14569x

27.6.2018

Ortotropní materiálové modely

Ortotropní materiálové modely se uplatňují všude tam, kde jsou materiály uspořádány podle svého namáhání. Příkladem jsou plasty zesílené vlákny, trapézové plechy, vyztužený beton nebo dřevo.

Pro ortotropní materiály již obvykle používaný Hookův zákon

u = \frac{E}{2 G} - 1 \leq 0, 5

Vzorec 1

- 1 < u < 0, 5

Vzorec 2

není platný.

Příčné protažení

Následující materiálové parametry se vztahují na dvourozměrnou tuhost a, pokud není uvedeno jinak, na materiál dřevo. Jako základ stanovíme lokální osový systém, který je znázorněn na obr. 01.

E_x = tuhost v lokálním směru x plochy
E_y = tuhost v lokálním směru y plochy
G_xz = tuhost ve smyku v lokálním směru x plochy (směr tloušťky desky)
G_yz = tuhost ve smyku v lokálním směru y plochy (směr tloušťky desky)
G_xy = tuhost ve smyku v rovině desky
ν_xy = příčné protažení ve směru x
ν_yx = příčné protažení ve směru y

Napětí znázorněná na obr. 02 se vztahují k výše uvedeným tuhostem.

Smyková napětí

Materiálový model stanovuje následující pravidla.

Rovnice 1:

\frac{ν_{yx}}{E_{y}} = \frac{ν_{xy}}{E_{x}}

Vzorec 3

Rovnice 2:

ν_{xy} ⩾ ν_{yx}

Vzorec 4

Rovnice 3:

ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}} = \frac{E_{x}}{E_{y}} \cdot ν_{yx}

Vzorec 5

Rovnice 4 (tuhosti v rovině desky):

[\begin{matrix} ε_{x} \\ ε_{y} \\ γ_{xy} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{ν_{xy}}{E_{x}} & 0 \\ - \frac{ν_{xy}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}} & 0 \\ 0 & 0 & G_{xy} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} σ_{x} \\ σ_{y} \\ τ_{xy} \end{matrix}]

Vzorec 6

Poměr protažení ve výše uvedených rovnicích podtrhuje vztahy na obr. 01.

Tuhosti v rovině desky se vypočítají následovně.

Rovnice 5:

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & 0 \\ d_{22, i} & 0 \\ sym & d_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{xy, i} E_{y, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ sym & G_{xy, i} \end{matrix}]

Vzorec 7

Příčné protažení ν

Jak je již zřejmé z obrázku 01, vlivem měkčích vlastností materiálu v daném směru se mění deformace a napětí v příslušném směru.

Poměr protažení:

Rovnice 6:

ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}} \to ε_{y} = - ν_{x} \cdot ε_{x}

Vzorec 8

Rovnice 7:

ν_{yx} = - \frac{ε_{x}}{ε_{y}} \to ε_{x} = - ν_{y} \cdot ε_{y}

Vzorec 9

Krátký dotaz - rychlá odpověď:

σ_{x} e q 0, σ_{y} = 0, σ_{xy} = 0

Vzorec 10

z toho plynou následující rovnice podle Hookova zákona.

Rovnice 8:

ε_{x} = \frac{σ_{x}}{E_{x}}

Vzorec 11

Rovnice 9:

ε_{y} = \frac{σ_{y}}{E_{y}}

Vzorec 12

Rovnice 10:

σ_{y} = ε_{y} \cdot E_{y} kde E_{y} = \frac{ν_{yx} \cdot E_{x}}{ν_{xy}} \to σ_{y} = ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot E_{x}}{ν_{xy}}

Vzorec 13

Rovnice 11:

\to σ_{y} = ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot \frac{σ_{x}}{ε_{x}}}{ν_{xy}}

Vzorec 14

Rovnice 12:

\to ε_{y} = \frac{ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot \frac{σ_{x}}{ε_{x}}}{ν_{xy}}}{E_{y}} kde ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}}

Vzorec 15

Rovnice 13:

\to ε_{y} = \frac{ε_{y} \cdot ν_{yx} \cdot σ_{x}}{ε_{x} \cdot (- \frac{ε_{y}}{ε_{x}}) \cdot E_{y}} = - \frac{ν_{yx} \cdot σ_{x}}{E_{y}}

Vzorec 16

Matice tuhosti

Výpočet globální matice tuhosti desky

Rovnice 14:

D = [\begin{matrix} D_{11} & D_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{33} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{44} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{55} & 0 & 0 & 0 \\ sym & D_{66} & 0 & 0 \\ D_{77} & 0 \\ D_{88} \end{matrix}]

Vzorec 17

Ohybové složky:

Rovnice 15:

D_{11} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{11} \hat{=} \frac{E_{x} d^{3}}{12 (1 - ν_{xy} ν_{yx})}

Vzorec 18

Rovnice 16:

D_{12} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{12} \hat{=} sgn (ν_{xy}) \sqrt{ν_{xy} ν_{yx} D_{11} D_{22}}

Vzorec 19

Rovnice 17:

D_{22} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{22} \hat{=} \frac{E_{y} d^{3}}{12 (1 - ν_{xy} ν_{yx})}

Vzorec 20

Rovnice 18:

D_{33} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{33} \hat{=} G_{xy} \frac{d^{3}}{12}

Vzorec 21

Membránové složky:

Rovnice 19:

D_{66} = d \cdot d_{11} \hat{=} \frac{E_{x} d}{1 - ν_{xy} ν_{yx}}

Vzorec 22

Rovnice 20:

D_{67} = d \cdot d_{12} \hat{=} sgn (ν_{xy}) \sqrt{ν_{xy} ν_{yx} D_{66} D_{77}}

Vzorec 23

Rovnice 21:

D_{77} = d \cdot d_{22} \hat{=} \frac{E_{y} d}{1 - ν_{xy} ν_{yx}}

Vzorec 24

Rovnice 22:

D_{88} = d \cdot d_{33} \hat{=} G_{xy} d

Vzorec 25

Smykové složky:

Rovnice 23:

D_{44} = \frac{5}{6} G_{xz} \cdot d

Vzorec 26

Rovnice 24:

D_{55} = \frac{5}{6} G_{yz} \cdot d

Vzorec 27

Předpokladem platnosti těchto rovnic je samozřejmě kladná matice tuhosti, tj. všechna vlastní čísla matice jsou kladná.

RFEM proto mimo jiné ověří zadání příčného protažení pomocí následující rovnice.

Rovnice 25:

ν_{xy} \leq 0, 999 \cdot \sqrt{\frac{E_{x}}{E_{y}}}

Vzorec 28

Příklad použití

Na následujícím příkladu (obr. 03) si vysvětlíme ortotropní chování materiálu. Porovnáme přitom ortotropní materiál s izotropním materiálem. U ortotropní desky navíc zadáme vysokou tuhost jednou ve směru x a podruhé ve směru y.

Systém

Konstrukce:

Tloušťka desky 200 mm
Materiál C24
Ortotropní tuhosti

$\begin{array}{l} E_{x} = 1100, 0 kN / {cm}^{2} \\ E_{y} = 37, 0 kN / {cm}^{2} \\ G_{y} = 6, 9 kN / {cm}^{2} \\ G_{x} = 69, 0 kN / {cm}^{2} \\ G_{xy} = 69, 0 kN / {cm}^{2} \\ u_{xy} = 2, 52 \\ u_{yx} = 0, 085 \end{array}$

Vzorec 29
Izotropní tuhosti

$\begin{array}{l} E = 1100 kN / {cm}^{2} \\ G = 500 kN / {cm}^{2} \\ u = 0, 1 \end{array}$

Vzorec 30
Rozměry b = 2,0 m, l = 4,0 m
Zatížení 20 kN/m²
Velikost sítě konečných prvků 50 cm

Podepření konstrukce zamezuje posunu ve svislém směru z. Podporové podmínky ve směru x a y byly zvoleny tak, aby nedocházelo k žádným vynuceným přetvořením.

Výpočet proběhne podle teorie prvního řádu se zohledněním lineárně pružného chování materiálu a příslušných podporových podmínek.

Podle Hookova zákona se pro zadané hodnoty stanoví následující příčné protažení.

Rovnice 26:

ν = (\sqrt{E_{x} \cdot E_{y}}) / (2 G) - 1 = 6, 97

Vzorec 31

Takto vysoké příčné protažení není v případě zvoleného materiálového modelu možné. Pomocí rovnic z [1] lze ovšem hodnoty upravit.

Rovnice 27:

ν_{xy} \approx (\frac{\sqrt{E_{x} E_{y}}}{2 G_{xy}} - 1) \cdot \sqrt{\frac{E_{x}}{E_{y}}}

Vzorec 32

Rovnice 28:

ν_{yx} \approx (\frac{\sqrt{E_{x} E_{y}}}{2 G_{xy}} - 1) \cdot \sqrt{\frac{E_{y}}{E_{x}}}

Vzorec 33

Rovnice 29:

ν_{xy} = (\frac{\sqrt{1100 \cdot 37}}{2 \cdot 69} - 1) \sqrt{\frac{1100}{37}} = 2, 52

Vzorec 34

Rovnice 30:

ν_{xy} = (\frac{\sqrt{1100 \cdot 37}}{2 \cdot 69} - 1) \sqrt{\frac{37}{1100}} = 0, 085

Vzorec 35

Plochy s příslušnými tuhostmi

Výsledky:
Podle očekávání vycházejí největší výsledné deformace, pokud jsou tuhosti orientovány ve směru y (obr. 06). Podporové reakce a moment v izotropní desce jsou znázorněny na obr. 05.

Výsledky izotropního materiálu

Vzhledem k tomu, že deska s vysokou tuhostí ve směru y (E_y = 1100 kN/cm²) vykazuje v tomto směru vysokou únosnost, jsou tu také reakce vyšší (125,4 kNm ku 58,3 kNm).

Deformace a podporové reakce u ortotropních desek

Maximální ohybové momenty jsou u ortotropních desek obdobné v případě m_x s tuhostí ve směru x a v případě m_y s vyšší tuhostí ve směru y.

Deska s vysokou tuhostí ve směru y vykazuje maximální ohybový moment m_y téměř ve svém středu (obr. 07).

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Variabilita příčného protažení

Příčné protažení může podle vztahů pro přetvoření u materiálu s pevností C24 dosahovat maximálních a minimálních hodnot uvedených v tabulce.

	Max.	Min.
ν_xy	5,447	-5,447
ν_yx	0,183	-0,183

První definovaná deska s vysokou tuhostí (E_x = 11 000) se proto zadá s danými vysokými hodnotami příčného protažení. Ostatní tuhosti ovšem u desky zůstávají beze změny.

Na obr. 08 jsou uvedeny výsledky pro rozsah ν_xy od 5,44 do -5,44 .

V případě ν_xy = 5,44 reakce kvalitativně odpovídají izotropnímu chování materiálu. Ohybový moment roste od m_x = 18,1 kNm/m (izotropní deska) do m_x = 34,9 kNm/m (ortotropní deska).

Oproti ortotropní desce s obvyklým příčným protažením (ν_xy = 2,5) se ohybový moment lehce snižuje.

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, uprostřed: νxy = 0, vpravo: νxy = -5,44)

Při ν_xy = 0 se vysoká hodnota podporové reakce na volném konci desky rozloží do konstatní hodnoty 43 kN/m.

Moment m_x se zvýší na 38,1 kNm/m. Ve srovnání s předchozím výsledkem (ν_xy =5,44) se tu projevuje vliv příčného protažení. Při ν =0 nevzniká žádná deformace ani přetvoření v důsledku příčného protažení.

V případě ν_xy = -5,44 dochází k porušení na volném konci desky a podporové reakce přecházejí do záporných hodnot. Maximální moment, který dosahuje 59,5 kNm/m, lze pozorovat ve středu desky.

Deska se nyní chová spíše jako deska nosná v jednom směru bez třetí podpory ve svém podélném směru.

Na obr. 01 a zde znázorněných vztazích si můžeme toto chování vysvětlit.

Kvůli vysokému zápornému příčnému protažení (ν_xy = -5,44) je deska na volném okraji zcela přetížena, a nemůže se proto deformovat.

Vliv ortotropie ve směru y je přitom téměř nulový (E_y ≈ 0).

Shrnutí

Ortotropní materiálový model v programu RFEM umožňuje zadat takřka libovolné parametry materiálů. V důsledku variability příčného protažení můžeme dosáhnout značně odlišných výsledků. Příčné protažení po úpravě hodnot podle [1] vede k hodnotám, které se blíží řešení u prostého nosníku.

Rovnice 31:

M_{y} = \frac{q l^{2}}{8} = 40 kNm

Vzorec 36

Příliš vysoká záporná příčná protažení poukazují na upravený statický systém, který již neodpovídá příslušnému modelu.

Autor

Ing. Kuhn je zodpovědný za vývoj produktů pro dřevěné konstrukce a poskytuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy

Výkonné nástroje pro rychlé a intuitivní modelování v programu RFEM

Reference

Huber, M. T : The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12, Seiten 354 - 360, und 13, Seiten 392 - 395. 1923

Stahování

Model 1 v programu RFEM

472 KB

Model 2 v programu RFEM

460 KB

Máte nějaké otázky?

Videa

FAQ

FAQ 005037 | Jsou modely a prezentace ze semináře z roku 2018 volně k dispozici a můžete mi je prosím poslat?

Délka: 00:00:06 min

Databáze znalostí

KB 000863 | Definice neúčinnosti podpory

Délka: 00:00:42 min

Databáze znalostí

KB 00693 | Typ prutu "Pružina"

Délka: 00:00:27 min

Databáze znalostí

KB 000861 | Deaktivace nelinearit v modelu

Délka: 00:00:14 min

Databáze znalostí

KB 000670 | Uložení a import diagramů pro klouby na koncích prutů

Délka: 00:00:34 min

Databáze znalostí

KB 000583 | Elasticko-plastický 2D/3D materiálový model

Délka: 00:00:42 min

Databáze znalostí

KB 000601 | Nelineární elastický materiálový model

Délka: 00:00:40 min

Databáze znalostí

KB 000968 | Podmínky plasticity v izotropním nelineárním elastickém materiálovém modelu

Délka: 00:00:43 min

FAQ

FAQ 004898 | Při zadávání materiálu se mi zobrazí upozornění 1136 a nemohu pokračovat v práci ...

Délka: 00:00:39 min

Seznam videí

Modely ke stažení

3565x

290x

Patka sloupu ocelové konstrukce

Model 004588 | Kotevní deska dřevěného sloupu

748x

64x

Kotevní deska dřevěného sloupu

353x

16x

Neoprenová podpora

410x

18x

Spojení ocel-dřevo

315x

18x

Kloubová kovová základna

410x

20x

Přípoj dřevěných nosníků

227x

Kruhové spojení HSS profilů

499x

Verifikační příklad NAFEMS NL07 | 1

446x

Verifikační příklad NAFEMS NL07 | 2

Články z databáze znalostí

Nelineární podpora "Neúčinnost vše, pokud PZ 'záporné"

V programech RFEM a RSTAB lze podpory, které nepřenášejí zatížení pouze v tlaku nebo v tahu, definovat jako nelineární podpory. Pro uživatele není vždy snadné zvolit správnou nelinearitu "neúčinná v tahu" nebo "neúčinná v tlaku".

Přečíst si více

Programy RFEM 5 nebo RSTAB 8 nabízejí při zadávání typu prutu možnost "Pružina".

