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M.Ing. Milan Gérard

5. Februar 2021

Berechnung von Betonstützen mit kombinierter Biegebeanspruchung in RF-BETON Stützen

Dieser Fachbeitrag befasst sich mit Elementen, deren Querschnitt gleichzeitig einem Biegemoment sowie Schubkraft als auch Normalkraft aus Druck und Zug unterliegt. In unserem Beispiel werden wir jedoch keine Beanspruchungen infolge Querkraft berücksichtigen.

Was ist eine kombinierte Biegebeanspruchung?

Die kombinierte Biegebeanspruchung wird durch das System (M_G0, N) bestimmt, das an einem als Druckmittelpunkt bezeichneten Punkt C angesetzt wird. Der Abstand G₀C wird als Exzentrizität der äußeren Kraft gegenüber dem Schwerpunkt G₀ des aus Beton bestehenden Querschnitts bezeichnet.

Bei der kombinierten Biegung hängt der Wert des Biegemoments also allein von diesem Punkt ab, an dem die Reduzierung der Kräfte, hier G₀, vorgenommen wird.

e_{0} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{N_{Ed}}

e₀	Excentricité par rapport au centre de gravité de la section de béton seule
M_EdG0	Valeur de calcul du moment fléchissant par rapport au centre de gravité de la section de béton seule
N_Ed	Valeur de calcul de l’effort normal agissant

Exzentrizität bezogen auf den Schwerpunkt des reinen Betonquerschnitts

Bei der kombinierten Biegebeanspruchung ist zunächst die Lage des Druckmittelpunktes durch Berechnung von e₀ zu ermitteln.

Berücksichtigung geometrischer Imperfektionen und Auswirkungen aus Theorie II. Ordnung im GZT

Bei der Analyse von Elementen und Tragwerken sind die ungünstigen Effekte möglicher geometrischer Imperfektionen des Tragwerks sowie Abweichungen in der Stellung der Lasten zu berücksichtigen. Abweichungen in den Abmessungen der Profile werden in der Regel in den Teilsicherheitsbeiwerten der Materialien berücksichtigt.

Schlankheitsgrad und Länge der einzelnstehenden Elemente

λ = \frac{l_{0}}{i}

l_{0} = β \cdot l

λ	Coefficient d’élancement
l₀	longueur efficace déterminée
i	Rayon de giration de la section de béton non fissurée
β	Coefficient de longueur de flambement
l	Longueur libre

Schlankheitsgrad

Wie in Bild 01 gezeigt, ist es in RF-BETON Stützen möglich, den Beiwert der Knicklänge β durch Modellierung der Lagerbedingungen von einzelnstehenden Elementen mit konstantem Querschnitt und der freien Länge l zu wählen.

1 Vordefinierte Werte des Knicklängenbeiwerts um y-Achse

Schlankheitsgrad bei Einzelelementen

Es wird angenommen, dass die Einflüsse aus Theorie II. Ordnung vernachlässigt werden können, wenn geprüft wird, dass der Schlankheitskoeffizient kleiner ist als das Schlankheitskriterium.

λ < λ_{\lim}

λ_{\lim} = \frac{20 \cdot A \cdot B \cdot C}{\sqrt{n}} gemäß französischem NA

A = \frac{1}{1 + 0, 2 \cdot φ_{ef}} = 0, 7 wenn φ_{ef} unbekannt ist

B = \sqrt{1 + 2 \cdot ω} = 1, 1 wenn ω unbekannt ist

C = 1, 7 - r_{m} = 0, 7 wenn r_{m} unbekannt ist

n = \frac{N_{Ed}}{A_{C} \cdot f_{cd}}

r_{m} = \{\begin{cases} 1, bei allgemein nicht ausgesteiften Elementen \\ 1, bei ausgesteiften Elementen mit Momenten erster Ordnung hauptsächlich infolge Imperfektionen oder transversalen Lasten \\ \frac{M_{01}}{M_{02}} \leq 1, bei anderen Fällen \end{cases}

λ	Critère d’élancement
λ_lim	Élancement limite
φ_ef	Coefficient de fluage effectif
ω	Ratio mécanique d’armatures
r_m	Rapport des moments
M₀₁, M₀₂	Valeurs algébriques des moments du premier ordre aux deux extrémités de l’éléments

Schlankheitskriterium

Berücksichtigung des Kriechens

Die Auswirkung des Kriechens muss in der Analyse zweiter Ordnung unter Berücksichtigung der allgemeinen Kriechbedingungen und der Einwirkungsdauer der verschiedenen Lasten vereinfacht über eine effektive Kriechzahl berücksichtigt werden.

