Il metodo di integrazione predefinito in RFEM è una quadratura di Gauss-Lobatto con nove punti di integrazione. Questa impostazione predefinita è sufficiente per la maggior parte dei casi. Al fine di rappresentare diagrammi tensioni-deformazioni non lineari con una precisione sufficiente (ad esempio, nel caso del calcestruzzo fibrorinforzato in acciaio), può essere utile aumentare il numero di punti di integrazione. Pertanto, quando si utilizza materiale non lineare , è possibile personalizzare il numero di punti di integrazione in ogni strato tra tre e 99 punti (vedi immagine Regolazione dei punti di integrazione per i layer ). Si noti, tuttavia, che un numero maggiore di punti di integrazione comporta un tempo di calcolo più lungo.
Inoltre, sono disponibili tre diversi metodi di integrazione per la selezione (vedi immagine Specifica del metodo di integrazione ):
- Quadratura Gauss-Lobatto
- Regola di Cavalieri-Simpson
- Regola del trapezio
Questi metodi di integrazione, noti anche come formule di quadratura, sono spiegati di seguito. In generale, si può presumere che la quadratura di Gauss-Lobatto con un numero fisso di punti di integrazione fornisca la massima precisione senza aumentare significativamente lo sforzo di calcolo. La regola trapezoidale o la regola di Simpson' porta a un risultato migliore solo in casi speciali.
Formule di quadratura
L'obiettivo di una formula di quadratura è calcolare un'approssimazione numerica a un integrale. Per questo, i punti di vincolo sono selezionati nel dominio di integrazione e le valutazioni della funzione ponderata vengono aggiunte in questi punti. Il calcolo di un momento è utilizzato come esempio per le seguenti spiegazioni.
d è l'altezza di qualsiasi strato in una superficie multistrato. Il programma quindi cerca di approssimare l'integrale come segue:
Per questo, n punti della griglia −d/2 ≤ z1 < z2 < . . . < zn ≤ d/2 sull'altezza dello strato, nonché pesi scalari ω1, . . . , ωn sono necessari specifici per la rispettiva formula di quadratura.
RFEM utilizza sempre un numero dispari n = 2k + 1 di punti della griglia e almeno la parte superiore, centrale e inferiore dello strato è selezionata come punti di integrazione. Risulta quindi in z1 = −d/2, zk = 0 e zn = d/2. Ciò è necessario affinché i valori delle tensioni in queste posizioni possano essere calcolati esattamente e quindi visualizzati nel programma. Se si imposta un numero pari di punti della griglia, per il calcolo viene utilizzato il numero dispari successivo più alto.
Il grado di precisione di una formula di quadratura è dato nel suo ordine p. Questo è il grado più alto di un polinomio, che è esattamente integrato.
Regola del trapezio
Un semplice esempio di formula di quadratura è la regola trapezoidale. In questo caso, i due bordi esterni del dominio di integrazione sono selezionati come posizioni dei vincoli esterni; cioè, z1 = −d/2 e z2 = d/2. La regola trapezoidale è del primo ordine, poiché le funzioni lineari sono integrate esattamente, ma le funzioni quadratiche non lo sono.
Nel caso della variante della regola trapezoidale cumulativa utilizzata in RFEM, se si selezionano n punti di integrazione, l'intervallo di integrazione viene diviso equidistante in n - 1 intervalli parziali e la regola del trapezoidale viene applicata a ciascuno di essi.
La figura seguente mostra un esempio della regola trapezoidale sommata per cinque punti di integrazione.
Regola di Cavalieri-Simpson
La regola di Simpson' è una formula di quadratura del terzo ordine che utilizza tre punti di integrazione: due sui bordi e uno al centro della regione di integrazione. I pesi sono selezionati in modo tale che la soluzione approssimativa corrisponda all'integrale su una parabola che attraversa questi tre punti. Con z1 = −d/2, z2 = 0 e z3 = d/2, otteniamo la forma:
RFEM utilizza anche una quadratura composta qui. Se c'è un numero dispari n di punti di vincolo, si ottengono (n − 1)/2 intervalli parziali ugualmente lunghi a cui si può applicare la regola di Simpson's. La figura lo mostra di nuovo come esempio per cinque punti di integrazione.
Quadratura Gauss-Lobatto
Nella quadratura di Gauss-Lobatto, i due punti di contorno z1 = −d/2 e zn = d/2 sono sempre specificati come posizioni di vincolo e tutti gli altri punti di integrazione sono selezionati in modo tale da ottenere l'ordine più alto possibile. Questo è p = 2n − 3. Per n = 3, la quadratura di Gauss-Lobatto è equivalente alla regola di Simpson's; per n = 5, ad esempio: