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M.Ing. Milan Gérard

2021-02-05

Cálculo de pilares de hormigón sometidos a flexión combinada con pilares RF-CONCRETE

Este artículo trata sobre los elementos cuya sección está sometida simultáneamente a un momento flector, un esfuerzo cortante y un esfuerzo axil de compresión o tracción. Sin embargo, en nuestro ejemplo no incluiremos la carga debida al esfuerzo cortante.

¿Qué es la flexión combinada?

La flexión combinada se designa por el sistema (M_G0, N) aplicado en un punto C, llamado centro de presiones. La distancia G₀ C se llama la excentricidad de la fuerza externa en relación con el centro de gravedad G₀ de la sección de hormigón puro.

En la flexión combinada, el valor del momento flector depende solo de este punto, donde se lleva a cabo la reducción de las fuerzas; aquí, es G₀.

e_{0} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{N_{Ed}}

e₀	Excentricité par rapport au centre de gravité de la section de béton seule
M_EdG0	Valeur de calcul du moment fléchissant par rapport au centre de gravité de la section de béton seule
N_Ed	Valeur de calcul de l’effort normal agissant

Excentricidad en relación al centro de gravedad de la sección de hormigón puro

Lo primero que se debe hacer en la flexión combinada es encontrar la posición del centro de presiones calculando e₀.

Consideración de imperfecciones geométricas y efectos de segundo orden en U'

El análisis de elementos y estructuras debe tener en cuenta los efectos desfavorables de cualquier imperfección geométrica en la estructura, así como las desviaciones en la posición de las cargas. Las desviaciones en las dimensiones de las secciones' normalmente se tienen en cuenta mediante los coeficientes parciales de seguridad para los materiales.

Esbeltez y longitud eficaz de elementos aislados

λ = \frac{l_{0}}{i}

l_{0} = β \cdot l

λ	Coefficient d’élancement
l₀	longueur efficace déterminée
i	Rayon de giration de la section de béton non fissurée
β	Coefficient de longueur de flambement
l	Longueur libre

Coeficiente de esbeltez

La imagen 01 muestra la posibilidad en RF-CONCRETE Columns de seleccionar el coeficiente de longitud de pandeo β mediante el modelado de las condiciones de apoyo de elementos aislados con sección constante y longitud libre l.

1 Valores predefinidos del coeficiente de longitud de pandeo alrededor del eje Y

Criterio de esbeltez para elementos aislados

Se supone que los efectos de segundo orden se pueden omitir si se verifica que el coeficiente de esbeltez es menor que el criterio de esbeltez.

λ < λ_{\lim}

λ_{\lim} = \frac{20 \cdot A \cdot B \cdot C}{\sqrt{n}} selon l ’ AN française

A = \frac{1}{1 + 0, 2 \cdot φ_{ef}} = 0, 7 si φ_{ef} est inconnu

B = \sqrt{1 + 2 \cdot ω} = 1, 1 si ω est inconnu

C = 1, 7 - r_{m} = 0, 7 si r_{m} est inconnu

n = \frac{N_{Ed}}{A_{C} \cdot f_{cd}}

r_{m} = \{\begin{cases} 1, si éléments non contreventés en général \\ 1, si éléments contreventés avec moments du premier ordre dus principalement à des imperfections ou à des charges transversales \\ \frac{M_{01}}{M_{02}} \leq 1, si autres cas \end{cases}

λ	Critère d’élancement
λ_lim	Élancement limite
φ_ef	Coefficient de fluage effectif
ω	Ratio mécanique d’armatures
r_m	Rapport des moments
M₀₁, M₀₂	Valeurs algébriques des moments du premier ordre aux deux extrémités de l’éléments

Criterio de esbeltez

Consideración de la fluencia

El efecto de la fluencia se debe tener en cuenta en el análisis de segundo orden, considerando tanto las condiciones generales de fluencia como la duración de la aplicación de diferentes cargas de una manera simplificada utilizando un coeficiente de fluencia eficaz.