φ_{ef} = φ (\infty, t_{0}) \cdot \frac{M_{0 E_{qp}}}{M_{0 Ed}}

φ_ef	Coefficient de fluage effectif
φ(∞,t₀)	Valeur finale du coefficient de fluage
M_0Eqp	Moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente
M_0Ed	Moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques)

Effektive Kriechzahl

2 Kriechparameter in Eingabedaten

Wände und Einzelstützen aus Verbänden

Bei einzelnstehenden Elementen kann der Einfluss von Imperfektionen als Exzentrizität e_i berücksichtigt werden.

e_{i} = θ_{i} \cdot \frac{l_{0}}{2}

θ_{i} = θ_{0} \cdot α_{h} \cdot α_{m}

θ_{0} = \frac{1}{200}

\frac{2}{3} \leq α_{h} = \frac{2}{\sqrt{l}} \leq 1

α_{m} = \sqrt{0, 5 \cdot (1 + \frac{1}{m})}

e_i	Excentricité due aux imperfections
θ_i	Inclinaison globale de la structure
θ₀	Valeur de base recommandée par l’AN
α_h	Coefficient de réduction relatif à la longueur
α_m	Coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, où m est le nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total

Exzentrizität infolge Imperfektionen

Gerade Profile mit symmetrischer Bewehrung

Um Abweichungen in den Abmessungen der Profile zu berücksichtigen, sollte im GZT das Biegemoment berechnet werden:

M_{{EdG}_{0}} = M_{Ed} + N_{Ed} \cdot ∆ e_{0}

∆ e_{0} = Ma x \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{h}{30} : erforderliche Mindestexzentrizität \end{cases}

M_EdG0	Moment de flexion
M_Ed	Valeur de calcul du moment fléchissant
Δe₀	Excentricité minimale requise
h	Hauteur de la section droite dans le plan de flexion

Biegemoment

Berechnung von Stahl mittels Interaktionsdiagrammen

Diagramme mit Moment-Normalkraft-Interaktion sind Rechenhilfsmittel, die eine schnelle Bemessung oder Überprüfung von geradlinigen Profilen ermöglichen, bei denen sowohl die Form als auch die Verteilung des Bewehrungsstahls im Voraus festgelegt sind. Die Interaktionsdiagramme werden nur für den Grenzzustand der Tragfähigkeit erstellt. Ein Interaktionsdiagramm wird mit Hilfe zweier Kurven gezeichnet, die eine kontinuierliche und geschlossene Linie bilden, die Interaktionskurve genannt wird. Der Verlauf dieser Kurven basiert auf den Gleichungen der Resultierenden sowie des resultierenden Moments und hängt insbesondere von folgenden Parametern ab:

Beton- und Stahlverformungsdiagramme
Beton- und Stahlspannungsdiagramme

So werden für einen vorliegenden Querschnitt (Beton, Bewehrung, Lage des Stahls) aus den Bemessungsschnittgrößen N_Ed und M_EdG0 Größen ohne Abmessung definiert.

ν_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

A_{c} = b \cdot h

ν_Ed	Effort normal réduit
A_c	Aire totale de la section de béton seul
b	Largeur de la section droite dans le plan de flexion
f_cd	Valeur de calcul de la résistance en compression du béton

Reduzierte Normalkraft

μ_{Ed} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{A_{c} \cdot h \cdot f_{cd}}

μ_Ed	Moment fléchissant réduit en G₀

Biegemoment in G0 reduziert

ρ = \frac{A_{s} \cdot f_{yd}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

ρ	Pourcentage mécanique d’armatures
A_s	Section d’armatures
f_yd	Limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé

Mechanischer Prozentsatz der Bewehrung

Die letzte Gleichung ermöglicht es, den erforderlichen Bewehrungsquerschnitt durch Interpolation der Kurvenfelder ρ des Interaktionsdiagramms mit Hilfe des reduzierten orthonormalen Koordinatensystems (μ, υ) zu bestimmen.

Theorie im Vergleich mit RF-BETON Stützen

An einem einfachen Beispiel werden die mit dem Zusatzmodul RF-BETON Stützen erhaltenen Ergebnisse mit den oben beschriebenen theoretischen Formeln verglichen.

