Coefficiente di sensibilità θ
Der Empfindlichkeitsbeiwert θ ist wie folgt definiert [1]:
| θ | Coefficiente di sensibilità alla deriva dell'interpiano |
| Ptot | Carico gravitazionale totale in corrispondenza e al di sopra del piano considerato nella situazione di progetto sismico |
| dr | la deriva interpiano di progetto determinata come differenza degli spostamenti laterali medids nella parte superiore e inferiore del piano interessato; in questo caso, gli spostamenti sono determinati mediante lo spettro di risposta di progetto lineare con q = 1.0 |
| Vtot | Taglio sismico totale del piano determinato utilizzando lo spettro di risposta di progetto lineare |
| h | Altezza del piano |
Der Einfluss der Theorie II. Ordnung darf näherungsweise mit einem Faktor 1 / (1 - θ) berücksichtigt werden, wenn 0,1 < θ ≤ 0,2.
Für θ > 0,2 ist die geometrische Steifigkeitsmatrix bei der Berechnung der Eigenwerte und bei der Berechnung des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens zu berücksichtigen.
Der Empfindlichkeitsbeiwert kann auch In RFEM 6 und RSTAB 9 berechnet werden. Genauere Informationen hierzu finden Sie im Fachbeitrag: Kb | Determinazione del coefficiente di sensibilità per indagare la necessità dell'analisi del secondo ordine nelle analisi dinamiche .
Geometrische Steifigkeitsmatrix
Für dynamische Analysen sind iterative Berechnungen zur nichtlinearen Bestimmung der Theorie II. Ordnung nicht geeignet. Das Problem kann linearisiert werden und es ist hinreichend genau, die geometrische Steifigkeitsmatrix auf Basis der axialen Lasten zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung heranzuziehen. Per questo, si presume che i carichi verticali non cambino a causa degli effetti orizzontali e che gli spostamenti generalizzati siano piccoli rispetto alle dimensioni dell'edificio [2]. Die zu berücksichtigenden Lasten sollten denen der Bemessungssituation für Erdbeben nach EN 1990 Abschnitt 6.4.3.4 [3] entsprechen:
Axiale Zugkräfte erhöhen die Steifigkeit, wie beispielsweise bei einem vorgespannten Seil. Druckkräfte setzen die Steifigkeit herab und können zu einer Singularität in der Steifigkeitsmatrix führen. Die geometrische Steifigkeit Kg ist nicht abhängig von den mechanischen Eigenschaften des Systems, sondern nur von Länge L und Normalkraft N im Stab. Um das grundlegende Problem darzustellen, wird vereinfachend auf einen Kragarm zurückgegriffen, dieser ist in Bild 1 dargestellt. I singoli punti di massa dello sbalzo rappresentano i singoli piani di un edificio. An diesem Gebäude soll eine dynamische Analyse unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung durchgeführt werden. Le forze assiali Ni sui singoli piani i = 1...n risultano dalle forze verticali nella situazione di progetto sismico. L'altezza del piano è definita da hi.
La matrice di rigidezza geometrica Kg può essere derivata dalle condizioni di equilibrio statico:
A scopo di semplificazione, qui vengono visualizzati solo i gradi di libertà dello spostamento orizzontale. La derivazione mostrata si basa sull'approccio del momento ribaltante dovuto all'applicazione dello spostamento lineare. Questa è una semplificazione per l'elemento di flessione e un'ipotesi accurata per l'elemento biella. Eine genauere Ermittlung der geometrischen Steifigkeitsmatrix für Biegebalken kann unter Verwendung eines kubischen Verschiebungsansatzes oder mit Hilfe der analytischen Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie erfolgen. Genauere Informationen und Herleitungen werden von Werkle [4] bereitgestellt. Die geometrische Steifigkeitsmatrix Kg wird der Systemsteifigkeitsmatrix K hinzugefügt und ergibt die modifizierte Steifigkeitsmatrix Kmod:
Kmod = K + Kg
Im Falle von Drucknormalkräften führt dies folglich zu einer Verringerung der Steifigkeit.
Beispiel: Eigenfrequenzen und multi-modales Antwortspektrenverfahren unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung
Nachfolgend wird gezeigt, wie die geometrische Steifigkeitsmatrix in RFEM 6 und RSTAB 9 berücksichtigt werden kann. Als Beispiel wird der in Bild 1 dargestellte Kragarm verwendet. Der Kragarm besteht aus fünf konzentrierten Massepunkten. Qui, 4.000 kg agiscono in ogni caso nella direzione X globale.
La sezione trasversale è IPE 300 in materiale S 235 con Iy = 8,356 ∙ 10-5 m4 ed E = 2.1 ∙ 1011 N/m2. Um die geometrische Steifigkeitsmatrix bei einer dynamischen Analyse berücksichtigen zu können, wird zunächst im Hauptprogramm RFEM eine Bemessungssituation vom Typ Erdbeben-/Massenkombination angelegt. Hierdurch wird durch die im Programm integrierte Kombinatorik automatisch die im Weiteren verwendete Lastkombination (LK1) erstellt.
Mit Hilfe des Add-Ons Modalanalyse werden Eigenformen und effektive Modalmassen einer Struktur ermittelt. Dabei können Anfangszustände zur Berücksichtigung von auf Lastfällen und Lastkombinationen basierende Steifigkeitsmodfikationen ausgewählt werden.
Sono definiti due casi di carico dell'analisi modale. Im LF4 wird die LK1 zur Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix und damit zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung importiert. Per confronto, è definito LC3, che non include alcuna modifica di rigidezza.
In der nachstehenden Tabelle sind die ermittelten Eigenfrequenzen f [Hz], Eigenperioden T [sec] und die aus dem Antwortspektrum abgelesenen Beschleunigungswerte Sa [m/s2], mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix Kg resultierend aus den Normalkräften aus LK1, aufgelistet.
L'analisi dello spettro di risposta multimodale utilizza le frequenze naturali per determinare i valori di accelerazione dallo spettro di risposta definito. Sulla base di questi valori di accelerazione, vengono determinate le forze interne e i momenti dell'analisi con spettro di risposta. La visualizzazione grafica di uno spettro di risposta definito dall'utente è mostrata nella Figura 06 e i valori di accelerazione Sa [m/s2] determinati dallo spettro di risposta per ciascun autovalore sono elencati nella tabella sopra.
Al fine di garantire la corretta assegnazione delle frequenze modificate, l'analisi modale desiderata deve essere utilizzata come base per la creazione di un caso di carico con spettro di risposta.
Nel caso di forze assiali di compressione, la considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta alla riduzione della frequenza naturale e può causare valori di accelerazione Sa, come nel nostro esempio. Die Modifikation der Eigenfrequenzen alleine reicht nicht aus, um die Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, vielmehr kann dies sogar zu kleineren Ergebnissen führen und damit auf der unsicheren Seite liegen. È molto importante utilizzare anche la matrice di rigidezza modificata per la determinazione delle forze interne e degli spostamenti generalizzati. Im Antwortspektrenverfahren wird die modifizierte Steifigkeit aus der Modalanalyse automatisch zur Ermittlung der Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens verwendet. Gli spostamenti generalizzati, le forze interne e i momenti e le reazioni vincolari determinate nell'analisi con spettro di risposta, con e senza la matrice di rigidezza geometrica, sono mostrate nell'immagine 08.
La considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta a spostamenti generalizzati e forze interne maggiori. Die resultierenden Auflagerlasten hingegen sind etwas kleiner unter Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix.