207x

2020-06-27

VE 0017 | Пластический изгиб - непрерывная нагрузка

Описание работы

На левом конце полностью закреплена тонкая пластина, на которую действует равномерное давление. В данном примере учитываются небольшие деформации, а собственный вес не учитывается. Проблема описывается следующим набором параметров. Определить максимальный прогиб u_{z, max}.

Материал	Упругий-пластик	модуль упругости	E	210000,000	МПа
		поперечная деформация	ν	0,000	-
		модуль сдвига	[LinkToImage06]	105000,000	МПа
		предел текучести	f_y	40,000	МПа
Геометрия	Пластина	Длительность	[LinkToImage03]	1,000	m
		Ширина	W	0,050	m
		толщина	t	0,005	m
Нагрузка		Равномерное давление	p	2,750	кПа

Пластический изгиб - непрерывная нагрузка

Аналитическое решение

Сначала оговаривается количество нагрузки. Момент M_e, когда возникает первая текучесть, и предельный момент M_p, когда конструкция становится пластической шарнирной, рассчитываются следующим образом:

M_{e} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} \frac{2 f_{y}}{t} z^{2} w dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{6}

Упругий момент

M_{p} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} f_{y} zw dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{4}

предельный пластический момент

Пластина приводится в упруго-пластическое состояние давлением p. Напряжение изгиба определяется по следующей формуле:

σ_{x} (x, z) = - κ (x) Ez

Изгибающее напряжение

где κ - кривизна. Длина упруго-пластической зоны описывается параметром x_p. Величина изгибающего напряжения на поверхности равна пластической прочности f_y в точке x_p, см. Следующую схему.

Распределение изгибающих напряжений

Упруго-пластический момент M_ep (внутренняя сила) должен быть равен изгибающему моменту M (внешняя сила). Кривизна κ_p в упруго-пластической зоне является результатом этого равенства.

κ_{p} = \frac{1}{E} \sqrt{\frac{\frac{f_{y}^{3} w}{3}}{- \frac{q (L - x)^{2}}{2} + \frac{f_{y} t^{2} w}{4}}}

Кривизна в упруго-пластической зоне

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) dx + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) dx = 83.117 + 83.117 = 166.234 mm

Максимальный прогиб консоли

Настройки RFEM

Создано в RFEM 5.26 и RFEM 6.01
Размер элемента l_FE = 0,020 м.
В случае с твердотельными моделями применяется измельчение сетки по толщине (6 элементов на толщину)
Рассмотрен геометрически линейный расчет.
Количество приращений - 5
Жесткость стержней на сдвиг не учитывается.

Результаты

Модель	Аналитическое решение	RFEM 5		Rfem 6
Модель	u_{z, max} [мм]	u_{z, max} [мм]	Соотношение [-]	u_{z, max} [мм]	Соотношение [-]
Изотропная пластичная 1D	166,234	166,214	1,000	166,018	0,999
Изотропная пластмасса 2D/3D, плита		162,987	0,980	162,960	0,980
Isotropic Nonlinear Elastic 2D/3D, Plate, von Mises		165,730	0,997	165,700	0,997
Изотропный нелинейный упругий 2D/3D, плита, Tresca		166,998	1,005	166,969	1,004
Изотропный пластик 2D/3D, твердый		160,601	0,966	162,429	0,977
Изотропный нелинейный упругий 2D/3D, твердое тело, фон Мизеса		163,003	0,981	165,593	0,996
Изотропный нелинейный упругий 2D/3D, Solid, Tresca		168,725	1,015	169,691	1,021
Изотропная нелинейная упругая 1D		166,214	1,000	166,018	0,999

424x

Контрольный пример 0017 | 1

Ссылки

Люблинер, J .: (1990). Теория пластичности. Нью-Йорк: MacMillen, 2015

;