φ_{ef} = φ (\infty, t_{0}) \cdot \frac{M_{0 E_{qp}}}{M_{0 Ed}}

φ_ef	Coefficient de fluage effectif
φ(∞,t₀)	Valeur finale du coefficient de fluage
M_0Eqp	Moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente
M_0Ed	Moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques)

Coeficiente de fluencia eficaz

2 Parámetros de fluencia en los datos de entrada

Muros y pilares aislados de estructuras arriostradas

En el caso de elementos aislados, el efecto de las imperfecciones se puede considerar como excentricidad e_i.

e_{i} = θ_{i} \cdot \frac{l_{0}}{2}

θ_{i} = θ_{0} \cdot α_{h} \cdot α_{m}

θ_{0} = \frac{1}{200}

\frac{2}{3} \leq α_{h} = \frac{2}{\sqrt{l}} \leq 1

α_{m} = \sqrt{0, 5 \cdot (1 + \frac{1}{m})}

e_i	Excentricité due aux imperfections
θ_i	Inclinaison globale de la structure
θ₀	Valeur de base recommandée par l’AN
α_h	Coefficient de réduction relatif à la longueur
α_m	Coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, où m est le nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total

Excentricidad debido a imperfecciones

Secciones rectas con armadura simétrica

Para tener en cuenta las desviaciones en las dimensiones de las secciones, se debe calcular el momento flector en el ELU:

M_{E {dG}_{0}} = M_{Ed} + N_{Ed} \cdot ∆ e_{0}

∆ e_{0} = Ma x \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{h}{30} : excentricité minimale requise \end{cases}

M_EdG0	Moment de flexion
M_Ed	Valeur de calcul du moment fléchissant
Δe₀	Excentricité minimale requise
h	Hauteur de la section droite dans le plan de flexion

Momento flector

Cálculo de aceros utilizando 'diagramas de interacción

Los diagramas de interacción momento-fuerza normal son gráficos que permiten el cálculo o verificación rápidos de secciones rectas cuya forma y distribución de armadura se determinan de antemano. Los diagramas de interacción se establecen sólo para el estado límite último. Un diagrama de interacción se dibuja utilizando 2 curvas que constituyen un contorno continuo y cerrado llamado curva de interacción. El curso de estas curvas se basa en las ecuaciones de la resultante y el momento resultante, dependiendo en particular de los siguientes parámetros:

Diagramas de deformación del hormigón y del acero
Diagramas de tensiones del hormigón y del acero

Por lo tanto, para la sección dada (hormigón, armadura, posición de la armadura pasiva), las cantidades se definen sin acotación, basadas en los esfuerzos internos de cálculo N_Ed y M_EdG0.

ν_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

A_{c} = b \cdot h

ν_Ed	Effort normal réduit
A_c	Aire totale de la section de béton seul
b	Largeur de la section droite dans le plan de flexion
f_cd	Valeur de calcul de la résistance en compression du béton

Fuerza axial reducida

μ_{Ed} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{A_{c} \cdot h \cdot f_{cd}}

μ_Ed	Moment fléchissant réduit en G₀

Momento flector reducido en G0

ρ = \frac{A_{s} \cdot f_{yd}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

ρ	Pourcentage mécanique d’armatures
A_s	Section d’armatures
f_yd	Limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé

Porcentaje mecánico de armadura

La última ecuación nos permite determinar la sección de armadura necesaria interpolando los campos de curvas ρ del diagrama de interacción, utilizando el sistema de coordenadas ortonormal reducido (μ, υ).

Comparación de la teoría con el módulo adicional RF-CONCRETE Columns

Usando un ejemplo simple, comparamos los resultados en RF-CONCRETE Columns con las fórmulas teóricas descritas anteriormente.

Carga aplicada en el centro de gravedad del hormigón puro, de un elemento de una estructura arriostrada:
- Permanente:
  - _Ng = 85 kN
  - Mg = 90_kN.m
- Variable:
  - _Nq = 75 kN
  - _Mq = 80 kNm
Materiales:
- C 25/30 hormigón
- Acero: S 500
Relación de momentos en la base del pilar:
- |M01:| / |M02| = 1/3

3 Modelo de RFEM con cargas permanentes modeladas

Características del material

f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck}}{γ_{c}}

f_cd	Valeur de calcul de la résistance en compression du béton
α_cc	Facteur tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression
f_ck	Résistance caracteristique en compression du béton
γ_c	Coefficient partiel relatif au béton

Valor de cálculo de la resistencia a compresión del hormigón

_fcd = 1 ⋅ 25/1,5 = 16,67 MPa

f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}}

f_yk	Limite caractéristique d’élasticité de l’acier de béton armé
γ_s	Coefficient partiel relatif à l’acier de béton armé

