Materiálové modely
Materiálové modely jsou základem pro skládání vícevrstvých ploch pro získání účinné tuhosti plochy. Addon Vícevrstvé plochy umožňuje libovolně kombinovat materiálové modely v programu RFEM 6. Základy materiálových modelů jsou popsány v kapitolách Materials a Nelineární chování materiálu manuálu k programu RFEM.
Výběr možných kombinací materiálových modelů se vytvoří v modelu "Vícevrstvé modely" (viz sloupec vpravo), který si můžete stáhnout pro další studium kombinací.
Následující seznam ukazuje výběr možných kombinací:
- Izotropní vrstvy (např. beton - ocel)
- Ortotropní vrstvy (například křížem lepené dřevo)
- Izotropní - ortotropní (např. ocel - sklolaminát)
- Izotropní plastický - izotropní (např. beton - ocel)
- Izotropní nelineární elastický - ortotropní (např. beton - dřevo)
- Izotropní - ortotropní plastický (např. beton - dřevo)
- Izotropní poškození - ortotropní (např. beton - dřevo)
Tuhosti pro vícevrstvé plochy bez těles
Jednodušší možností výpočtu v addonu Vícevrstvé plochy je zadání různých plošných vrstev v typu tloušťky 'Vrstvy' bez těles. Materiálové modely zde ovšem můžete libovolně kombinovat.
Jakmile jsou vrstvy definovány, vytvoří addon Vícevrstvé plochy globální matici tuhosti plochy. V programu RFEM se pro tuto plochu spočítají vnitřní síly a deformace. V příslušném addonu pro posouzení, jako je Posouzení dřevěných konstrukcí nebo Analýza napětí-přetvoření, se pak tyto vnitřní síly rozdělí do existujících vrstev. Obvykle se vnitřní síly zobrazí jako tři integrační body pro každou pozici.
V tomto příspěvku vysvětlíme, jak vypočítat matici tuhosti pro izotropní a ortotropní materiály.
stiffness matrix calculation
Materiálové modely jsou založeny na následujících podmínkách (viz kapitola Materiály manuálu k programu RFEM):
- Všechny hodnoty tuhosti ≥ 0
- Celková matice tuhosti plochy musí být kladně definitní.
- Základní rovnice izotropní:
E | modul pružnosti |
G | Smykový modul |
ν | Poissonův součinitel |
- Základní rovnice pro ortotropii:
Lokální matice tuhosti pro každou vrstvu
- Izotropní
- Ortotropní
Smyková tuhost pro ortotropní materiál je následující:
Gxy | Smykový modul v rovině desky (např. 690 N/mm² pro C24) |
Gxz | Smykový modul ve směru x přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24) |
Gyz | Smykový modul ve směru y přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24) - také nazývaný "modul valivého smyku". |
Kromě toho má ortotropní materiál tu výhodu, že v ploše lze definovat směrovou tuhost. Ve standardním případě odpovídá lokální orientace plochy nebo vrstvy ve směru x tuhosti ve směru x. Vzhledem k tomu, že to lze libovolně definovat pomocí úhlu β v typu tloušťky 'Vrstvy', je třeba tuhosti odpovídajícím způsobem transformovat.
Součet prvků každé vrstvy:
Ohybové a torzní prvky [Nm]
Prvky matice pro ohyb a kroucení jsou uvedeny v následujících rovnicích.
Pokud existuje pouze jedna vrstva typu tloušťky 'Vrstvy', je výpočet založen na parametrech popsaných v manuálu k programu RFEM]].
Pro smyk (prvek D44/55) platí pro typ tloušťky 'Vrstvy' jiné rovnice. Jsou popsány v sekci Smyk v rovině desky.
