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001525

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2018-06-27

Leggi dei materiali ortotropi

Le leggi dei materiali ortotropi sono utilizzate ovunque i materiali siano disposti in base al loro carico. Gli esempi includono plastica fibrorinforzata, lamiere trapezoidali, cemento armato e legno.

La legge di Hooke è solitamente inclusa per i materiali ortotropi

ν = \frac{E}{2 G} - 1 \leq 0, 5

Formula 1

- 1 < ν < 0, 5

Formula 2

non è più valido.

deformazione trasversale

I seguenti parametri del materiale si riferiscono alle rigidezze bidimensionali e, se non diversamente indicato, al materiale del legno. La base è un sistema di assi locale, come mostrato nella Figura 01.

E_x = rigidezza nella direzione x locale della superficie
E y = rigidezza nella direzione locale y della superficie
G_xz = rigidezza a taglio nella direzione x locale della superficie (direzione dello spessore della piastra)
G_yz = rigidezza a taglio nella direzione locale y della superficie (direzione dello spessore della piastra)
G_xy = area nel piano di rigidezza a taglio
ν_xy = deformazione trasversale in direzione x
ν_yx = deformazione trasversale in direzione y

Le tensioni nella Figura 02 sono relative alle rigidezze qui menzionate.

tensioni tangenziali

La legge materiale è soggetta alle seguenti regole.

Equazione 1:

\frac{ν_{yx}}{E_{y}} = \frac{ν_{xy}}{E_{x}}

Formula 3

Equazione 2:

ν_{xy} ⩾ ν_{yx}

Formula 4

Equazione 3:

ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}} = \frac{E_{x}}{E_{y}} \cdot ν_{yx}

Formula 5

Equazione 4 (rigidezze nell'area nel piano):

[\begin{matrix} ε_{x} \\ ε_{y} \\ γ_{xy} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{ν_{xy}}{E_{x}} & 0 \\ - \frac{ν_{xy}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}} & 0 \\ 0 & 0 & G_{xy} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} σ_{x} \\ σ_{y} \\ τ_{xy} \end{matrix}]

Formula 6

Il rapporto delle deformazioni nelle equazioni sopra menzionate sottolinea le relazioni nella Figura 01.

Le rigidezze nell'area nel piano sono calcolate come segue.

Equazione 5:

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & 0 \\ d_{22, i} & 0 \\ sym & d_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{xy, i} E_{y, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ sym & G_{xy, i} \end{matrix}]

Formula 7

Deformazione trasversale ν

Come spiegato nella Figura 01, le deformazioni e le tensioni modificate in questa direzione risultano dal comportamento più liscio del materiale nella rispettiva direzione.

Rapporto delle deformazioni:

Equazione 6:

ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}} \to ε_{y} = - ν_{x} \cdot ε_{x}

Formula 8

Equazione 7:

ν_{yx} = - \frac{ε_{x}}{ε_{y}} \to ε_{x} = - ν_{y} \cdot ε_{y}

Formula 9

Per

σ_{x} \neq 0, σ_{y} = 0, σ_{xy} = 0

Formula 10

le seguenti equazioni risultano con la legge di Hooke.

Equazione 8:

ε_{x} = \frac{σ_{x}}{E_{x}}

Formula 11

Equazione 9:

ε_{y} = \frac{σ_{y}}{E_{y}}

Formula 12

Equazione 10:

σ_{y} = ε_{y} \cdot E_{y} mit E_{y} = \frac{ν_{yx} \cdot E_{x}}{ν_{xy}} \to σ_{y} = ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot E_{x}}{ν_{xy}}

Formula 13

Equazione 11:

\to σ_{y} = ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot \frac{σ_{x}}{ε_{x}}}{ν_{xy}}

Formula 14

Equazione 12:

\to ε_{y} = \frac{ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot \frac{σ_{x}}{ε_{x}}}{ν_{xy}}}{E_{y}} mit ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}}

Formula 15

Equazione 13:

\to ε_{y} = \frac{ε_{y} \cdot ν_{yx} \cdot σ_{x}}{ε_{x} \cdot (- \frac{ε_{y}}{ε_{x}}) \cdot E_{y}} = - \frac{ν_{yx} \cdot σ_{x}}{E_{y}}

Formula 16

Matrice di rigidezza

Calcolo della matrice di rigidezza globale della piastra.

Equazione 14:

D = [\begin{matrix} D_{11} & D_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{33} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{44} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{55} & 0 & 0 & 0 \\ sym & D_{66} & 0 & 0 \\ D_{77} & 0 \\ D_{88} \end{matrix}]

Formula 17

Componenti piegati:

Equazione 15:

D_{11} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{11} \hat{=} \frac{E_{x} d^{3}}{12 (1 - ν_{xy} ν_{yx})}

Formula 18

Equazione 16:

D_{12} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{12} \hat{=} sgn (ν_{xy}) \sqrt{ν_{xy} ν_{yx} D_{11} D_{22}}

Formula 19

Equazione 17:

D_{22} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{22} \hat{=} \frac{E_{y} d^{3}}{12 (1 - ν_{xy} ν_{yx})}

Formula 20

Equazione 18:

D_{33} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{33} \hat{=} G_{xy} \frac{d^{3}}{12}

Formula 21

Componenti della membrana:

Equazione 19:

D_{66} = d \cdot d_{11} \hat{=} \frac{E_{x} d}{1 - ν_{xy} ν_{yx}}

Formula 22

Equazione 20:

D_{67} = d \cdot d_{12} \hat{=} sgn (ν_{xy}) \sqrt{ν_{xy} ν_{yx} D_{66} D_{77}}

Formula 23

Equazione 21:

D_{77} = d \cdot d_{22} \hat{=} \frac{E_{y} d}{1 - ν_{xy} ν_{yx}}

Formula 24

Equazione 22:

D_{88} = d \cdot d_{33} \hat{=} G_{xy} d

Formula 25

Componenti di taglio:

Equazione 23:

D_{44} = \frac{5}{6} G_{xz} \cdot d

Formula 26

Equazione 24:

D_{55} = \frac{5}{6} G_{yz} \cdot d

Formula 27

Un prerequisito per queste equazioni è che la matrice di rigidezza sia definita positiva, cioè che tutti gli autovalori della matrice siano positivi.

Per questo motivo, RFEM verifica, tra le altre cose, la definizione della deformazione trasversale secondo la seguente equazione.

Equazione 25:

ν_{xy} \leq 0, 999 \cdot \sqrt{\frac{E_{x}}{E_{y}}}

Formula 28

Esempio

Il comportamento del materiale ortotropo sarà spiegato con il seguente esempio (Figura 03). Un materiale ortotropo sarà confrontato con un materiale isotropo. Inoltre, la rigidezza della piastra ortotropa sarà definita con l'elevata rigidezza nella direzione x e nella direzione y.

Sistema

Struttura:

Spessore piastra 200 mm
Materiale C 24
Rigidezze ortotrope

$\begin{array}{l} E_{x} = 1.100, 0 kN / {cm}^{2} \\ E_{y} = 37, 0 kN / {cm}^{2} \\ G_{y} = 6, 9 kN / {cm}^{2} \\ G_{x} = 69, 0 kN / {cm}^{2} \\ G_{xy} = 69, 0 kN / {cm}^{2} \\ ν_{xy} = 2, 52 \\ ν_{yx} = 0, 085 \end{array}$

Formula 29
Rigidezze isotrope

$\begin{array}{l} E = 1.100 kN / {cm}^{2} \\ G = 500 kN / {cm}^{2} \\ ν = 0, 1 \end{array}$

Formula 30
Dimensione w = 2,0 m, l = 4,0 m
Carico 20 kN/m²
Dimensione della maglia EF 50 cm

La struttura è vincolata rigidamente in direzione z verticale. Le condizioni del vincolo esterno nelle direzioni x e y sono state selezionate in modo tale che non si verifichino effetti dovuti al vincolo.

Il calcolo viene eseguito secondo l'analisi statica lineare con il comportamento elastico lineare del materiale e le condizioni del vincolo esterno.

La seguente deformazione trasversale risulta dalla legge di Hooke, insieme ai valori dati.

Equazione 26:

ν = (\sqrt{E_{x} \cdot E_{y}}) / (2 G) - 1 = 6, 97

Formula 31

Questa elevata deformazione trasversale è impossibile con il modello di materiale selezionato. Con le equazioni da [1] , i valori possono, tuttavia, essere modificati.

