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05.02.2021

Calcul de poteaux béton soumis à la flexion-composée avec RF-CONCRETE Columns

Le présent article traite des éléments dont la section est soumise simultanément à un moment fléchissant, à un effort tranchant et à un effort normal de compression ou de traction. Cependant, dans notre exemple nous n'intégrerons pas de sollicitations dues à un effort tranchant.

C'est quoi la flexion-composée ?

La flexion-composée est désignée par le système ( MG0, N ), appliquée en un point C, appelé centre de pression. La distance G0C est appelée excentricité de la force extérieure par rapport au centre de gravité G0 de la section de béton seule.

En flexion composée, la valeur du moment de flexion dépend donc uniquement de ce point où l'on effectue la réduction des forces, ici G0.

La première chose à faire en flexion composée, est de rechercher la position du centre de pression en calculant e0.

Prise en compte des imperfections géométriques et des effets du second ordre à l'ELU

L'analyse des éléments et des structures doit tenir compte des effets défavorables des imperfections géométriques éventuelles de la structure ainsi que des écarts dans la position des charges. Les écarts sur les dimensions des sections sont normalement pris en compte dans les coefficients partiels de sécurité relatifs aux matériaux.

Élancement et longueur efficace des éléments isolés

La figure 01 montre la possibilité sur RF-CONCRETE Columns de sélectionner le coefficient β de longueur de flambement, à l'aide de la modélisation des conditions d'appuis d'éléments isolés de section constante et de longueur libre l.

Critère d'élancement pour les éléments isolés

On admet que les effets du second ordre peuvent être négligés si on vérifie que le coefficient d'élancement est inférieur au critère d'élancement.

Prise en compte du fluage

L'effet du fluage doit être pris en compte dans l'analyse du second ordre, en considérant à la fois les conditions générales du fluage, et de la durée d'application des différentes charges, de manière simplifiée au moyen d'un coefficient de fluage effectif.


Cas des voiles et poteaux isolés des structures contreventées

Dans le cas d'éléments isolés, l'effet des imperfections peut être pris en compte comme une excentricité ei.

Cas des sections droites avec un ferraillage symétrique

Pour tenir compte des écarts sur les dimensions des sections, il convient de calculer à l'ELU le moment de flexion:

Calcul des aciers à l'aide des diagrammes d'interactions

Les diagrammes d'interaction moment-effort normal sont des abaques permettant un dimensionnement ou une vérification rapide de sections droites dont la forme et la distribution des armatures sont fixées à l'avance. Les diagrammes d'interactions sont établis uniquement pour l'état limite ultime. Un diagramme d'interaction est dessiné à l'aide de 2 courbes constituant un contour continu et fermé appelé courbe d'interaction. Le tracé de ces courbes se base sur les équations de la résultante et du moment résultant, dépendant notamment des paramètres suivants:

  • Diagrammes de déformation du béton et de l'acier
  • Diagrammes de contraintes du béton et de l'acier

Ainsi, pour une section donnée (béton, armatures, position des aciers), on définit, à partir des efforts internes de calcul NEd et MEdG0, des quantités sans dimension.

Cette dernière équation nous permettra de déterminer la section d'armature nécessaire, en interpolant les réseaux de courbes ρ du diagramme d'interaction, à l'aide du repère orthonormé réduit (μ, υ).

Comparaison de la théorie avec le module additionnel RF-CONCRETE Columns

Par l'intermédiaire d'un exemple simple, nous allons comparer les résultats obtenus avec le module additionnel RF-CONCRETE Columns avec les formules théoriques décrites avant.

  • Sollicitations ramenées au centre de gravité du béton seul, d'un élément d'une structure contreventée:
    • Permanentes:
      • Ng = 85 kN
      • Mg = 90 kN.m
    • Variables:
      • Nq = 75 kN
      • Mq = 80 kNm
  • Matériaux:
    • Béton C 25 / 30
    • Aciers : S 500 à palier incliné
  • Rapport des moments en pied de poteau:
    • |M01| / |M02| = 1 / 3

Caractéristiques des matériaux

fcd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa

fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa

État limite ultime

Sollicitations de calculs à l'état limite ultime:
MEd= 1,35 ⋅ Mg+ 1,5 ⋅ Mq
MEd= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
NEd= 1,35 ⋅ Ng + 1,5 ⋅ Nq
NEd= 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

Prise en compte des imperfections géométriques sans effets du second ordre à l'ELU

Élancement géométrique pour des éléments isolés, en considérant le poteau articulé dans un massif de fondation et encastré dans une poutre :
l0 = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

Rayon d'inertie dans le plan parallèle au côté h = 55 cm
iy = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m

Rayon d'inertie dans le plan parallèle au côté b = 24 cm
iz = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m

Élancements
λy = 4,24 / 0,159 = 26,67 m
λz = 4,24 / 0,069 = 61,45 m

Élancement limite:
Par défaut, le programme prend en compte les valeurs en fonction des effets du fluage pour A, des armatures initiales définies sur RF-CONCRETE Columns pour B, et du rapport des moments en pied et en tête de la barre étudiée pour C. Il est cependant possible de définir soi-même ces valeurs:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37
n = ( 227,25 ⋅ 10-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
λlim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74
λy< λlim ⟹ Calcul en flexion composée dans le plan XZ
λz< λlim ⟹ Calcul en compression simple dans le plan XY

Les coefficients d'élancement étant inférieurs aux valeurs limites, il est inutile de vérifier la pièce au flambement et l'on peut se contenter d'un calcul en flexion composée sans tenir compte des effets du second ordre, sous les sollicitations d'excentrement ci-après :
e0 = e1 + ei

Excentrement dû aux sollicitations de calcul
e1 = MEd / NEd
e1 : Excentrement dû aux sollicitations de calcul
e1 = 241,50 / 227,25 = 1,063 m

Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée

Poteau isolé d'une structure contreventée:
θ0 = 1 / 200
αh = 2 / √6 = 0,816
αm = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1
θi = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041
ei = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m


Sollicitations ramenées au centre de gravité de la section de béton seul

e0 = e1+ ei ≥ Δe0
e0 = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m

L'excentricité minimale est respectée.
MEdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

Diagramme d'interaction pour une section rectangulaire à armature symétrique en flexion composée

νEd = ( 227,25 ⋅ 10-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
μEd = ( 243,61 ⋅ 10-3) / ( 0,24 ⋅ 0,552 ⋅ 16,67 ) = 0,201

Le diagramme d'interaction utilisé pour déterminer les armatures nécessaires en fonction des efforts réduit νEd, μEd, est accessible dans les abaques de diagrammes d'interaction (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3ème édition LE MONITEUR, France, 2017).

Par lecture graphique, on interpole alors la valeur trouvée entre les courbes d'interactions ρ = 0,35 et ρ = 0,40 ce qui nous donne ρ = 0,375.
As = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 104 = 18,98 cm2

La différence de 0,10 cm² trouvé sur les armatures provient de la précision de l'ordinateur sur l'interpolation des valeurs du diagramme d'interaction.


Auteur

Milan Gérard travaille sur le site de Paris. Il assure la vente et le support technique chez Dlubal.

Liens
Références
  1. Roux, J. (2007). Pratique de l'eurocode 2 - Guide d'application. Paris: Groupe Eyrolles, 2007
  2. Perchat, J. Traité de béton armé - selon l'Eurocode 2, 3. édition. Antony Cedex: Groupe Moniteur, 2017
  3. EN 1992-1-1 calcul des structures en béton - Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. maison d'édition Beth, SARL


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