Členy excentricity [Nm/m]
U nesymetrických desek se používají členy excentricity. Asymetrická plocha může být například při posouzení požární odolnosti z důvodu jednostranného zuhelnatění desky z křížem lepeného dřeva. Prvky matice jsou následující:
Rovina desky [N/m]
V rovině "Stěna tabule" jsou normálové tuhosti znázorněny v rovině skleněné tabule. Posouvající síla v zasklení se počítá pomocí prvku D88. Prvky matice jsou následující:
Smyk v rovině desky [N/m]
Pro stanovení smykové tuhosti pro ortotropní materiál je třeba tuhosti natočit podle jejich orientace k lokální ose plochy. To je třeba provést pro každou vrstvu typu tloušťky 'Vrstvy'. V jednoduché skladbě vrstev s orientací krycí vrstvy 0° a 90° orientace spodní vrstvy je vysoká smyková tuhost, kterou je třeba u vícevrstvého modelu zohlednit. Na následujícím obrázku (zdroj [1]) je to znázorněno na příkladu desky z křížem lepeného dřeva.
V laminátové teorii se smyková tuhost vícevrstvé konstrukce počítá tak, že se transformují všechny ohybové a smykové složky v příslušných směrech každé vrstvy. Další informace najdete v níže uvedené literatuře.
Pomocí transformace tuhosti znázorněné na obrázku se tuhosti sečtou. Tato sumace se označuje také jako "Grashoffův integrál".
Pro výpočet tuhosti ve směru x a y se pro každou konstrukci vícevrstvé plochy spočítá těžiště tuhosti.
Střed tuhosti ve směru y:
Pro stanovení orientace pro jednotlivé polohy při výpočtu smykové tuhosti se tuhosti stanoví podle následujících rovnic.
G znamená smykovou tuhost vrstev, aby se předešlo chybám u prvků matice tuhosti (D).
Smykovou tuhost každé vrstvy lze také zobrazit ve formě matice následovně:
Excentrická smyková tuhost by v následující rovnici byla vždy nulová, a proto by pro výše uvedenou symetrickou konstrukci z křížem lepeného dřeva (0°/90°/0°) irelevantní. Například v případě diagonálně lepeného křížem lepeného dřeva DLT ( Diagonal Laminated Timber ) není tento prvek excentricity nulový, a hraje proto důležitou roli.
Další informace najdete v [4] a v tomto videu na YouTube.
Výpočet smykové tuhosti
Smyková tuhost se stanoví v následujících krocích:
- Nejdříve se stanoví úhel maximální tuhosti. Úhel φ udává změnu lokálního souřadného systému x plochy vzhledem k orientovanému směru x''.
- Všechny tuhosti jsou natočené v orientovaném směru x'' podle výše uvedených rovnic.
- Matice tuhosti panelu každé polohy (3 x 3) se transformuje z lokálního souřadného systému x', y' do natočeného systému x'', y". Kromě výpočtu každé jednotlivé vrstvy se tento výpočet provádí také pro moduly pružnosti každé vrstvy.
- Smyková tuhost se počítá pomocí výše popsaných rovnic (Grashoffův integrál). Smyková tuhost se počítá pomocí jednotlivých částí.
- Vypočítané tuhosti pro orientovaný směr celé konstrukce se nakonec zpětně vypočítají pomocí úhlových vztahů a v matici tuhosti se zobrazí jako původní tuhosti D44, D55 a D45.
Zvýšení smykové tuhosti
Vzhledem k tomu, že při modelování laminátových ploch jako ploch jsou možné také geometrie s velmi úzkými pruhy plochy, je třeba při výpočtu takto problematických geometrií odpovídajícím způsobem zvýšit smykovou tuhost.
Následující rovnice to ukazuje pro směr X
Délka l ve výše uvedené rovnici znamená nejkratší délku boxu, kterou lze umístit přes příslušnou geometrii.
V jiném modelu, který je ke stažení vpravo, byla porovnána úzká plocha o šířce 10 cm se stejnou plochou o šířce 20 cm.
Smyková tuhost úzké plochy je D44 = 15 253 kN/m ve srovnání s D44 = 5 970,8 kN/m širší plochy. Výsledkem je, že při stejném zatížení je deformace tužší plochy menší a smykové zatížení větší.
Tuhosti pro vícevrstvé plochy s integrovanými tělesy
V budoucnu bude možné v addonu Vícevrstvé plochy také definovat tělesa společně s plochami. V případě tohoto typu se do programu RFEM exportuje také plocha. Protože generování tuhostí a rozklad vnitřních sil je časově náročnější, je to vysvětleno samostatně.