10697x
001705
5.2.2021

Výpočet betonových sloupů namáhaných ohybem a osovou silou v modulu RF-CONCRETE Columns

V tomto příspěvku se budeme zabývat prvky, na jejichž průřez působí současně ohybový moment, posouvající síla a osová tlaková nebo tahová síla. V našem příkladu ovšem nebudeme uvažovat namáhání posouvající silou.

Co je kombinovaný ohyb?

Kombinovaný ohyb je dán systémem (MG0, N), který se uvažuje v bodu C označovaném jako střed tlaku. Vzdálenost G0C se označuje jako excentricita vnější síly vzhledem k těžišti G0 prostého betonového průřezu.

U kombinovaného ohybu tak hodnota ohybového momentu závisí pouze na tomto bodě, v kterém dochází k redukci sil, zde G0.

Při kombinovaném ohybu je nejdříve třeba stanovit polohu středu tlaku výpočtem e0.

Zohlednění geometrických imperfekcí a účinků druhého řádu v MSÚ

Při analýze prvků a konstrukcí je třeba zohlednit nepříznivé účinky případných geometrických imperfekcí konstrukce a také odchylky v poloze zatížení. Odchylky v rozměrech průřezů se zpravidla zohledňují dílčími součiniteli spolehlivosti materiálů.

Poměrná štíhlost a účinná délka samostatných prvků

Jak vidíme na obrázku 01, v modulu RF-CONCRETE Columns lze vybrat součinitel vzpěrné délky β při modelování podporových podmínek samostatných prvků s konstantním průřezem a volnou délkou l.

Štíhlostní kritérium pro osamělé prvky

Předpokládá se, že účinky druhého řádu lze zanedbat, pokud se ověří, že součinitel štíhlosti je menší než kritérium štíhlosti.

Zohlednění dotvarování

Účinek dotvarování je třeba zohlednit při analýze druhého řádu, přičemž se zohlední jak obecné podmínky dotvarování, tak doba působení různých zatížení zjednodušeným způsobem pomocí účinného součinitele dotvarování.


Stěny a jednotlivé sloupy vyztužených konstrukcí

U samostatných prvků lze účinek imperfekcí zohlednit jako excentricitu ei.

Přímé průřezy se symetrickou výztuží

Pro zohlednění odchylek v rozměrech průřezů se má spočítat ohybový moment v MSÚ:

Výpočet oceli pomocí interakčních diagramů

Diagramy interakce momentu a normálové síly slouží k rychlému posouzení a ověření přímých průřezů, jejichž tvar i rozdělení výztuže se stanoví předem. Interakční diagramy se vytvoří pouze pro mezní stav únosnosti. Interakční diagram je zakreslen pomocí dvou křivek, které tvoří spojitou a uzavřenou linii, takzvanou interakční křivku. Průběh těchto křivek vychází z rovnic výslednice a výsledného momentu a závisí především na následujících parametrech:

  • Diagramy deformací betonu a oceli
  • Pracovní diagramy betonu a oceli

Tak se pro daný průřez (beton, výztuž, poloha výztužné oceli) definují z návrhových vnitřních sil NEd a MEdG0 bezrozměrné veličiny.

Poslední rovnice nám umožňuje stanovit nutný průřez výztuže interpolací polí křivek ρ interakčního diagramu pomocí redukovaného ortonormálního souřadného systému (μ, υ).

Teorie v porovnání s modulem RF-CONCRETE Columns

Na jednoduchém příkladu porovnáme výsledky v modulu RF-CONCRETE Columns s výše popsanými teoretickými vzorci.

  • Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonu, prvku vyztužené konstrukce:
    • Stálé:
      • Ng = 85 kN
      • Mg = 90 kN.m
    • Proměnné:
      • Nq = 75 kN
      • Mq = 80 kNm
  • Materiály:
    • Beton C 25/30
    • Ocel: S 500
  • Momentový poměr v patě sloupu:
    • |M01:| / |M02| = 1/3

Materiálové charakteristiky

fcd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa

fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa

Mezní stav únosnosti

Namáhání ve výpočtech v mezním stavu únosnosti:
MEd= 1,35 ⋅ Mg+ 1,5 ⋅ Mq
MEd= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
NEd = 1,35 ⋅ Ng + 1,5 ⋅ Nq
NEd = 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

Zohlednění geometrických imperfekcí bez účinků druhého řádu v MSÚ

Geometrická štíhlost pro samostatné prvky s ohledem na sloup uložený do základového bloku a vetknutý do nosníku:
l0 = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou h = 55 cm
iy = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m

Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou b = 24 cm
iz = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m

Štíhlostní poměry
λy = 4,24 / 0,159 = 26,67 m
λz = 4,24 / 0,069 = 61,45 m

Mezní štíhlost:
Standardně program zohledňuje hodnoty podle účinků dotvarování pro A, počáteční výztuže zadané v modulu RF-CONCRETE Columns pro B a poměr momentů v hlavě a patě posuzovaného prutu pro C. Nicméně tyto hodnoty můžeme definovat sami:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37
n = ( 227,25 ⋅ 10-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
λlim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74
λy< λlim ⟹ výpočet při kombinovaném ohybu v rovině XZ
λz< λlim ⟹ výpočet při prostém tlaku v rovině XY

Vzhledem k tomu, že součinitele štíhlosti jsou nižší než mezní hodnoty, je zbytečné prověřovat dílec na vzpěr a postačí provést výpočet u kombinovaného ohybu bez zohlednění účinků druhého řádu při následujících excentrických zatíženích:
e0 = e1 + ei

Excentricita vlivem výpočtového zatížení
e1 = MEd / NEd
e1: Excentricita vlivem výpočtového zatížení
e1 = 241,50 / 227,25 = 1,063 m

Korigované zatížení pro výpočet při kombinovaném ohybu

Samostatný sloup vyztužené konstrukce:
θ0 = 1 / 200
αh = 2 / √6 = 0,816
αm = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1
θi = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041
ei = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m


Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonového průřezu:

e0 = e1+ ei ≥ Δe0
e0 = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m

Minimální excentricita je dodržena.
MEdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

Interakční diagram pro obdélníkový průřez se symetrickou výztuží při kombinovaném ohybu

νEd = ( 227,25 ⋅ 10-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
μEd = ( 243,61 ⋅ 10-3) / ( 0,24 ⋅ 0,552 ⋅ 16,67 ) = 0,201

Interakční diagram ke stanovení nutné výztuže podle redukovaných sil νEd, μEd je k dispozici v pomocných interakčních diagramech (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3. vydání, LE MONITEUR, Francie, 2017).

V grafickém výstupu se pak nalezená hodnota interpoluje mezi interakčními křivkami ρ = 0,35 a ρ = 0,40, a výsledkem je ρ = 0,375.
As = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 104 = 18,98 cm2

Rozdíl ve výztuži 0,10 cm² plyne z přesnosti počítače při interpolaci hodnot interakčního diagramu.


Autor

Milan Gérard pracuje v pobočce v Paříži. Je zodpovědný za prodej a zajišťuje technickou podporu francouzsky mluvícím zákazníkům.

Odkazy
Reference
  1. Roux, J. Pratique de l'eurocode 2 - Guide d'application. Paris: Groupe Eyrolles, 2007
  2. Perchat, J. Traité de béton armé - selon l'Eurocode 2, 3. vydání. Antony Cedex: Groupe Moniteur, 2017
  3. EN 1992-1-1: Navrhování betonových konstrukcí – Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby. Nakladatelství Beuth GmbH


;