积分方法

RFEM 中的默认积分方法是 ]]#gauss-lobatto Gauss-Lobatto]] 积分法，有九个积分点。 对于大多数情况，此默认设置就足够了。 为了以足够的精度显示非线性的应力-应变图（例如钢纤维混凝土），增加积分点的数量会有帮助。 因此，当使用非线性材料时，可以在每层中自定义 3 到 99 个点的数量（见图 调整图层的集成点 ）。 请注意，积分点的数量越多，计算时间越长。

此外，还有三种不同的积分方法可供选择（见图 选择积分方法 ):

• 高斯-洛巴托积分(Gauss-Lobatto quadrature)
• 辛普森法(Simpson's rule)
• 梯形法

下面介绍积分方法。 通常，具有固定数量的积分点的 Gauss-Lobatto 积分法可提供最高精度，而不会显着增加计算量。 梯形或 Simpson' 准则只是在特殊情况下可以得出更好的结果。

积分公式

积分公式的目的是计算积分的数值逼近. 为此，在集成域中选择支座点，并在这些点上进行权函数评估。 下面以计算弯矩为例。

d代表多层结构中每一层的高度。 积分如下：

n 个栅格点 -d/2 ≤ z₁ < z₂ < 。 [SCHOOL.INSTITUTION] [SCHOOL.INSTITUTION] < z_n ≤ d/2在层的高度上，以及标量权重 ω₁, 。 [SCHOOL.INSTITUTION] [SCHOOL.INSTITUTION] , ω_n取决于相应的积分公式。

RFEM 始终使用 n = 2k + 1 的奇数个栅格点，并且至少选择层的顶部、中间和底部作为积分点。 因此得出z₁ = -d/2、z_k = 0 和z_n = d/2。 以便可以准确计算这些位置的应力值，然后在程序中显示。 如果设置的栅格点数量为偶数，则在计算中使用下一个最大的奇数。

积分公式的精确程度在p阶中给出。 多项式的最高次数，

梯形法

一个简单的求积公式的例子就是梯形图。 在这种情况下，选择集成域的两个外边缘作为支座。也就是说，z₁ = −d/2 和 z₂ = d/2。 因为可以对一次函数进行精确积分，所以不能使用二次函数。

对于 RFEM 中使用的累积梯形法则的变体，如果选择n 个积分点，则积分间隔将被等距离划分为 n − 1 个不完整的间隔，并且对每个不完整的间隔应用梯形规则。

下图显示了五个积分点的叠加的梯形规则的示例。

梯形求和规则

辛普森法(Simpson's rule)

Simpson's 规则是一个三阶积分公式，它使用三个积分点，两个在积分区域的边缘，一个在积分区域的中心。 权重的选择应使得通过这三个点的抛物线上的积分近似解. 当z₁ = −d/2、z₂ = 0和z₃ = d/2时，形状为：

这里 RFEM 也使用累积积分法。 如果支座点的数量n是奇数，那么可以得到 (n − 1)/2 个相等长度的部分区间，该区间中可以应用Simpson's 规则。 下图显示了五个集成点的实例。

总结 Simpson 规则

高斯-洛巴托积分(Gauss-Lobatto quadrature)

在 Gauss-Lobatto 积分中，两个边界点 z₁ = -d/2 和 z_n = d/2 始终作为支座，其他所有积分点的选择要尽可能高阶。 p = 2n − 3。 对于 n = 3，Gauss-Lobatto 求积等效于 Simpson's 法则；例如 n = 5 时：