Equazione 27:

ν_{xy} \approx (\frac{\sqrt{E_{x} E_{y}}}{2 G_{xy}} - 1) \cdot \sqrt{\frac{E_{x}}{E_{y}}}

Formula 32

Equazione 28:

ν_{yx} \approx (\frac{\sqrt{E_{x} E_{y}}}{2 G_{xy}} - 1) \cdot \sqrt{\frac{E_{y}}{E_{x}}}

Formula 33

Equazione 29:

ν_{xy} = (\frac{\sqrt{1.100 \cdot 37}}{2 \cdot 69} - 1) \sqrt{\frac{1.100}{37}} = 2, 52

Formula 34

Equazione 30:

ν_{xy} = (\frac{\sqrt{1.100 \cdot 37}}{2 \cdot 69} - 1) \sqrt{\frac{37}{1.100}} = 0, 085

Formula 35

Superfici con rigidezze

Risultati:
Come previsto, le deformazioni maggiori si verificano con l'orientamento delle rigidezze nella direzione y (Figura 06). La reazione del vincolo esterno e il momento della piastra isotropa sono visualizzati nella Figura 05.

Risultati materiale isotropo

Poiché la piastra con un'elevata rigidezza nella direzione y (E_y = 1.100 kN/cm²) ha un'elevata resistenza in questa direzione, anche le reazioni del vincolo esterno sono più elevate (125,4 kNm rispetto a 58,3 kNm).

Deformazioni e reazioni vincolari di placche ortotropiche

I momenti flettenti massimi risultanti per le piastre ortotrope sono uguali a m_x con la rigidezza in direzione x e per m_y con un'elevata rigidezza in direzione y.

Per la piastra con elevata rigidezza in direzione y, il momento flettente massimo m_y è quasi al centro della piastra (Figura 07).

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Variazione della deformazione trasversale

La deformazione trasversale secondo i diagrammi di deformazione può raggiungere i valori massimo e minimo elencati nella tabella per un materiale di resistenza C24.

	Max.	Min.
ν_xy	5,447	-5,447
ν_yx	0,183	-0,183

La piastra introdotta all'inizio con l'elevata rigidezza (E_x = 11.000) sarà definita con queste elevate deformazioni trasversali per questo scopo. Le altre rigidezze della piastra, tuttavia, rimangono invariate.

La Figura 08 mostra i risultati della variazione di ν_xy = da 5,44 a -5,44.

Per ν_xy = 5.44, le reazioni del vincolo esterno sono qualitativamente identiche al comportamento isotropo del materiale. Il momento flettente aumenta da m_x = 18,1 kNm/m (piastra isotropa) a m_x = 34,9 kNm/m (piastra ortotropa).

Rispetto alla piastra ortotropa con deformazioni trasversali comuni (ν_xy = 2.5), il momento flettente è leggermente ridotto.

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, Centro: νxy = 0, a destra: νxy = -5,44)

Con ν_xy = 0, l'ampiezza elevata della reazione vincolare all'estremità libera della piastra viene spostata a un valore costante di 43 kN/m.

Il momento m_x aumenta a 38,1 kNm/m. Rispetto al risultato precedente (ν_xy =5.44), qui è mostrata l'influenza della deformazione trasversale. Per ν =0, nessuna deformazione o distorsione è causata dalla deformazione trasversale.

Per ν_xy = -5.44, viene mostrata una rottura post-critica all'estremità libera della piastra e le reazioni del vincolo diventano negative. Il momento massimo si verifica al centro della piastra con 59,5 kNm/m.

La piastra ora si comporta più di una piastra sollecitata uniassiale, senza il terzo vincolo in direzione longitudinale.

Questo comportamento può essere spiegato con la Figura 01 e la relazione qui elencata.

A causa dell'elevata deformazione trasversale negativa (ν_xy = -5.44), la piastra è completamente sovrapressata sul bordo libero e quindi non può essere deformata.

L'influenza dell'ortotropia nella direzione y è quasi nulla qui (E_y ≈ 0).

Conclusione

Quasi tutti i parametri dei materiali possono essere definiti con il modello di materiale ortotropo in RFEM. Risultati molto diversi sono possibili con la variazione delle deformazioni trasversali. Una deformazione trasversale dopo la modifica dei valori secondo [1] risulta in valori che si trovano vicini alla soluzione per una trave a campata singola.

Equazione 31:

M_{y} = \frac{q l^{2}}{8} = 40 kNm

Formula 36

Deformazioni trasversali negative eccessivamente elevate mostrano un sistema strutturale modificato che non corrisponde più alla modellazione.

Autore

Il signor Kuhn è responsabile dello sviluppo di prodotti per strutture in legno e fornisce supporto tecnico ai nostri clienti.

Link

Analisi strutturale non lineare

Bibliografia

Huber, M. T : The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12, Seiten 354 - 360, und 13, Seiten 392 - 395. 1923

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