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M.Eng. Milan Gérard

05.02.2021

Calcul de poteaux béton soumis à la flexion-composée avec RF-CONCRETE Columns

Le présent article traite des éléments dont la section est soumise simultanément à un moment fléchissant, à un effort tranchant et à un effort normal de compression ou de traction. Cependant, dans notre exemple nous n'intégrerons pas de sollicitations dues à un effort tranchant.

C'est quoi la flexion-composée ?

La flexion-composée est désignée par le système ( M_G0, N ), appliquée en un point C, appelé centre de pression. La distance G₀C est appelée excentricité de la force extérieure par rapport au centre de gravité G₀ de la section de béton seule.

En flexion composée, la valeur du moment de flexion dépend donc uniquement de ce point où l'on effectue la réduction des forces, ici G₀.

e_{0} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{N_{Ed}}

e₀	Excentricité par rapport au centre de gravité de la section de béton seule
M_EdG0	Valeur de calcul du moment fléchissant par rapport au centre de gravité de la section de béton seule
N_Ed	Valeur de calcul de l’effort normal agissant

Excentricité par rapport au centre de gravité de la section de béton seule

La première chose à faire en flexion composée, est de rechercher la position du centre de pression en calculant e₀.

Prise en compte des imperfections géométriques et des effets du second ordre à l'ELU

L'analyse des éléments et des structures doit tenir compte des effets défavorables des imperfections géométriques éventuelles de la structure ainsi que des écarts dans la position des charges. Les écarts sur les dimensions des sections sont normalement pris en compte dans les coefficients partiels de sécurité relatifs aux matériaux.

Élancement et longueur efficace des éléments isolés

λ = \frac{l_{0}}{i}

l_{0} = β \cdot l

λ	Coefficient d’élancement
l₀	longueur efficace déterminée
i	Rayon de giration de la section de béton non fissurée
β	Coefficient de longueur de flambement
l	Longueur libre

Coefficient d’élancement

La figure 01 montre la possibilité sur RF-CONCRETE Columns de sélectionner le coefficient β de longueur de flambement, à l'aide de la modélisation des conditions d'appuis d'éléments isolés de section constante et de longueur libre l.

Valeurs prédéfinies du coefficient de longueur de flambement autour de l’axe y

Critère d'élancement pour les éléments isolés

On admet que les effets du second ordre peuvent être négligés si on vérifie que le coefficient d'élancement est inférieur au critère d'élancement.

λ < λ_{\lim}

λ_{\lim} = \frac{20 \cdot A \cdot B \cdot C}{\sqrt{n}} selon l ’ AN française

A = \frac{1}{1 + 0, 2 \cdot φ_{ef}} = 0, 7 si φ_{ef} est inconnu

B = \sqrt{1 + 2 \cdot ω} = 1, 1 si ω est inconnu

C = 1, 7 - r_{m} = 0, 7 si r_{m} est inconnu

n = \frac{N_{Ed}}{A_{C} \cdot f_{cd}}

r_{m} = \{\begin{cases} 1, si éléments non contreventés en général \\ 1, si éléments contreventés avec moments du premier ordre dus principalement à des imperfections ou à des charges transversales \\ \frac{M_{01}}{M_{02}} \leq 1, si autres cas \end{cases}

λ	Critère d’élancement
λ_lim	Élancement limite
φ_ef	Coefficient de fluage effectif
ω	Ratio mécanique d’armatures
r_m	Rapport des moments
M₀₁, M₀₂	Valeurs algébriques des moments du premier ordre aux deux extrémités de l’éléments

Critère d’élancement

Prise en compte du fluage

L'effet du fluage doit être pris en compte dans l'analyse du second ordre, en considérant à la fois les conditions générales du fluage, et de la durée d'application des différentes charges, de manière simplifiée au moyen d'un coefficient de fluage effectif.

