Co je kombinovaný ohyb?
Kombinovaný ohyb je dán systémem (MG0, N), který se uvažuje v bodu C označovaném jako střed tlaku. Vzdálenost G0C se označuje jako excentricita vnější síly vzhledem k těžišti G0 prostého betonového průřezu.
U kombinovaného ohybu tak hodnota ohybového momentu závisí pouze na tomto bodě, v kterém dochází k redukci sil, zde G0.
e0 | excentricita vzhledem k těžišti prostého betonového průřezu |
Θ | Stabilitní součinitel |
Cd | Součinitel zesílení deformace podle tabulky 12.2-1 |
Při kombinovaném ohybu je nejdříve třeba stanovit polohu středu tlaku výpočtem e0.
Zohlednění geometrických imperfekcí a účinků druhého řádu v MSÚ
Při analýze prvků a konstrukcí je třeba zohlednit nepříznivé účinky případných geometrických imperfekcí konstrukce a také odchylky v poloze zatížení. Odchylky v rozměrech průřezů se zpravidla zohledňují dílčími součiniteli spolehlivosti materiálů.
Poměrná štíhlost a účinná délka samostatných prvků
λ | štíhlostní poměr |
l0 | stanovená vzpěrná délka |
i | poloměr setrvačnosti betonového průřezu bez trhlin |
β | součinitel vzpěrné délky |
Ie | Součinitel důležitosti definovaný v kapitole 11.5.1 |
Jak vidíme na obrázku 01, v modulu RF-CONCRETE Columns lze vybrat součinitel vzpěrné délky β při modelování podporových podmínek samostatných prvků s konstantním průřezem a volnou délkou l.
Štíhlostní kritérium pro osamělé prvky
Předpokládá se, že účinky druhého řádu lze zanedbat, pokud se ověří, že součinitel štíhlosti je menší než kritérium štíhlosti.
λ | kritérium štíhlosti |
λlim | mezní štíhlost |
φef | účinný součinitel dotvarování |
ω | mechanický stupeň vyztužení |
rm | momentový součinitel |
M01, M02 | algebraické momenty prvního řádu na obou koncích prvku |
Zohlednění dotvarování
Účinek dotvarování je třeba zohlednit při analýze druhého řádu, přičemž se zohlední jak obecné podmínky dotvarování, tak doba působení různých zatížení zjednodušeným způsobem pomocí účinného součinitele dotvarování.
φef | účinný součinitel dotvarování |
φ(∞,t0) | konečná hodnota součinitele dotvarování |
M0Eqp | provozní moment prvního řádu při kvazistálé kombinaci účinků |
M0Ed | konečný moment prvního řádu při kombinaci návrhových zatížení (včetně geometrických imperfekcí) |
Stěny a jednotlivé sloupy vyztužených konstrukcí
U samostatných prvků lze účinek imperfekcí zohlednit jako excentricitu ei.
ei | excentricita vlivem imperfekcí |
θI | celkový sklon konstrukce |
θ0 | základní hodnota doporučená NP |
αh | redukční součinitel vztahující se k délce |
αm | redukční součinitel vztažený na počet prvků, kdy m je počet svislých prvků přispívajících k celkovému účinku |
Přímé průřezy se symetrickou výztuží
Pro zohlednění odchylek v rozměrech průřezů se má spočítat ohybový moment v MSÚ:
MEdG0 | ohybový moment |
MEd | návrhová hodnota ohybového momentu |
Δe0 | požadovaná minimální excentricita |
h | výška přímého průřezu v rovině ohybu |
Výpočet oceli pomocí interakčních diagramů
Diagramy interakce momentu a normálové síly slouží k rychlému posouzení a ověření přímých průřezů, jejichž tvar i rozdělení výztuže se stanoví předem. Interakční diagramy se vytvoří pouze pro mezní stav únosnosti. Interakční diagram je zakreslen pomocí dvou křivek, které tvoří spojitou a uzavřenou linii, takzvanou interakční křivku. Průběh těchto křivek vychází z rovnic výslednice a výsledného momentu a závisí především na následujících parametrech:
- Diagramy deformací betonu a oceli
- Pracovní diagramy betonu a oceli
Tak se pro daný průřez (beton, výztuž, poloha výztužné oceli) definují z návrhových vnitřních sil NEd a MEdG0 bezrozměrné veličiny.
νEd | redukovaná osová síla |
Ac | celková plocha betonového průřezu |
b | šířka přímého průřezu v rovině ohybu |
fcd | návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku |
μEd | ohybový moment v G0 redukovaný |
ρ | procento mechanické výztuže |
As | průřezová plocha výztuže |
fyd | návrhová mez kluzu oceli ve vyztuženém betonu |
Poslední rovnice nám umožňuje stanovit nutný průřez výztuže interpolací polí křivek ρ interakčního diagramu pomocí redukovaného ortonormálního souřadného systému (μ, υ).