Přečíst si více

Pokud jsou v modelu použity jakékoli nelinearity, jako například neúčinné podpory/základy, nelineární pruty nebo kontaktní tělesa, je možné je deaktivovat v globálních parametrech výpočtu.

Přečíst si více

Uložení a import diagramů pro klouby na koncích prutů

V programech RFEM 5 a RSTAB 8 lze přiřadit nelinearity kloubům na konci prutu. Kromě nelinearit „Pevný, je‑li...“ a „Částečná účinnost“ můžete také zvolit „Diagram“. Pokud zvolíte možnost „Diagram“, je třeba zadat odpovídající nastavení pro působení kloubu na konci prutu. Pro jednotlivé definiční body je nezbytné určit souřadnice hodnot (deformace nebo pootočení a na nich závislé vnitřní síly), které definují kloub.

Přečíst si více

Screenshoty

Příčné protažení

Smyková napětí

Systém

Plochy s příslušnými tuhostmi

Výsledky izotropního materiálu

Deformace a podporové reakce u ortotropních desek

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, uprostřed: νxy = 0, vpravo: νxy = -5,44)

Železobetonová deska s žebrem

Funkce programů

U kloubů na koncích prutů a u podpor lze zadat nelinearity, jako je tečení, tření, kolaps, prokluz atd. K dispozici jsou dále zvláštní dialogy, které slouží ke stanovení tuhosti sloupů a stěn ze zadaných geometrických údajů.

Přečíst si více

Funkce 002421 | Zobrazení výsledných hodnot na izoliniích

Na izoliniích lze zobrazit výsledné hodnoty deformací, vnitřních sil, napětí atd.

Přečíst si více

Izometrické zobrazení prostorové plasticity (zdroj: Důvodová zpráva k výzkumnému projektu "DDMaS - Digitalizace posouzení zděných konstrukcí"

Věděli jste, že...? Aby bylo možné provést výpočet zdiva, byl v programu RFEM implementován nelineární materiálový model. Používá přístupu podle Lourenca, kombinace pevnostní hypotézy podle Rankina a podle Hilla. Tento model vám umožňuje popsat a znázornit únosnost zdiva a různých mechanismů jeho porušení.

Mezní parametry byly zvoleny tak, aby použité návrhové křivky odpovídaly normativní návrhové křivce.

Přečíst si více

Díky programu RFEM můžete modelovat zvláštnosti spojení železobetonové desky se zděnou stěnou pomocí speciálního liniového kloubu. Ten omezuje síly přenášené spojem v závislosti na zadané geometrii. Asi už tušíte: znamená to, že nedojde k přetížení materiálu.

Program pro vás vytvoří interakční diagramy, které se automaticky použijí. Ty modelují různé geometrické situace a můžete je použít ke stanovení správné tuhosti.

Přečíst si více

Často kladené dotazy (FAQ)

Jsou modely a prezentace ze semináře z roku 2018 volně k dispozici a můžete mi je prosím poslat?

Jak funguje materiálový model „Ortotropní plastický“ v programu RFEM?

V RF-/DYNAM Pro existují dva různé přídavné moduly pro analýzu spektra odezvy. Co může být příčinou rozdílných výsledků obou přídavných modulů?

Při přechodu z ručního zadání oblastí výztuže na automatické uspořádání výztuže podle dialogu 1.4 se změní výsledek výpočtu deformací, ačkoliv se základní výztuž nezměnila. Co je důvodem této změny?

Chtěl bych definovat liniovou podporu s neúčinností při tahu a místo toho přenášet tahovou sílu prostřednictvím uzlové podpory na této linii. Proč je na liniové podpoře stále tahová síla?

Jak je možné provést faktorizovanou kombinatoriku vlastní tíhy v souvislosti s form-findingem?

