Parametri di indurimento nei modelli di materiali non lineari

Diagramma tensione-deformazione per l'acciaio (fonte: [1])

Base teorica

L'incrudimento per deformazione è caratterizzato da variabili interne. Questo è descritto più dettagliatamente in [2], per esempio. Utilizzando le variabili interne, è possibile considerare, ad esempio, il danno o la plasticità dei materiali. Le variabili interne descrivono gli effetti dissipativi del materiale.

Indurimento in RFEM (von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coloumb)

Secondo [1], Sez. 4.4.2, le funzioni di stato delle variabili interne, che di solito non sono osservabili, sono utilizzate per descrivere i difetti del materiale (spostamenti, fessure microscopiche, ecc.); possono essere scalari (ad esempio, danno isotropo) o tensoriale (ad esempio, indurimento cinematico). Per determinare le variabili interne, ci sono equazioni di evoluzione (di solito equazioni differenziali comuni) a seconda delle variabili costitutive (indipendenti e dipendenti) e delle variabili interne.

Equazione 1:

Questi devono essere integrati rispetto alle condizioni iniziali. (Fonte: [1], Sez. 4.4.2)

Pertanto, le variabili interne sono anche denominate memoria materiale con la condizione iniziale al tempo t0.

L'indurimento isotropo è "allargamento" della superficie di snervamento senza modificare la posizione della superficie nello spazio delle tensioni. Un esempio di questo comportamento è una piastra di acciaio, che si allarga - almeno intellettualmente - a causa della tensione portante in tutte le direzioni. Dopo la deformazione plastica, il materiale isotropo è ancora isotropo, almeno in teoria. Generalmente, l'indurimento isotropo è descritto dalla variabile interna α.

L'indurimento cinematico si riferisce a una traslazione (spostamento) della superficie di snervamento nello spazio delle tensioni. La superficie di snervamento non cambia la sua forma. L'indurimento cinematico compensa le tensioni interne locali del materiale, risultanti dallo spostamento locale del materiale. Questo è anche indicato come effetto Bauschinger in letteratura. In questo caso, la tensione di snervamento è ridotta, come nel caso di un filo piegato in più punti. Il filo piegato deve spendere sempre meno forza quanto più spesso viene piegato. Nel caso dell'indurimento cinematico, il materiale viene modificato da isotropo ad anisotropo. Generalmente, l'indurimento cinematico è descritto dalla variabile interna β.

• Energia libera:
  $$\mathrm{\psi }: = \mathrm{\psi }({\mathrm{\epsilon }}^{\mathrm{e}},\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta })$$

  Formula 15
• Dissipazione di energia:
  $${\mathrm{D}}^{\mathrm{in}} = \mathrm{\sigma } · {\dot{\tilde{\mathrm{\epsilon }}}}^{\mathrm{p}} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }} · \dot{\mathrm{\alpha }} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }} · \dot{\mathrm{\beta }}$$

  Formula 16
• Forze termodinamiche: Isotropo:
  $$\mathrm{\alpha } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }}$$

  Formula 17
• Forze termodinamiche: Cinematiche:
  $$\mathrm{\tau } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }}$$

  Formula 18

Equazione 2:

Equazione 3:

Equazione 4:

Nell'equazione 4, σe = F(σij) è la tensione "efficace" del materiale nello stato di tensione spaziale. D'altra parte, K è la tensione limite nella prova compressione-trazione uniassiale.

Ciò si basa sul presupposto che il comportamento del materiale plastico nello stato di tensione multiassiale corrisponda allo stato uniassiale (idealizzazione).

Nel caso dell'indurimento cinematico, il tensore αij descrive il centro della superficie di snervamento. Il centro è spostato dal rispettivo step di carico dα ij (vedi Figura 03).

Il programma considera lo spostamento della superficie di snervamento dovuto allo spostamento del materiale che si verifica in modo analogo. Attualmente, questo tipo di indurimento non è preso in considerazione in RFEM.

Un possibile approccio è lo spostamento secondo la regola di Prager con c come costante del materiale:

La deformazione plastica efficace è scomposta in indurimento cinematico e isotropo.

Equazione 5:

Equazione 6:

Equazione 7:

m è un coefficiente per la verifica del rapporto tra indurimento isotropo e cinematico.

a) Isotropo, b) Cinematico, c) Tempra mista (Fonte: [3])

Definizione di incrudimento in RFEM

Come accennato nel mio precedente articolo sul modello del materiale danneggiato, una volta selezionata l'opzione "Diagramma", nel programma è necessaria una tempra da deformazione definita dall'utente.

• KB 001461 │ Modello di materiale non lineare danneggiato

Per questo, il 3 la fase è definita nell'immagine 04, che considera l'indurimento per deformazione del materiale secondo von Mises durante la plastificazione.

Equazione 8:

Equazione 9:

Diagramma tensione-deformazione (manuale)

L'esempio mostrato nell'immagine 04 utilizza un materiale con un coefficiente di indurimento di m = Ep = 0,08 kN/cm² e un modulo elastico del calcestruzzo E = 3.100 kN/cm². La tensione nel passaggio 2 e nel passaggio 3 del modello viene modificata come segue.

Equazione 10:

Equazione 11:

Equazione 12:

Equazione 13:

Questo esempio mostra come è possibile considerare l'incrudimento del comportamento del materiale plastico isotropo nel diagramma del modello del materiale Damage. Per il secondo step di deformazione, è definito un step di deformazione molto grande di ε2 = 1, che è vicino a ∞.

Conclusione

Quando si definiscono materiali speciali è sempre necessaria una definizione definita dall'utente dei diagrammi tensioni-deformazioni. Nel caso di tali materiali, è anche utile definire un incrudimento per ottenere una migliore convergenza e una considerazione più realistica del comportamento del materiale.

Definendo punti intermedi, è anche possibile considerare l'indurimento isotropo inserendo il "Diagramma" anche per materiali non lineari.