用户使用手册 RFEM 6 | 多层结构

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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2023-10-19

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概览

多层面模块

验算方法

输入

结果输出

计算示例

多层面的刚度

材料模型

根据材料模型可以计算多层结构的面的有效刚度。使用“多层面”模块，您可以在 RFEM 6 中自由组合各种材料模型。材料模型的基础在章节材料和 RFEM 手册中的材料非线性。

在“多层结构”对话框中可以选择各种材料模型的组合（见右侧列），您可以下载该模型以进一步研究各种组合。

以下列出了一些可能的组合：

各向同性层（例如混凝土-钢筋）
正交各向异性层（例如正交胶合木）
各向同性 - 正交各向异性(例如钢 - 玻璃钢纤维增强塑料)
各向同性塑性 - 各向同性(例如混凝土 - 钢)
各向同性非线性弹性 - 正交各向异性(例如混凝土 - 木材)
各向同性 - 正交各向异性塑性(例如混凝土 - 木材)
各向同性损伤 - 正交各向异性(例如混凝土 - 木材)

信息

对于非线性材料的组合，默认使用{%!应激活-analyses/nonlinear-material-behavior非线性材料行为]]。

不含实体的多层面的刚度

在“多层面”模块中更简单的计算选项是以厚度类型 '层' 定义不包含实体的面。当然，你也可以在这里自由组合材料模型。

定义层后，使用多层面模块会创建一个全局的面刚度矩阵。在 RFEM 中计算该面的内力和变形。在相应的设计模块（例如木结构设计或应力-应变分析）中，这些内力会分解到现有的各层中。内力通常每个位置三个积分点显示。

多层结构面的计算过程

本文将介绍如何计算各向同性和正交各向异性材料的刚度矩阵。

刚度矩阵计算

材料模型是基于以下条件（见 RFEM 手册]]手册的]]

所有刚度值 ≥ 0
面的总刚度矩阵必须是正定的。
基本公式：

E = 2 G (1 + ν)

E	弹性模量
G	剪切模量
ν	泊松比

弹性模量、剪切模量和泊松比

基本公式正交各向异性：

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

横向应变关系

各层的局部刚度矩阵

各向同性

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

各向同性刚度矩阵层

正交各向异性

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

各向异性刚度矩阵层

信息

正交各向异性材料的板平面内的剪切模量 (G_xy ) 由材料的参数决定，各向同性材料的材料在板平面的剪切模量 G xy 由弹性模量和横向应变求得。因此根据“位置-原因”原理确定泊松比对于计算各向异性材料非常重要。

正交各向异性材料的剪切刚度如下：

G_xy	板区中的剪切模量（例如对于 C24 为 690 N/mm²）
G_xz	沿厚度 x 方向的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²）
G_yz	沿厚度方向的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²），也称为滚剪模量。

此外，正交各向异性材料的一个特点是，可以在一个面上定义方向上的刚度。面或层的局部 x 方向方向对应于 x 方向上的刚度。因为在'层'厚度类型中可以通过角度 β 自由定义，所以需要相应地转换刚度。

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

转换刚度

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

变换矩阵

每层单元的总和：

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

每个班次的单个术语

弯扭单元 [Nm]

受弯和受扭的矩阵元素在下面的公式中给出。

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

x 方向的抗弯刚度

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

偏心项 (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

y方向抗弯刚度

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

偏心项 (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

偏心项 (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

抗扭刚度

如果只有一层的厚度类型为 '层'，则根据 RFEM 手册 ]] 中描述的参数进行计算。

对于受剪的构件（单元 D44/55），在类型 '层' 中应用不同的公式。在板平面的剪力]]部分中对它们进行了介绍。

偏心距项 [Nm/m]

对于非对称板，会出现偏心项。例如在抗火验算中可能由于正交胶合木板的单面碳化而产生不对称面。其矩阵元素如下：

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

偏心元素 D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

偏心元素 D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

偏心元素 D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

偏心元素 D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

偏心元素 D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

偏心元素 D38

板平面 [N/m]

墙面法向刚度显示在玻璃板平面上。窗玻璃中的剪力用单元 D88 计算。其矩阵元素如下：

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

轴向刚度 x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

法向刚度偏心 D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

法向刚度偏心 D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

轴向刚度 y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

法向刚度偏心 D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

板受剪 D88

板平面受剪 [N/m]

用户可以在面的局部坐标轴上旋转各向异性材料的面，来确定材料的剪切刚度。对厚度类型为'层'的每一层都完成此操作。在简单的层结构中（表层结构的倾角为 0°，底层结构的倾角为 90°），其抗剪刚度很高，对于多层结构的模型必须要相应地考虑到这一点。下图（来源 [1]）以正交胶合木板为例进行了说明。

剪切变形（来源：信息服务木材）

在层压板-理论中，层压结构的抗剪刚度是通过每层方向上的所有弯曲和剪切分量相互转换来计算的。更多相关信息，请参阅下方的参考文献。

Steifigkeitimorientierung

图中显示了刚度转换中的刚度叠加。这个积分就是 Grashoff 积分。

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

x 方向的抗剪刚度

为了计算 x 和 y 方向上的刚度，需要对多层结构的面的每个结构计算一个刚度重心。

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

x 方向刚度中心

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

y 方向抗剪强度

y方向上的刚度中心：

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

y 方向刚度中心

为了在计算每个位置的抗剪刚度时确定方向，按照下面的公式来确定刚度。

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

方向剪切刚度 G11

G 表示层的剪切刚度，以避免刚度矩阵中的元素出现错误。

各层的抗剪刚度也可以用矩阵的形式显示，如下：

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

抗剪刚度矩阵

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

方向剪切刚度 G22

因为上面提到的对称正交胶合木 (0°/90°/0°) 结构，以下公式中的偏心剪切刚度为零。例如对角胶合木正交胶合木 DLT（对角线层压木），该偏心不为零，因此非常重要。

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

偏心抗剪刚度 G12

更多信息可以在 [[]]#Refer [4]]] 和 YouTube 视频中找到。

计算抗剪刚度

程序按照以下步骤计算截面刚度：

首先确定最大刚度的角度。角度 φ 表示面的局部坐标系 x 相对于定向方向的变化x'' [SCHOOL.INSTITUTION]
所有刚度都在定向方向上旋转。 x''根据上面给出的公式。
每个位置(3 x 3)的板件刚度矩阵从局部坐标系 x', y' 到旋转后的坐标系x'', y" [SCHOOL.INSTITUTION] 该方法除了计算每一层的 directed-stiffness 外，还会计算每一层的弹性模量。

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

x 方向弹性模量

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

y-方向弹性模量
抗剪刚度通过上述 Grashoff 积分]]公式 {%|#grashoff 计算。抗剪刚度是使用各个构件计算的。

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

沿 x 方向的惯性矩

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

每层等效刚度 (in x)

此处仅显示 x 方向 (D44) 的公式。这同样适用于 y 方向。程序会为每一层计算等效刚度（Stinter 分量）。
整个结构在该方向上的计算刚度最后通过角度关系重新计算，并在刚度矩阵中显示为原始刚度 D44、D55 和 D45。

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

重新计算的抗剪刚度 D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

重新计算的抗剪刚度 D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

重新计算的抗剪刚度 D45

增大抗剪刚度

因为具有非常窄的表面条带的几何形状也可以通过将层板作为面建模，所以在计算这样有问题的几何形状时必须相应地增加抗剪刚度。

这是在 X 方向上的结果，公式如下：

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

最大抗剪刚度

上式中的长度 l 是指可以放置在相应几何体上的箱子的最短长度。

可以在右侧下载的另一个模型，是对宽度为 10 cm 的窄表面和 20 cm 的相同表面进行比较。

窄板的抗剪刚度为 D44=15253 kN/m，而较宽板的抗剪刚度为 D44=5.970.8 kN/m。其结果是，尽管相同荷载，但刚度较大的面的变形较小，并且剪切荷载较大。

集成实体的多层面的刚度

将来，在“多层面”模块中还可以将面与实体一起定义。使用此类型的面会被导出到 RFEM 中。刚度的产生和内力的分解比较耗时，这里将单独介绍。

参考

正交胶合木结构建筑 - 墙、楼板和屋顶的承重木结构构件 - 4 系列第 6 部分第 1 部分。信息服务 Holz
平面结构：墙和板建模和计算基础
Jones, RM （日期）。 复合材料力学（第2版）。 Taylor & Francis Inc.，费城。
Arnold, M.：斜交胶合木（DLT）的力学属性关于点支座的木板质量。博士论文准备中[SCHOOL.INSTITUTION] 木结构与建筑结构系讲席, Technical University of Munich预期的2023.

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验算方法

模型

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多层模型

抗剪刚度