficie idéntica de 20 cm de ancho.

La rigidez a cortante de la superficie estrecha es D44 = 15.253 kN/m en comparación con D44 = 5.970,8 kN/m de la superficie más ancha. Como resultado, la deformación de la superficie más rígida es menor y la carga de cortante es mayor, a pesar de la carga idéntica.

Rigideces para superficies multicapa con sólidos integrados

En el futuro, también será posible definir sólidos junto con superficies en el complemento Superficies multicapa. En el caso de este tipo, también se exporta una superficie a RFEM. Dado que la generación de rigideces y la descomposición de los esfuerzos internos requiere más tiempo, esto se explica por separado.

Referencias

Edificio de madera contralaminada - Elementos de madera maciza portantes para muros, forjados y cubiertas - Serie 4, parte 6, parte 1. Servicio de información de Holz
Estructuras de superficies planas: conceptos básicos de modelado y cálculo de muros y placas
Jones, RM (sf). Mecánica de materiales compuestos (2.ª ed.). Taylor & Francis Inc., Filadelfia.
Arnold, M.: Propiedades mecánicas de la madera laminada diagonal (DLT) con respecto a losas de madera maciza apoyadas en puntos .Tesis doctoralen preparación. Cátedra de Madera y Construcción, Universidad Técnica de Múnich, Alemaniaesperado2023.

Capítulo principal

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Modelos multicapa

Modelo multicapa en rigidizador a cortante

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