Online manuály RFEM 6 | Vícevrstvé plochy

Zpět k online manuálům

1266x

003626

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

19.10.2023

Vybrat manuál

Přehled

Addon Vícevrstvé plochy

Teorie

Vstupní údaje

Výsledky

Příklady výpočtů

Tuhosti pro vícevrstvé plochy

Materiálové modely

Materiálové modely jsou základem pro skládání vícevrstvých ploch pro získání účinné tuhosti plochy. Addon Vícevrstvé plochy umožňuje libovolně kombinovat materiálové modely v programu RFEM 6. Základy materiálových modelů jsou popsány v kapitolách Materials a Nelineární chování materiálu manuálu k programu RFEM.

Výběr možných kombinací materiálových modelů se vytvoří v modelu "Vícevrstvé modely" (viz sloupec vpravo), který si můžete stáhnout pro další studium kombinací.

Následující seznam ukazuje výběr možných kombinací:

Izotropní vrstvy (např. beton - ocel)
Ortotropní vrstvy (například křížem lepené dřevo)
Izotropní - ortotropní (např. ocel - sklolaminát)
Izotropní plastický - izotropní (např. beton - ocel)
Izotropní nelineární elastický - ortotropní (např. beton - dřevo)
Izotropní - ortotropní plastický (např. beton - dřevo)
Izotropní poškození - ortotropní (např. beton - dřevo)

Informace

Pro kombinace nelineárních materiálů se použije -analyses/nonlinear-material-behavior Nelineární chování materiálu by mělo být aktivováno.

Tuhosti pro vícevrstvé plochy bez těles

Jednodušší možností výpočtu v addonu Vícevrstvé plochy je zadání různých plošných vrstev v typu tloušťky 'Vrstvy' bez těles. Materiálové modely zde ovšem můžete libovolně kombinovat.

Jakmile jsou vrstvy definovány, vytvoří addon Vícevrstvé plochy globální matici tuhosti plochy. V programu RFEM se pro tuto plochu spočítají vnitřní síly a deformace. V příslušném addonu pro posouzení, jako je Posouzení dřevěných konstrukcí nebo Analýza napětí-přetvoření, se pak tyto vnitřní síly rozdělí do existujících vrstev. Obvykle se vnitřní síly zobrazí jako tři integrační body pro každou pozici.

Proces výpočtu pro vícevrstvé plochy

V tomto příspěvku vysvětlíme, jak vypočítat matici tuhosti pro izotropní a ortotropní materiály.

stiffness matrix calculation

Materiálové modely jsou založeny na následujících podmínkách (viz kapitola Materiály manuálu k programu RFEM):

Všechny hodnoty tuhosti ≥ 0
Celková matice tuhosti plochy musí být kladně definitní.
Základní rovnice izotropní:

E = 2 G (1 + ν)

E	modul pružnosti
G	Smykový modul
ν	Poissonův součinitel

Modul pružnosti, Smykový modul a Poissonův poměr

Základní rovnice pro ortotropii:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Vztah příčného přetvoření

Lokální matice tuhosti pro každou vrstvu

Izotropní

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Vrstva matice tuhosti izotropní

Ortotropní

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Vrstva matrice tuhosti ortotropní

Informace

U ortotropního materiálu se smykový modul v rovině tabule (G_xy ) stanoví pomocí hodnot materiálu, zatímco u izotropního materiálu se stanoví z modulu pružnosti a příčného protažení. Proto je pro ortotropní materiál důležitý Poissonův' součinitel podle principu „location-cause“.

Smyková tuhost pro ortotropní materiál je následující:

G_xy	Smykový modul v rovině desky (např. 690 N/mm² pro C24)
G_xz	Smykový modul ve směru x přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24)
G_yz	Smykový modul ve směru y přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24) - také nazývaný "modul valivého smyku".

