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M.Ing. Milan Gérard

2021-02-05

Cálculo de pilares de hormigón sometidos a flexión combinada con pilares RF-CONCRETE

Este artículo trata sobre los elementos cuya sección está sometida simultáneamente a un momento flector, un esfuerzo cortante y un esfuerzo axil de compresión o tracción. Sin embargo, en nuestro ejemplo no incluiremos la carga debida al esfuerzo cortante.

¿Qué es la flexión combinada?

La flexión combinada se designa por el sistema (M_G0, N) aplicado en un punto C, llamado centro de presiones. La distancia G₀ C se llama la excentricidad de la fuerza externa en relación con el centro de gravedad G₀ de la sección de hormigón puro.

En la flexión combinada, el valor del momento flector depende solo de este punto, donde se lleva a cabo la reducción de las fuerzas; aquí, es G₀.

e_{0} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{N_{Ed}}

e₀	excentricidad en relación al centro de gravedad de la sección de hormigón puro
Θ	Coeficiente de estabilidad
C_d	Factor de amplificación de la deformación según la tabla 12.2-1

Excentricidad en relación al centro de gravedad de la sección de hormigón puro

Lo primero que se debe hacer en la flexión combinada es encontrar la posición del centro de presiones calculando e₀.

Consideración de imperfecciones geométricas y efectos de segundo orden en U'

El análisis de elementos y estructuras debe tener en cuenta los efectos desfavorables de cualquier imperfección geométrica en la estructura, así como las desviaciones en la posición de las cargas. Las desviaciones en las dimensiones de las secciones' normalmente se tienen en cuenta mediante los coeficientes parciales de seguridad para los materiales.

Esbeltez y longitud eficaz de elementos aislados

λ = \frac{l_{0}}{i}

l_{0} = β \cdot l

λ	coeficiente de esbeltez
l₀	longitud eficaz determinada
i	radio de giro de la sección de hormigón no fisurada
β	coeficiente de longitud de pandeo
I_e	Factor de importancia, definido en la sección 11.5.1

Coeficiente de esbeltez

La imagen 01 muestra la posibilidad en RF-CONCRETE Columns de seleccionar el coeficiente de longitud de pandeo β mediante el modelado de las condiciones de apoyo de elementos aislados con sección constante y longitud libre l.

1 Valores predefinidos del coeficiente de longitud de pandeo alrededor del eje Y

Criterio de esbeltez para elementos aislados

Se supone que los efectos de segundo orden se pueden omitir si se verifica que el coeficiente de esbeltez es menor que el criterio de esbeltez.

λ < λ_{\lim}

λ_{\lim} = \frac{20 \cdot A \cdot B \cdot C}{\sqrt{n}} selon l ’ AN française

A = \frac{1}{1 + 0, 2 \cdot φ_{ef}} = 0, 7 si φ_{ef} est inconnu

B = \sqrt{1 + 2 \cdot ω} = 1, 1 si ω est inconnu

C = 1, 7 - r_{m} = 0, 7 si r_{m} est inconnu

n = \frac{N_{Ed}}{A_{C} \cdot f_{cd}}

r_{m} = \{\begin{cases} 1, si éléments non contreventés en général \\ 1, si éléments contreventés avec moments du premier ordre dus principalement à des imperfections ou à des charges transversales \\ \frac{M_{01}}{M_{02}} \leq 1, si autres cas \end{cases}

λ	criterio de esbeltez
λ_lim	esbeltez límite
φ_ef	coeficiente de fluencia eficaz
ω	cuantía mecánica de la armadura
r_m	Relación de momentos
M₀₁ , M₀₂	valores algebraicos de momentos de primer orden en ambos extremos del elemento

Criterio de esbeltez

Consideración de la fluencia

El efecto de la fluencia se debe tener en cuenta en el análisis de segundo orden, considerando tanto las condiciones generales de fluencia como la duración de la aplicación de diferentes cargas de una manera simplificada utilizando un coeficiente de fluencia eficaz.

