Parâmetros de endurecimento em modelos de materiais não lineares

Diagrama de tensão-deformação para aço (fonte: [1])

Fundamentação teórica

O endurecimento por deformação é caracterizado por variáveis internas. Isto é descrito com mais detalhe em [2], por exemplo. Utilizando as variáveis internas, é possível considerar, por exemplo, danos ou plasticidade dos materiais. As variáveis internas descrevem os efeitos dissipativos do material.

Endurecimento no RFEM (von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coloumb)

De acordo com [1], Secção 4.4.2, as funções de estado das variáveis internas, que geralmente não são utilizadas, são utilizadas para descrever os defeitos do material (deslocamentos, fendas microscópicas etc.); eles podem ser escalares (por exemplo, danos isotrópicos) ou tensioniais (por exemplo, endurecimento cinemático). Para determinar as variáveis internas, existem equações de evolução (geralmente equações diferenciais comuns) dependendo das variáveis tributadas (independentes e dependentes) e das variáveis internas.

Equação 1:

Estas devem ser integradas em relação às condições iniciais. (Fonte: [1] , Secção 4.4.2)

Por isso, as variáveis internas também são referidas como memória de material com a condição inicial no tempo t0.

O endurecimento isotrópico é um "alargamento" da superfície de cedência sem alterar a posição da superfície no espaço de tensão. Um exemplo deste comportamento é a chapa de aço , que se alarga - pelo menos visualmente - devido à tensão de carregamento em todas as direções. Após a deformação plástica, o material isotrópico continua a ser isotrópico, pelo menos em teoria. Geralmente, o endurecimento isotrópico é descrito pela variável interna α.

O endurecimento cinemático refere-se a uma translação (deslocamento) da superfície de cedência no espaço das tensões. A superfície de cedência não altera a sua forma. O endurecimento cinemático compensa as tensões internas locais do material, resultantes do deslocamento local do material. Isto também é conhecido na literatura especializada como efeito Bauschinger. Neste caso, a tensão de cedência é reduzida, tal como no caso de um arame dobrado em vários pontos. O arame dobrado tem de utilizar cada vez menos força quanto mais vezes é dobrado. No caso de endurecimento cinemático, o material passa de isotrópico para anisotrópico. Geralmente, o endurecimento cinemático é descrito pela variável interna β.

• Energia livre:
  $$\mathrm{\psi }: = \mathrm{\psi }({\mathrm{\epsilon }}^{\mathrm{e}},\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta })$$

  Fórmula 15
• Dissipação de energia:
  $${\mathrm{D}}^{\mathrm{in}} = \mathrm{\sigma } · {\dot{\tilde{\mathrm{\epsilon }}}}^{\mathrm{p}} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }} · \dot{\mathrm{\alpha }} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }} · \dot{\mathrm{\beta }}$$

  Fórmula 16
• Forças termodinâmicas: Isotrópico:
  $$\mathrm{\alpha } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }}$$

  Fórmula 17
• Forças termodinâmicas: Cinemáticas:
  $$\mathrm{\tau } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }}$$

  Fórmula 18

Equação 2:

Equação 3:

Equação 4:

Na Equação 4, σe = F(σij) é a tensão "efetiva" do material no estado espacial de tensão. Por outro lado, K é a tensão limite no teste de compressão-tração uniaxial.

Isto é baseado na presunção de que o comportamento plástico do material no estado de tensão multiaxial corresponde ao estado uniaxial (idealização).

No caso do endurecimento cinemático, o tensor αij descreve o centro da superfície de cedência. O centro é deslocado pelo respetivo incremento de carga dα ij (ver Figura 03).

O programa considera o deslocamento da superfície de cedência devido ao deslocamento do material ocorrer de forma análoga. Atualmente, este tipo de endurecimento não é tido em consideração no RFEM.

Uma abordagem possível é o deslocamento de acordo com a regra de Prager com c como constante do material:

A deformação plástica efetiva é decomposta em endurecimento cinemático e isotrópico.

Equação 5:

Equação 6:

Equação 7:

m é um fator para verificar a relação entre o endurecimento isotrópico e o cinemático.

a) Isotrópico, b) Cinemático, c) Endurecimento Misto (Fonte: [3])

Definição de endurecimento por deformação no RFEM

Conforme mencionado no meu artigo anterior sobre o modelo de material Damage, é necessário um endurecimento por deformação definido pelo utilizador no programa assim que a opção "Diagrama" for selecionada.

• KB 001461 │ Dano no modelo de material não linear

Para isso, o terceiro O degrau está definido na Figura 04 e considera o endurecimento do material de acordo com von Mises durante a plastificação.

Equação 8:

Equação 9:

Diagrama de tensão-deformação (manual)

O exemplo apresentado na Figura 04 utiliza um material com um fator de endurecimento de m = Ep = 0,08 kN/cm² e um módulo de elasticidade do betão E = 3100 kN/cm². A tensão nas etapas 2 e 3 do modelo é alterada da seguinte forma.

Equação 10:

Equação 11:

Equação 12:

Equação 13:

Este exemplo mostra como é possível considerar o endurecimento de extensão do comportamento de material plástico isotrópico no diagrama do modelo de material de Dano. Para o segundo passo de deformação, é definido um passo de deformação muito grande de ε2 = 1, o que é próximo de ∞.

Conclusão

A definição de diagramas de tensão-deformação definidos pelo utilizador é sempre necessária ao definir materiais especiais. No caso de tais materiais, também é útil definir um endurecimento para obter uma melhor convergência e uma consideração mais realista do comportamento do material.

Ao definir pontos intermédios, também é possível considerar o endurecimento isotrópico através da introdução do "Diagrama", mesmo para materiais não lineares.