φ_{ef} = φ (\infty, t_{0}) \cdot \frac{M_{0 E_{qp}}}{M_{0 Ed}}

φ_ef	Coefficient de fluage effectif
φ(∞,t₀)	Valeur finale du coefficient de fluage
M_0Eqp	Moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente
M_0Ed	Moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques)

Coefficient de fluage effectif

Paramètres du fluage dans les données d’entrée

Cas des voiles et poteaux isolés des structures contreventées

Dans le cas d'éléments isolés, l'effet des imperfections peut être pris en compte comme une excentricité e_i.

e_{i} = θ_{i} \cdot \frac{l_{0}}{2}

θ_{i} = θ_{0} \cdot α_{h} \cdot α_{m}

θ_{0} = \frac{1}{200}

\frac{2}{3} \leq α_{h} = \frac{2}{\sqrt{l}} \leq 1

α_{m} = \sqrt{0, 5 \cdot (1 + \frac{1}{m})}

e_i	Excentricité due aux imperfections
θ_i	Inclinaison globale de la structure
θ₀	Valeur de base recommandée par l’AN
α_h	Coefficient de réduction relatif à la longueur
α_m	Coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, où m est le nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total

Excentricité due aux imperfections

Cas des sections droites avec un ferraillage symétrique

Pour tenir compte des écarts sur les dimensions des sections, il convient de calculer à l'ELU le moment de flexion:

M_{E {dG}_{0}} = M_{Ed} + N_{Ed} \cdot ∆ e_{0}

∆ e_{0} = Ma x \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{h}{30} : excentricité minimale requise \end{cases}

M_EdG0	Moment de flexion
M_Ed	Valeur de calcul du moment fléchissant
Δe₀	Excentricité minimale requise
h	Hauteur de la section droite dans le plan de flexion

Moment de flexion

Calcul des aciers à l'aide des diagrammes d'interactions

Les diagrammes d'interaction moment-effort normal sont des abaques permettant un dimensionnement ou une vérification rapide de sections droites dont la forme et la distribution des armatures sont fixées à l'avance. Les diagrammes d'interactions sont établis uniquement pour l'état limite ultime. Un diagramme d'interaction est dessiné à l'aide de 2 courbes constituant un contour continu et fermé appelé courbe d'interaction. Le tracé de ces courbes se base sur les équations de la résultante et du moment résultant, dépendant notamment des paramètres suivants:

Diagrammes de déformation du béton et de l'acier
Diagrammes de contraintes du béton et de l'acier

Ainsi, pour une section donnée (béton, armatures, position des aciers), on définit, à partir des efforts internes de calcul N_Ed et M_EdG0, des quantités sans dimension.

ν_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

A_{c} = b \cdot h

ν_Ed	Effort normal réduit
A_c	Aire totale de la section de béton seul
b	Largeur de la section droite dans le plan de flexion
f_cd	Valeur de calcul de la résistance en compression du béton

Effort normal réduit

μ_{Ed} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{A_{c} \cdot h \cdot f_{cd}}

μ_Ed	Moment fléchissant réduit en G₀

Moment fléchissant réduit en G0

ρ = \frac{A_{s} \cdot f_{yd}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

ρ	Pourcentage mécanique d’armatures
A_s	Section d’armatures
f_yd	Limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé

Pourcentage mécanique d’armatures

Cette dernière équation nous permettra de déterminer la section d'armature nécessaire, en interpolant les réseaux de courbes ρ du diagramme d'interaction, à l'aide du repère orthonormé réduit (μ, υ).

Comparaison de la théorie avec le module additionnel RF-CONCRETE Columns

Par l'intermédiaire d'un exemple simple, nous allons comparer les résultats obtenus avec le module additionnel RF-CONCRETE Columns avec les formules théoriques décrites avant.