Projekty zákazníků

CP 001237 | Lávka pro pěší Sky Bridge (fotograf: © Denis Pagáč)

Nejdelší visutá lávka světa na Dolní Moravě, Česká republika

OH 2024: Spřažená dřevobetonová budova PB9 v Saint-Denis, Francie

Most pro pěší a cyklisty „Herzogsteg“ v Eichstättu | © Bruno Klomfar

Most pro pěší a cyklisty „Herzogsteg“ v Eichstättu, Německo

Čelní pohled na administrativní budovu se spřaženými ocelovými sloupy ve tvaru V | © Die Tragwerker GmbH

Administrativní budova s integrovaným návštěvnickým centrem a garáží v Geiselbulachu, Německo

Radarová věž vlevo (© SAQQARA Ingeniería)

Statické posouzení radarové věže na letišti v Málaze, Španělsko

Administrativní budova Komunálních služeb ve městě Kirchheim unter Teck (renderování) | © MEDIA 4D GmbH

Administrativní budova Komunálních služeb ve městě Kirchheim unter Teck, Německo

Kontejnerová konstrukce s velkoplošnou obrazovkou | © Modular Structural Consultants LLC

Kontejnerová konstrukce u vstupu do motoristické enklávy Motor Enclave v Tampě na Floridě, USA

Výsuvná ocelová kupole s membránou o průměru 20 m při otevření o 90° (© Odo S&E)

Výsuvná ocelová kupole s membránou, Francie

Nová koncertní síň v La Roche-sur-Yon, Francie

Doporučené produkty pro Vás

RFEM 6 | Hlavní program RFEM 6

RFEM 6

Hlavní program

3D MKP program nové generace slouží ke statickým výpočtům prutů, ploch a těles.

Cena první licence 4 170,00 USD

RFEM 6 | Doplňkové analýzy

Nelineární chování materiálu pro RFEM 6

Addon

Addon Nelineární chování materiálu umožňuje zohlednit v programu RFEM materiálové nelinearity (např. izotropní plasticitu, ortotropní plasticitu, izotropní poškození).

Cena první licence 1 480,00 USD

RFEM 6 | Doplňkové analýzy

Analýza fází výstavby (CSA) pro RFEM 6

Addon

Pomocí addonu Analýza fází výstavby (CSA) lze v programu RFEM zohlednit proces výstavby konstrukcí (prutových, plošných a objemových).

Cena první licence 1 570,00 USD

RFEM 6 | Doplňkové analýzy

Časově závislá analýza (TDA) pro RFEM 6

Addon

Addon Časově závislá analýza (TDA) umožňuje zohlednit v programu RFEM časově závislé chování materiálu u prutů. Dlouhodobé účinky, jako je dotvarování, smršťování a stárnutí, mohou v konstrukci ovlivnit průběh vnitřních sil.

Cena první licence 1 030,00 USD

RFEM 6 | Posouzení

Analýza napětí-přetvoření pro RFEM 6

Addon

Addon Analýza napětí-přetvoření provádí obecnou analýzu napětí výpočtem stávajících napětí a jejich porovnáním s mezními napětími.

Cena první licence 1 210,00 USD

RFEM 6 | Posouzení

Posouzení železobetonových konstrukcí pro RFEM 6

Addon

Addon Posouzení železobetonových konstrukcí umožňuje různá posouzení podle mezinárodních norem. Lze v něm navrhovat pruty, plochy a sloupy a také provést posouzení na protlačení a deformace.

Cena první licence 2 550,00 USD

RFEM 6 | Posouzení

Posouzení ocelových konstrukcí pro RFEM 6

Addon

Addon Posouzení ocelových konstrukcí provádí posouzení únosnosti a použitelnosti ocelových prutů podle různých norem.

Cena první licence 2 550,00 USD

RFEM 6 | Posouzení

Posouzení zdiva pro RFEM 6

Addon

Addon Posouzení zdiva umožňuje posoudit zdivo metodou konečných prvků. Byl vyvinut v rámci výzkumného projektu DDMaS - Digitalizace návrhu zděných konstrukcí. Materiálový model simuluje nelineární chování kombinace cihel a malty s využitím makromodelování.

Cena první licence 1 660,00 USD