φ_{ef} = φ (\infty, t_{0}) \cdot \frac{M_{0 E_{qp}}}{M_{0 Ed}}

φ_ef	coeficiente de fluencia eficaz
φ (∞, t₀ )	Valor final del coeficiente de fluencia
M_0Eqp	momento de servicio de primer orden bajo una combinación cuasipermanente de acciones
M_0Ed	momento último de primer orden bajo la combinación de cargas de cálculo (incluyendo imperfecciones geométricas)

Coeficiente de fluencia eficaz

2 Parámetros de fluencia en los datos de entrada

Muros y pilares aislados de estructuras arriostradas

En el caso de elementos aislados, el efecto de las imperfecciones se puede considerar como excentricidad e_i.

e_{i} = θ_{i} \cdot \frac{l_{0}}{2}

θ_{i} = θ_{0} \cdot α_{h} \cdot α_{m}

θ_{0} = \frac{1}{200}

\frac{2}{3} \leq α_{h} = \frac{2}{\sqrt{l}} \leq 1

α_{m} = \sqrt{0, 5 \cdot (1 + \frac{1}{m})}

e_i	excentricidad por imperfecciones
θ_i	inclinación general de la estructura
θ₀	valor base recomendado por NA
α_h	coeficiente de reducción relativo a la longitud
α_m	coeficiente de reducción relativo al número de elementos donde m es el número de elementos verticales que contribuyen al efecto total

Excentricidad debido a imperfecciones

Secciones rectas con armadura simétrica

Para tener en cuenta las desviaciones en las dimensiones de las secciones, se debe calcular el momento flector en el ELU:

M_{E {dG}_{0}} = M_{Ed} + N_{Ed} \cdot ∆ e_{0}

∆ e_{0} = Ma x \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{h}{30} : excentricité minimale requise \end{cases}

M_EdG0	Momento flector
M_ED	Valor de cálculo del momento flector
Δe₀	excentricidad mínima necesaria
h	altura de la sección recta en el plano de flexión

Momento flector

Cálculo de aceros utilizando 'diagramas de interacción

Los diagramas de interacción momento-fuerza normal son gráficos que permiten el cálculo o verificación rápidos de secciones rectas cuya forma y distribución de armadura se determinan de antemano. Los diagramas de interacción se establecen sólo para el estado límite último. Un diagrama de interacción se dibuja utilizando 2 curvas que constituyen un contorno continuo y cerrado llamado curva de interacción. El curso de estas curvas se basa en las ecuaciones de la resultante y el momento resultante, dependiendo en particular de los siguientes parámetros:

Diagramas de deformación del hormigón y del acero
Diagramas de tensiones del hormigón y del acero

Por lo tanto, para la sección dada (hormigón, armadura, posición de la armadura pasiva), las cantidades se definen sin acotación, basadas en los esfuerzos internos de cálculo N_Ed y M_EdG0.

ν_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

A_{c} = b \cdot h

ν_ED	fuerza axial reducida
A_c	área total de la sección de hormigón puro
b	ancho de la sección recta en el plano de flexión
f_cd	valor de cálculo de la resistencia a compresión del hormigón

Fuerza axial reducida

μ_{Ed} = \frac{M_{{EdG}_{0}}}{A_{c} \cdot h \cdot f_{cd}}

μ_ED	momento flector reducido en G₀

Momento flector reducido en G0

ρ = \frac{A_{s} \cdot f_{yd}}{A_{c} \cdot f_{cd}}

ρ	porcentaje mecánico de armadura
I_s	área de armadura
f_yd	límite elástico de cálculo del acero para hormigón armado

Porcentaje mecánico de armadura

La última ecuación nos permite determinar la sección de armadura necesaria interpolando los campos de curvas ρ del diagrama de interacción, utilizando el sistema de coordenadas ortonormal reducido (μ, υ).

Comparación de la teoría con el módulo adicional RF-CONCRETE Columns

Usando un ejemplo simple, comparamos los resultados en RF-CONCRETE Columns con las fórmulas teóricas descritas anteriormente.

Carga aplicada en el centro de gravedad del hormigón puro, de un elemento de una estructura arriostrada:
- Permanente:
  - _Ng = 85 kN
  - Mg = 90_kN.m
- Variable:
  - _Nq = 75 kN
  - _Mq = 80 kNm
Materiales:
- C 25/30 hormigón
- Acero: S 500
Relación de momentos en la base del pilar:
- |M01:| / |M02| = 1/3

3 Modelo de RFEM con cargas permanentes modeladas

Características del material

f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck}}{γ_{c}}

f_cd	Valor de cálculo de la resistencia a compresión del hormigón
α_cc	Coeficiente que considera las acciones de larga duración en la resistencia a compresión
f_ck	resistencia característica a compresión del hormigón
γ_c	Coeficiente parcial de seguridad del hormigón

Valor de cálculo de la resistencia a compresión del hormigón

_fcd = 1 ⋅ 25/1,5 = 16,67 MPa

f_{y d} = \frac{f_{y k}}{γ_{s}}

f_yk	límite elástico característico del acero de armadura
γ_s	coeficiente parcial de seguridad relativo al acero de la armadura