Kromě toho má ortotropní materiál tu výhodu, že v ploše lze definovat směrovou tuhost. Ve standardním případě odpovídá lokální orientace plochy nebo vrstvy ve směru x tuhosti ve směru x. Vzhledem k tomu, že to lze libovolně definovat pomocí úhlu β v typu tloušťky 'Vrstvy', je třeba tuhosti odpovídajícím způsobem transformovat.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Transformační tuhosti

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Transformační matice

Součet prvků každé vrstvy:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Jednotlivé termíny za směnu

Ohybové a torzní prvky [Nm]

Prvky matice pro ohyb a kroucení jsou uvedeny v následujících rovnicích.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Ohybová tuhost v x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Člen excentricity (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Ohybová tuhost v y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Člen excentricity (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Člen excentricity (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

Torzní tuhost

Pokud existuje pouze jedna vrstva typu tloušťky 'Vrstvy', je výpočet založen na parametrech popsaných v manuálu k programu RFEM]].

Pro smyk (prvek D44/55) platí pro typ tloušťky 'Vrstvy' jiné rovnice. Jsou popsány v sekci Smyk v rovině desky.

Členy excentricity [Nm/m]

U nesymetrických desek se používají členy excentricity. Asymetrická plocha může být například při posouzení požární odolnosti z důvodu jednostranného zuhelnatění desky z křížem lepeného dřeva. Prvky matice jsou následující:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Prvek excentricity D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Prvek excentricity D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Prvek excentricity D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Prvek excentricity D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Prvek excentricity D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Prvek excentricity D38

Rovina desky [N/m]

V rovině "Stěna tabule" jsou normálové tuhosti znázorněny v rovině skleněné tabule. Posouvající síla v zasklení se počítá pomocí prvku D88. Prvky matice jsou následující:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Osová tuhost x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Normálová tuhost Excentrická D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Normálová tuhost Excentrická D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Osová tuhost y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Normálová tuhost Excentrická D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Smyk desek D88

Smyk v rovině desky [N/m]

Pro stanovení smykové tuhosti pro ortotropní materiál je třeba tuhosti natočit podle jejich orientace k lokální ose plochy. To je třeba provést pro každou vrstvu typu tloušťky 'Vrstvy'. V jednoduché skladbě vrstev s orientací krycí vrstvy 0° a 90° orientace spodní vrstvy je vysoká smyková tuhost, kterou je třeba u vícevrstvého modelu zohlednit. Na následujícím obrázku (zdroj [1]) je to znázorněno na příkladu desky z křížem lepeného dřeva.

Smyková deformace (Zdroj: Informační servis Dřevo)

V laminátové teorii se smyková tuhost vícevrstvé konstrukce počítá tak, že se transformují všechny ohybové a smykové složky v příslušných směrech každé vrstvy. Další informace najdete v níže uvedené literatuře.

Steifigkeitsorientierung

Pomocí transformace tuhosti znázorněné na obrázku se tuhosti sečtou. Tato sumace se označuje také jako "Grashoffův integrál".

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Smyková tuhost ve směru x

Pro výpočet tuhosti ve směru x a y se pro každou konstrukci vícevrstvé plochy spočítá těžiště tuhosti.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Střed tuhosti v x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Smyková tuhost ve směru y

Střed tuhosti ve směru y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Střed tuhosti ve směru y

Pro stanovení orientace pro jednotlivé polohy při výpočtu smykové tuhosti se tuhosti stanoví podle následujících rovnic.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Orientovaná smyková tuhost G11

G znamená smykovou tuhost vrstev, aby se předešlo chybám u prvků matice tuhosti (D).

Smykovou tuhost každé vrstvy lze také zobrazit ve formě matice následovně:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Matice smykové tuhosti

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Orientovaná smyková tuhost G22

Excentrická smyková tuhost by v následující rovnici byla vždy nulová, a proto by pro výše uvedenou symetrickou konstrukci z křížem lepeného dřeva (0°/90°/0°) irelevantní. Například v případě diagonálně lepeného křížem lepeného dřeva DLT ( Diagonal Laminated Timber ) není tento prvek excentricity nulový, a hraje proto důležitou roli.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Excentricky orientovaná smyková tuhost G12

Další informace najdete v [4] a v tomto videu na YouTube.

