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27.06.2020

VE 0017 | Flexion plastique - Charge continue

Description du projet

Une plaque mince est entièrement fixée à l'extrémité gauche et soumise à une pression uniforme. Les petites déformations sont considérées et le poids propre est négligé dans cet exemple. Le problème est décrit par l'ensemble de paramètres suivant. Déterminer la flèche maximale u_z,max.

Matériau	Élastique-Plastique	Module d'élasticité	E	210000,000	MPa
		coefficient de Poisson	ν	0,000
		Module de cisaillement	G	105000,000	MPa
		Limite d'élasticité	f_y	40,000	MPa
Géométrie	Plaque	Périmètre	L	1,000	m
		Largeur	w	0,050	m
		Épaisseur	t	0,005	m
Charge		Pression uniforme	P	2,750	kPa

Flexion plastique - Charge continue

Solution analytique

Les grandeurs de la charge sont discutées dans un premier temps. Le moment M_e lors de la première plastification et le moment ultime M_p lorsque la structure devient articulation plastique sont calculés comme suit :

M_{e} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} \frac{2 f_{y}}{t} z^{2} w dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{6}

Moment élastique

M_{p} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} f_{y} zw dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{4}

Moment plastique ultime

La plaque est amenée à l'état élasto-plastique par la pression p. La contrainte de flexion est définie selon la formule suivante :

σ_{x} (x, z) = - κ (x) Ez

Contrainte de flexion

où est la courbure. La longueur de la zone élasto-plastique est décrite par le paramètre x_p. La quantité de contrainte de flexion sur la surface est égale à la résistance plastique f_y au point x_p, voir le schéma suivant.

Distribution des contraintes de flexion

Le moment élasto-plastique M_ep (effort interne) doit être égal au moment fléchissant M (effort externe). La courbure_p dans la zone élasto-plastique résulte de cette égalité.

κ_{p} = \frac{1}{E} \sqrt{\frac{\frac{f_{y}^{3} w}{3}}{- \frac{q (L - x)^{2}}{2} + \frac{f_{y} t^{2} w}{4}}}

Courbure dans la zone élastique-plastique

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) dx + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) dx = 83.117 + 83.117 = 166.234 mm

Flèche maximale du porte-à-faux

Paramètres RFEM

Modélisé dans RFEM 5.26 et RFEM 6.01
La taille de l'élément est l_FE =0,020 m
Dans le cas de modèles solides, le raffinement du maillage sur toute l'épaisseur est utilisé (6 éléments par épaisseur)
L'analyse géométriquement linéaire est considérée
Le nombre d'incréments est de 5
La rigidité en cisaillement des barres est négligée

résultats

Modèle	Solution analytique	RFEM5		RFEM6
Modèle	u_z,max [mm]	u_z,max [mm]	Rapport [-]	u_z,max [mm]	Rapport [-]
Isotrope plastique 1D	166,234	166,214	1,000	166,018	0,999
Plaque plastique isotrope 2D/3D		162,987	0,980	162,960	0,980
Isotrope non linéaire élastique 2D/3D, plaque, von Mises		165,730	0,997	165,700	0,997
Isotrope non linéaire élastique 2D/3D, Plaque, Tresca		166,998	1,005	166,969	1,004
Plastique isotrope 2D/3D, solide		160,601	0,966	162,429	0,977
Isotrope non linéaire élastique 2D/3D, solide, von Mises		163,003	0,981	165,593	0,996
Isotrope non linéaire élastique 2D/3D, solide, Tresca		168,725	1,015	169,691	1,021
Isotrope élastique non-linéaire 1D		166,214	1,000	166,018	0,999

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Exemple de vérification 0017 | 1

Références

Licence, J. (1990). Théorie de la plasticité. New York : Macmillan, 1993

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