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28.01.2025

VE0020 | Flexion plastique avec différentes résistances plastiques

Description du projet

Un porte-à-faux en ce matériau avec différentes résistances plastiques en traction et en compression est entièrement fixé à l'extrémité gauche et chargé par un moment fléchissant selon le schéma suivant. Le problème est décrit par les ensembles de paramètres suivants. Les petites déformations sont considérées et le poids propre est négligé dans cet exemple. Déterminer la flèche maximale u_z,max.

Matériau	Élastique-plastique	Module d’élasticité	E	210000,000	MEP
		coefficient de Poisson	P	0,000
		Module de cisaillement	G	105000,000	MEP
		Résistance plastique en traction	_t	200 000	MEP
		Résistance plastique en compression	f_c	280 000	MEP
Géométrie	Porte-à-faux	Périmètre	L	2 000	m
		Largeur	w	0,005	m
		Épaisseur	t	0,005	m
Import		Moment fléchissant	M	6 000	Nm

Image de simulation montrant la flexion plastique sous différentes résistances à la limite d'élasticité des matériaux

Flexion plastique avec différentes résistances plastiques

Solution analytique

Le porte-à-faux est chargé par le moment fléchissant M. En raison de la résistance plastique différente en traction et en compression, l'axe neutre n'est pas nécessairement identique à l'axe de symétrie selon la figure suivante. Le paramètre z₀ est introduit et il est défini de sorte que σ_x (x,z₀ ) = 0, noter qu'il change lors du chargement ainsi que les paramètres z_t et z_c. La contrainte de flexion est définie par la formule suivante :

σ_{x} = - κE (z - z_{0} (x))

Contrainte de flexion

Visualisation de la distribution des contraintes de flexion avec des couleurs dégradées sur un élément structurel

Distribution contrainte de flexion

Pour obtenir la flèche maximale u_z,max, la courbure κ doit être résolue. Le moment élastique-plastique M_ep (effort interne) doit être égal au moment fléchissant M (effort externe).

M_{ep} = \int_{- t / 2}^{- z_{t}} f_{t} zw d z + \int_{- z_{t}}^{z_{c}} - κE (z - z_{0}) zw d z + \int_{z_{c}}^{t / 2} - f_{c} zw d z = M

Équilibre du moment élastique-plastique et du moment fléchissant

d'autres équations doivent être écrites à cause des paramètres inconnus z_t, z_c et z₀. Les contraintes dans l'interface entre la zone élastique et la zone plastique sont définies comme suit :

f_{t} = - κE (- z_{t} - z_{0})

Formule pour la résistance en traction

- f_{c} = - κE (z_{c} - z_{0})

Formule pour la résistance en compression

La dernière condition est définie par l'équilibre des efforts normaux.

N = \int_{- t / 2}^{- z_{t}} f_{t} w d z + \int_{- z_{t}}^{z_{c}} - κE (z - z_{0}) w d z + \int_{z_{c}}^{t / 2} - f_{c} w d z = 0

Équilibre des efforts normaux

La courbure κ et la flèche maximale u_z,max peuvent être calculées en résolvant ces équations numériquement. Les résultats se trouvent dans le tableau suivant.

u_{z, \max} = \int_{0}^{L} κ (L - x) d x

Déviation totale du porte-à-faux

Paramètres RFEM

Modélisé dans RFEM 5.16 et RRFEM 6.06
La taille de l'élément est l_EF = 0,020 m
L'analyse géométriquement linéaire est considérée
Le nombre d'incréments est de 5
La rigidité de cisaillement des barres est négligée

Résultats

Modèle de matériau	Solution analytique	RFEM6		RFEM5
Modèle de matériau	_uz,max [m]	_uz,max [m]	Rapport [-]	_uz,max [m]	Rapport [-]
Orthotrope plastique 2D	1,272	1,277	1,004	1,277	1,004
Isotrope élastique non-linéaire 1D	1,272	1 000	1,272	1 000
Non-linéaire élastique 2D/3D,Mohr - Coulomb, Plaque	1,283	1,009	1,283	1,009
Non-linéaire élastique 2D/3D, Drucker - Prager, plaque	1,283	1,009	1,283	1,009
Isotrope plastique 2D/3D,Mohr - Coulomb, Plaque	1,284	1,009	1,284	1,009
Isotrope plastique 2D/3D, Drucker - Prager, plaque	1,272	1 000	1,272	1 000
Non-linéaire élastique 2D/3D,Mohr - Coulomb, Solide	1,308	1,028	1,307	1,028
Non-linéaire élastique 2D/3D, Drucker - Prager, Solide	1,313	1,032	1,312	1,031
Isotrope plastique 2D/3D,Mohr - Coulomb, Solide	1,302	1,024	1,293	1,017
Isotrope plastique 2D/3D, Drucker - Prague, Solide	1,283	1,009	1,283	1,009

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Exemple de vérification 0020 | 1

Références

Licence, J. (1990). Théorie de la plasticité. New York : Macmillan, 1993