Výpočet smykové tuhosti

Smyková tuhost se stanoví v následujících krocích:

Nejdříve se stanoví úhel maximální tuhosti. Úhel φ udává změnu lokálního souřadného systému x plochy vzhledem k orientovanému směru x''.
Všechny tuhosti jsou natočené v orientovaném směru x'' podle výše uvedených rovnic.
Matice tuhosti panelu každé polohy (3 x 3) se transformuje z lokálního souřadného systému x', y' do natočeného systému x'', y". Kromě výpočtu každé jednotlivé vrstvy se tento výpočet provádí také pro moduly pružnosti každé vrstvy.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Orientovaný modul pružnosti ve směru x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Orientovaný modul pružnosti ve směru y
Smyková tuhost se počítá pomocí výše popsaných rovnic (Grashoffův integrál). Smyková tuhost se počítá pomocí jednotlivých částí.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Moment setrvačnosti plochy ve směru x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Ekvivalentní tuhost na vrstvu (v x)

Zde jsou uvedeny rovnice pouze pro směr x (D44). Totéž platí pro směr y. Pro každou vrstvu se vypočítá ekvivalentní tuhost (Stinterova složka).
Vypočítané tuhosti pro orientovaný směr celé konstrukce se nakonec zpětně vypočítají pomocí úhlových vztahů a v matici tuhosti se zobrazí jako původní tuhosti D44, D55 a D45.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Přepočítaná smyková tuhost D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Přepočítaná smyková tuhost D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Přepočítaná smyková tuhost D45

Zvýšení smykové tuhosti

Vzhledem k tomu, že při modelování laminátových ploch jako ploch jsou možné také geometrie s velmi úzkými pruhy plochy, je třeba při výpočtu takto problematických geometrií odpovídajícím způsobem zvýšit smykovou tuhost.

Následující rovnice to ukazuje pro směr X

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Maximální smyková tuhost

Délka l ve výše uvedené rovnici znamená nejkratší délku boxu, kterou lze umístit přes příslušnou geometrii.

V jiném modelu, který je ke stažení vpravo, byla porovnána úzká plocha o šířce 10 cm se stejnou plochou o šířce 20 cm.

Smyková tuhost úzké plochy je D44 = 15 253 kN/m ve srovnání s D44 = 5 970,8 kN/m širší plochy. Výsledkem je, že při stejném zatížení je deformace tužší plochy menší a smykové zatížení větší.

Tuhosti pro vícevrstvé plochy s integrovanými tělesy

V budoucnu bude možné v addonu Vícevrstvé plochy také definovat tělesa společně s plochami. V případě tohoto typu se do programu RFEM exportuje také plocha. Protože generování tuhostí a rozklad vnitřních sil je časově náročnější, je to vysvětleno samostatně.

Reference

Stavba z křížem lepeného dřeva - Nosné dřevěné prvky pro stěny, podlahy a střechy - Řada 4 Část 6 Část 1. Informační servis Holz
Rovinné plošné konstrukce: Základy modelování a výpočtu stěn a desek
Jones, RM (nd). Mechanika kompozitních materiálů (2. vydání). Taylor & Francis Inc., Philadelphia.
Arnold, M.: Mechanické vlastnosti diagonálně lepeného dřeva (DLT) s ohledem na bodově podepřené dřevěné desky .Disertační prácev přípravě. Katedra dřevěných a pozemních staveb, Technická univerzita v Mnichově, Německoočekávaný2023.

Nadřazená kapitola

Teorie

Model

445x

10x

Vícevrstvé modely

Smyková tuhost