Valor de cálculo del límite elástico del acero de armar

f_yd = 500/1,15 = 434,78 MPa

Estado límite último

Carga de cálculos en el estado límite último:
M_Ed = 1,35 ⋅ M_g + 1,5 ⋅ M_q
M_Ed = 1,35 ⋅ 90 + 1,5 ⋅ 80 = 241,50 kNm
N_Ed = 1,35 ⋅ norte_g + 1,5 ⋅ norte_q
N_Ed = 1,35 ⋅ 85 + 1,5 ⋅ 75 = 227,25 kN

4 Visualización de cargas determinantes

Consideración de imperfecciones geométricas sin efectos de segundo orden en ELU

Esbeltez geométrica para elementos aislados, considerando el pilar insertado en un bloque de cimentación y coaccionado por una viga:
_l0 = √2/2 ⋅ l = √2/2 ⋅ 6,00 = 4,24 m

5 Coeficientes de pandeo definidos por el usuario en los datos de entrada

Radio de giro en el plano paralelo al lado h = 55 cm
i_y = h/√12 = 0,55/√12 = 0,159 m

Radio de giro en el plano paralelo al lado h = 24 cm
i_z = b/√12 = 0,24/√12 = 0,069 m

Esbelteces
λ_y = 4,24/0,159 = 26,67 m
λ_z = 4,24/0,069 = 61,45 m

6 Visualización de los valores de esbeltez

Esbeltez límite:
De forma predeterminada, el programa tiene en cuenta los valores según los efectos de la fluencia para A, las armaduras iniciales definidas en RF-CONCRETE Columns para B y la relación de momentos en la cabeza y la base de la barra analizada para C. Sin embargo, es posible definir estos valores usted mismo:
A = 0,7
B = 1,1
C = 1,7 - 1/3 = 1,37
n = (227,25 ⋅ 10^-3 )/(0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67) = 0,103
λ_lim = (20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 1,37)/√(0,103) = 65,74
λ_y < λ_lim ⟹ cálculo de flexión combinada en el plano XZ
Cálculo de λ_z < λ_lim ⟹ para compresión simple en el plano XY

7 Visualización de los límites de la relación de esbeltez

Siendo los coeficientes de esbeltez inferiores a los valores límite, es inútil comprobar la parte para el pandeo, y es suficiente tener un cálculo para la flexión combinada sin tener en cuenta los efectos de segundo orden, bajo las siguientes tensiones de excentricidad:
_e0 =_e1 +_ei

Excentricidad debida a la carga computacional
_e1 = M_Ed/N_Ed
e₁: Excentricidad debida a la carga computacional
e1 =_241,50/227,25 = 1,063 m

Carga corregida para el cálculo de la flexión combinada

Pilar aislado de la estructura arriostrada:
θ0 =₁/200
_αh = 2/√6 = 0,816
_αm = √0,5 ⋅ (1 + 1/1) = 1
_θi = 0,816 ⋅ 1/200 = 0,0041
e_i = 0,0041 ⋅ 4,24/2 = 0,0087 m

∆ e_{0} = Max \{\begin{cases} 20 mm \\ \frac{50}{30} \end{cases} = Max \{\begin{array}{l} 20 mm \\ 1, 83 mm \end{array} = 20 mm

Sección recta con armadura simétrica

8 Detalles del cálculo de la excentricidad

Carga aplicada en el centro de gravedad de la sección de hormigón puro

_mi0 =_mi1 +_mii ≥_Δe0
e0 = 1,063 +_0,0087 = 1,072 m

Se respeta la excentricidad mínima.
M_EdG0 = 227,25 ⋅ 1,072 = 243,61 kNm

9 Visualización del momento determinante debido a la excentricidad

Diagrama de interacción para una sección rectangular con armadura simétrica en flexión combinada

ν_Ed = (227,25 ⋅ 10^-3 )/(0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67) = 0,103
_μEd = (243,61 ⋅ 10^-3 )/(0,24 ⋅ 0,55² ⋅ 16,67) = 0,201

El diagrama de interacción utilizado para determinar la armadura necesaria según las fuerzas reducidas ν_Ed, μ_Ed está accesible en los gráficos de los diagramas de interacción (Jean Perchat, Traité de béton armé,^3ª edición de LE MONITEUR, Francia, 2017).

En la salida gráfica, el valor encontrado se interpola entre las curvas de interacción ρ = 0,35 y ρ = 0,40, lo que da como resultado ρ = 0,375.
A_s = (0,375 ⋅ 0,24 ⋅ 0,55 ⋅ 16,67)/(434,78) ⋅ 10⁴ = 18,98 cm²

10 Armadura necesaria determinada por RF-CONCRETE Columns

La diferencia de 0,10 cm² encontrada para la armadura proviene de la precisión del ordenador en la interpolación de los valores del diagrama de interacción.