Sollicitations ramenées au centre de gravité du béton seul, d'un élément d'une structure contreventée:
- Permanentes:
  - N_g = 85 kN
  - M_g = 90 kN.m
- Variables:
  - N_q = 75 kN
  - M_q = 80 kNm
Matériaux:
- Béton C 25 / 30
- Aciers : S 500 à palier incliné
Rapport des moments en pied de poteau:
- |M01| / |M02| = 1 / 3

Modèle RFEM avec les charges permanentes modélisées

Caractéristiques des matériaux

f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck}}{γ_{c}}

f_cd	Valeur de calcul de la résistance en compression du béton
α_cc	Facteur tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression
f_ck	Résistance caracteristique en compression du béton
γ_c	Coefficient partiel relatif au béton

Valeur de calcul de la résistance en compression du béton

f_cd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa

f_{yd} = \frac{f_{yk}}{γ_{s}}

f_yk	Limite caractéristique d’élasticité de l’acier de béton armé
γ_s	Coefficient partiel relatif à l’acier de béton armé

Limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé

f_yd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa

État limite ultime

Sollicitations de calculs à l'état limite ultime:
M_Ed= 1,35 ⋅ M_g+ 1,5 ⋅ M_q
M_Ed= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
N_Ed= 1,35 ⋅ N_g + 1,5 ⋅ N_q
N_Ed= 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

Affichage des charges déterminantes

Prise en compte des imperfections géométriques sans effets du second ordre à l'ELU

Élancement géométrique pour des éléments isolés, en considérant le poteau articulé dans un massif de fondation et encastré dans une poutre :
l₀ = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

Coefficients de flambement définis par l’utilisateur dans les données d’entrée

Rayon d'inertie dans le plan parallèle au côté h = 55 cm
i_y = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m

Rayon d'inertie dans le plan parallèle au côté b = 24 cm
i_z = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m

Élancements
λ_y = 4,24 / 0,159 = 26,67 m
λ_z = 4,24 / 0,069 = 61,45 m

Affichage des valeurs d’élancement

Élancement limite:
Par défaut, le programme prend en compte les valeurs en fonction des effets du fluage pour A, des armatures initiales définies sur RF-CONCRETE Columns pour B, et du rapport des moments en pied et en tête de la barre étudiée pour C. Il est cependant possible de définir soi-même ces valeurs:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37
n = ( 227,25 ⋅ 10^-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
λ_lim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74
λ_y< λ_lim ⟹ Calcul en flexion composée dans le plan XZ
λ_z< λ_lim ⟹ Calcul en compression simple dans le plan XY

Affichage des valeurs d’élancement limite

Les coefficients d'élancement étant inférieurs aux valeurs limites, il est inutile de vérifier la pièce au flambement et l'on peut se contenter d'un calcul en flexion composée sans tenir compte des effets du second ordre, sous les sollicitations d'excentrement ci-après :
e₀= e₁ + e_i

Excentrement dû aux sollicitations de calcul
e₁= M_Ed / N_Ed
e₁: Excentrement dû aux sollicitations de calcul
e₁= 241,50 / 227,25 = 1,063 m

Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée

Poteau isolé d'une structure contreventée:
θ₀ = 1 / 200
α_h = 2 / √6 = 0,816
α_m = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1
θ_i = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041
e_i = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m

∆ e_{0} = Max \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{50}{30} \end{cases} = Max \{\begin{array}{l} 20 mm \\ 1, 83 mm \end{array} = 20 mm

Section droite avec ferraillage symétrique

Détail du calcul des excentricités

Sollicitations ramenées au centre de gravité de la section de béton seul

e₀ = e₁+ e_i ≥ Δe₀
e₀ = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m

L'excentricité minimale est respectée.
M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

Affichage du moment déterminant dû à l’excentrement

Diagramme d'interaction pour une section rectangulaire à armature symétrique en flexion composée

ν_Ed = ( 227,25 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
μ_Ed = ( 243,61 ⋅ 10^-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67 ) = 0,201

Le diagramme d'interaction utilisé pour déterminer les armatures nécessaires en fonction des efforts réduit ν_Ed, μ_Ed, est accessible dans les abaques de diagrammes d'interaction (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3ème édition LE MONITEUR, France, 2017).

Par lecture graphique, on interpole alors la valeur trouvée entre les courbes d'interactions ρ = 0,35 et ρ = 0,40 ce qui nous donne ρ = 0,375.
A_s = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 10⁴ = 18,98 cm²

Armatures requises déterminées par RF-CONCRETE Columns

La différence de 0,10 cm² trouvé sur les armatures provient de la précision de l'ordinateur sur l'interpolation des valeurs du diagramme d'interaction.