Beanspruchungen, die auf den Schwerpunkt des reinen Betons, eines Elements einer Aussteifungsstruktur reduziert sind:
- Ständig:
  - N_g = 85 kN
  - M_g = 90 kN.m
- Veränderlich:
  - N_q = 75 kN
  - M_q = 80 kNm
Materialien:
- Beton C 25/30
- Stahl: S 500
Momentenverhältnis am Stützenfuß:
* |M01:| / |M02 verwendet| = 1/3

3 RFEM-Modell mit modellierten ständigen Lasten

Materialkennwerte

f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck}}{γ_{c}}

f_cd	Valeur de calcul de la résistance en compression du béton
α_cc	Facteur tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression
f_ck	Résistance caracteristique en compression du béton
γ_c	Coefficient partiel relatif au béton

Bemessungswert der Druckfestigkeit des Betons

f_cd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa

f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}}

f_yk	Limite caractéristique d’élasticité de l’acier de béton armé
γ_s	Coefficient partiel relatif à l’acier de béton armé

Bemessungswert der Streckgrenze des Stahls im bewehrten Beton

f_yd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa

Grenzzustand der Tragfähigkeit

Beanspruchungen der Berechnungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit:
M_Ed= 1,35 ⋅ M_g+ 1,5 ⋅ M_q
M_Ed= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
N_Ed= 1,35 ⋅ N_g + 1,5 ⋅ N_q
N_Ed= 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

4 Anzeige der maßgebenden Lasten

Berücksichtigung geometrischer Imperfektionen ohne Einflüsse aus Theorie II. Ordnung im GZT

Geometrische Schlankheit für einzelnstehende Elemente unter Berücksichtigung der in einem Fundamentblock eingebetteten und in einen Träger eingespannten Stütze:
l₀ = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

5 Benutzerdefinierte Knicklängenbeiwerte in Eingabedaten

Trägheitsradius in der Ebene parallel zur Seite h = 55 cm
i_y = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m

Trägheitsradius in der Ebene parallel zur Seite b = 24 cm
i_z = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m

Schlankheitsgrade
λ_y = 4,24 / 0,159 = 26,67 m
λ_z = 4,24 / 0,069 = 61,45 m

6 Anzeige der Schlankheitswerte

Grenzschlankheit:
Standardmäßig berücksichtigt das Programm die Werte gemäß Kriechwirkung für A, der in RF-BETON Stützen definierten Anfangsbewehrungen für B und dem Verhältnis der Momente an Fuß und Kopf des untersuchten Stabes für C. Diese Werte können jedoch selbst definiert werden:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37
n = ( 227,25 ⋅ 10^-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
λ_lim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74
λ_y< λ_lim ⟹ Berechnung bei kombinierter Biegung in der XZ-Ebene
λ_z< λ_lim ⟹ Berechnung bei einfachem Druck in der XY-Ebene

7 Anzeige der Grenzschlankheitswerte

Da die Schlankheitskoeffizienten kleiner als die Grenzwerte sind, ist es nicht sinnvoll, das Teil auf Knicken zu überprüfen, und es ist ausreichend, eine Berechnung bei kombinierter Biegung durchzuführen, ohne die Effekte der zweiten Ordnung zu berücksichtigen, bei folgenden Exzentrizitätsbeanspruchungen:
e₀= e₁ + e_i

Exzentrizität infolge rechnerischer Beanspruchungen
e₁= M_Ed / N_Ed
e₁: Exzentrizität infolge rechnerischer Beanspruchungen
e₁= 241,50 / 227,25 = 1,063 m

Korrigierte Beanspruchungen für Berechnung bei kombinierter Biegung

Einzelnstehende Stütze eines Aussteifungverbandes:
θ₀ = 1 / 200
α_h = 2 / √6 = 0,816
α_m = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1
θ_i = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041
e_i = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m

∆ e_{0} = Max \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{50}{30} \end{cases} = Max \{\begin{array}{l} 20 mm \\ 1, 83 mm \end{array} = 20 mm

Gerader Querschnitt mit symmetrischer Bewehrung

8 Details zur Exzentrizitätsberechnung

Beanspruchungen, die auf den Schwerpunkt des Betonprofils reduziert sind:

e₀ = e₁+ e_i ≥ Δe₀
e₀ = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m

Die Mindestexzentrizität wird eingehalten.
M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

9 Anzeige des maßgebenden Moments infolge Exzentrizität

Interaktionsdiagramm für einen rechteckigen Querschnitt mit symmetrischer Bewehrung bei kombinierter Biegung

ν_Ed = ( 227,25 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
μ_Ed = ( 243,61 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67 ) = 0,201

Das Interaktionsdiagramm zur Ermittlung der erforderlichen Bewehrung entsprechend der reduzierten Kräfte ν_Ed, μ_Ed ist in den Rechenhilfsmitteln der Interaktionsdiagramme zugänglich (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3. Auflage LE MONITEUR, Frankreich, 2017).

In der grafisches Wiedergabe wird dann der gefundener Wert zwischen den Interaktionskurven ρ = 0,35 und ρ = 0,40 interpoliert, wodurch sich ρ = 0,375 ergibt.
A_s = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 10⁴ = 18,98 cm²

10 Mit RF-BETON Stützen ermittelte erforderliche Bewehrung

Der Unterschied bei der Bewehrung von 0,10 cm² ergibt sich aus der Genauigkeit des Computers bei der Interpolation der Werte des Interaktionsdiagramms.