Teorie v porovnání s modulem RF-CONCRETE Columns
Na jednoduchém příkladu porovnáme výsledky v modulu RF-CONCRETE Columns s výše popsanými teoretickými vzorci.
- Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonu, prvku vyztužené konstrukce:
- Stálé:
- Ng = 85 kN
- Mg = 90 kN.m
- Proměnné:
- Nq = 75 kN
- Mq = 80 kNm
- Stálé:
- Materiály:
- Beton C 25/30
- Ocel: S 500
- Momentový poměr v patě sloupu:
- |M01:| / |M02| = 1/3
Materiálové charakteristiky
fcd | návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku |
αcc | součinitel zohledňující dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku |
fck | charakteristická pevnost betonu v tlaku |
γc | dílčí součinitel spolehlivosti betonu |
fcd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,67 MPa
fyk | charakteristická mez kluzu oceli ve vyztuženém betonu |
γs | dílčí součinitel spolehlivosti výztužné oceli |
fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa
Mezní stav únosnosti
Namáhání ve výpočtech v mezním stavu únosnosti:
MEd= 1,35 ⋅ Mg+ 1,5 ⋅ Mq
MEd= 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
NEd = 1,35 ⋅ Ng + 1,5 ⋅ Nq
NEd = 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN
Zohlednění geometrických imperfekcí bez účinků druhého řádu v MSÚ
Geometrická štíhlost pro samostatné prvky s ohledem na sloup uložený do základového bloku a vetknutý do nosníku:
l0 = √2 / 2 ⋅ l = √2 / 2 ⋅ 6,00 = 4,24 m
Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou h = 55 cm
iy = h / √12 = 0,55 / √12 = 0,159 m
Poloměr setrvačnosti v rovině rovnoběžné se stranou b = 24 cm
iz = b / √12 = 0,24 / √12 = 0,069 m
Štíhlostní poměry
λy = 4,24 / 0,159 = 26,67 m
λz = 4,24 / 0,069 = 61,45 m
Mezní štíhlost:
Standardně program zohledňuje hodnoty podle účinků dotvarování pro A, počáteční výztuže zadané v modulu RF-CONCRETE Columns pro B a poměr momentů v hlavě a patě posuzovaného prutu pro C. Nicméně tyto hodnoty můžeme definovat sami:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1 / 3 = 1,37
n = ( 227,25 ⋅ 10-3 ) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
λlim = ( 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37 ) / √( 0,103 ) = 65,74
λy< λlim ⟹ výpočet při kombinovaném ohybu v rovině XZ
λz< λlim ⟹ výpočet při prostém tlaku v rovině XY
Vzhledem k tomu, že součinitele štíhlosti jsou nižší než mezní hodnoty, je zbytečné prověřovat dílec na vzpěr a postačí provést výpočet u kombinovaného ohybu bez zohlednění účinků druhého řádu při následujících excentrických zatíženích:
e0 = e1 + ei
Excentricita vlivem výpočtového zatížení
e1 = MEd / NEd
e1: Excentricita vlivem výpočtového zatížení
e1 = 241,50 / 227,25 = 1,063 m
Korigované zatížení pro výpočet při kombinovaném ohybu
Samostatný sloup vyztužené konstrukce:
θ0 = 1 / 200
αh = 2 / √6 = 0,816
αm = √0,5 ⋅ ( 1 + 1 / 1 ) = 1
θi = 0,816 ⋅ 1 / 200 = 0,0041
ei = 0,0041 ⋅ 4,24 / 2 = 0,0087 m
Zatížení redukovaná na těžiště prostého betonového průřezu:
e0 = e1+ ei ≥ Δe0
e0 = 1,063 + 0,0087 = 1,072 m
Minimální excentricita je dodržena.
MEdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm
Interakční diagram pro obdélníkový průřez se symetrickou výztuží při kombinovaném ohybu
νEd = ( 227,25 ⋅ 10-3) / ( 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) = 0,103
μEd = ( 243,61 ⋅ 10-3) / ( 0,24 ⋅ 0,552 ⋅ 16,67 ) = 0,201
Interakční diagram ke stanovení nutné výztuže podle redukovaných sil νEd, μEd je k dispozici v pomocných interakčních diagramech (Jean Perchat, Traité de béton armé, 3. vydání, LE MONITEUR, Francie, 2017).
V grafickém výstupu se pak nalezená hodnota interpoluje mezi interakčními křivkami ρ = 0,35 a ρ = 0,40, a výsledkem je ρ = 0,375.
As = ( 0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67 ) / ( 434,78 ) ⋅ 104 = 18,98 cm2
Rozdíl ve výztuži 0,10 cm² plyne z přesnosti počítače při interpolaci hodnot interakčního diagramu.