Valor de cálculo del límite elástico del acero de armar

f_yd = 500/1,15 = 434,78 MPa

Estado límite último

Carga de cálculos en el estado límite último:
M_Ed = 1,35 ⋅ M_g + 1,5 ⋅ M_q
M_Ed = 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
N_Ed = 1,35 ⋅ norte_g + 1,5 ⋅ norte_q
N_Ed = 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

4 Visualización de cargas determinantes

Consideración de imperfecciones geométricas sin efectos de segundo orden en ELU

Esbeltez geométrica para elementos aislados, considerando el pilar insertado en un bloque de cimentación y coaccionado por una viga:
_l0 = √2/2 ⋅ l = √2/2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

5 Coeficientes de pandeo definidos por el usuario en los datos de entrada

Radio de giro en el plano paralelo al lado h = 55 cm
i_y = h/√12 = 0,55/√12 = 0,159 m

Radio de giro en el plano paralelo al lado h = 24 cm
i_z = b/√12 = 0,24/√12 = 0,069 m

Esbelteces
λ_y = 4,24/0,159 = 26,67 m
λ_z = 4,24/0,069 = 61,45 m

6 Visualización de los valores de esbeltez

Esbeltez límite:
De forma predeterminada, el programa tiene en cuenta los valores según los efectos de la fluencia para A, las armaduras iniciales definidas en RF-CONCRETE Columns para B y la relación de momentos en la cabeza y la base de la barra analizada para C. Sin embargo, es posible definir estos valores usted mismo:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1/3 = 1,37
n = (227,25 ⋅ 10^-3 )/(0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67) = 0,103
λ_lim = (20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37)/√(0,103) = 65,74
λ_y < λ_lim ⟹ cálculo de flexión combinada en el plano XZ
Cálculo de λ_z < λ_lim ⟹ para compresión simple en el plano XY

7 Visualización de los límites de la relación de esbeltez

Siendo los coeficientes de esbeltez inferiores a los valores límite, es inútil comprobar la parte para el pandeo, y es suficiente tener un cálculo para la flexión combinada sin tener en cuenta los efectos de segundo orden, bajo las siguientes tensiones de excentricidad:
_e0 =_e1 +_ei

Excentricidad debida a la carga computacional
_e1 = M_Ed/N_Ed
e₁: Excentricidad debida a la carga computacional
e1 =_241,50/227,25 = 1,063 m

Carga corregida para el cálculo de la flexión combinada

Pilar aislado de la estructura arriostrada:
θ0 =₁/200
_αh = 2/√6 = 0,816
_αm = √0,5 ⋅ (1 + 1/1) = 1
_θi = 0,816 ⋅ 1/200 = 0,0041
e_i = 0,0041 ⋅ 4,24/2 = 0,0087 m

∆ e_{0} = Max \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{50}{30} \end{cases} = Max \{\begin{array}{l} 20 mm \\ 1, 83 mm \end{array} = 20 mm

Sección recta con armadura simétrica

8 Detalles del cálculo de la excentricidad

Carga aplicada en el centro de gravedad de la sección de hormigón puro

_mi0 =_mi1 +_mii ≥_Δe0
e0 = 1,063 +_0,0087 = 1,072 m

Se respeta la excentricidad mínima.
M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

9 Visualización del momento determinante debido a la excentricidad

Diagrama de interacción para una sección rectangular con armadura simétrica en flexión combinada

ν_Ed = (227,25 ⋅ 10^-3 )/(0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67) = 0,103
_μEd = (243,61 ⋅ 10^-3 )/(0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67) = 0,201

El diagrama de interacción utilizado para determinar la armadura necesaria según las fuerzas reducidas ν_Ed, μ_Ed está accesible en los gráficos de los diagramas de interacción (Jean Perchat, Traité de béton armé,^3ª edición de LE MONITEUR, Francia, 2017).

En la salida gráfica, el valor encontrado se interpola entre las curvas de interacción ρ = 0,35 y ρ = 0,40, lo que da como resultado ρ = 0,375.
A_s = (0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67)/(434,78) ⋅ 10⁴ = 18,98 cm²

10 Armadura necesaria determinada por RF-CONCRETE Columns

La diferencia de 0,10 cm² encontrada para la armadura proviene de la precisión del ordenador en la interpolación de los valores del diagrama de interacción.