14565x

001405

Dipl.-Ing. (FH) Stefan Frenzel

20.2.2017

Výpočet smykové plochy v programu SHAPE-THIN

Pro posouzení průřezů je zpravidla zapotřebí mnoho různých průřezových hodnot. V programu RFEM i RSTAB máme veškeré požadované hodnoty u normovaných průřezů k dispozici v databázi průřezů a můžeme je přímo uplatnit při výpočtu. Program SHAPE-THIN nám ovšem umožňuje použít i nestandardní průřezy. Po zadání jednoduché geometrie lze veškeré potřebné průřezové hodnoty spočítat. V našem příspěvku si na konkrétním příkladu předvedeme výpočet smykové plochy.

Teoretické pozadí výpočtu smykové plochy

Smyková plocha se vypočítá jako redukce plochy průřezu. Daná hodnota umožňuje zohlednit deformaci smykem při výpočtu vnitřních sil. Na rozdíl od účinné smykové plochy podle EN 1993-1-1 se zde spočítaná smyková plocha použije pouze pro výpočet vnitřních sil. Při výpočtu napětí se tak uvažuje účinná smyková plocha podle 1993-1-1. Redukce průřezové plochy plyne z rozdílného průběhu materiálového modelu a z rovnováhy v průřezu, což vede k rozporu. Příčinou rozporu je hypotéza zachování rovinnosti průřezu, protože ve skutečnosti by při působení posouvající síly došlo k deplanaci průřezu. Z tohoto důvodu se v nauce o pružnosti a pevnosti zavádí smyková plocha. Odvození smykové plochy popisujeme níže.

Rovnice pro energii změny tvaru II* u prutového prvku dx

Odvození:

\begin{array}{l} \int_{A} \frac{τ^{2} (z)}{2 \cdot G} dA = \int_{A_{s}} \frac{τ_{m}^{2}}{2 \cdot G} {dA}_{s} = \frac{Q^{2}}{2 \cdot G \cdot A_{s}} \\ \frac{1}{2 \cdot G} \int_{A} {[\frac{Q \cdot S_{y} (z)}{I_{y} \cdot b (z)}]}^{2} dA = \frac{1}{2 \cdot G} \cdot \frac{Q^{2}}{A_{s}} \\ dA = b (z) dz \\ A_{s} = A_{sz} = \frac{I_{y}^{2}}{\int_{z_{o}}^{z_{u}} \frac{S_{y}^{2} (z)}{b (z)} d z} \\ Q = Q_{z} \to A_{sz} \\ Q = Q_{y} \to A_{sy} \end{array}

Vzorec 1

Při výpočtu obdélníku dostaneme takzvaný smykový korekční faktor κ, který udává, do jaké míry je průřezovou plochu třeba redukovat.

Příklad obdélníku:

\begin{array}{l} I_{y} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} \\ b (z) = b \\ S_{y} (z) = b \int_{- \frac{h}{s}}^{z} \bar{z} d \bar{z} = - \frac{b}{2} \cdot (\frac{h^{2}}{4} - z^{2}) \\ - \frac{h}{2} \leq z \leq \frac{h}{2} \\ \int_{z_{o}}^{z_{u}} S_{y}^{2} (z) dz = \int_{- \frac{h}{s}}^{\frac{h}{2}} \frac{b^{2}}{4} \cdot (\frac{h^{4}}{16} - \frac{1}{2} \cdot h^{2} \cdot z^{2} z^{4}) dz = \frac{b^{2} \cdot h^{5}}{120} \\ A_{s} = \frac{120 \cdot b^{2} \cdot h^{6} \cdot b}{144 \cdot b^{2} \cdot h^{5}} = \frac{5}{6} \cdot b \cdot h = \frac{5}{6} \cdot A \\ κ = \frac{5}{6} \end{array}

Vzorec 2

U jednoduchých typů průřezu tak lze vyvodit smykovou plochu přímo. Níže uvádíme některé smykové korekční součinitele:
Obdélník: 0,833
I-nosník: ~ A_stojina

Při porovnání hodnot se ukazuje, že v případě zohlednění deformace smykem je nezbytné brát v úvahu tvar průřezu. Smykové korekční součinitele kolísají v širokém rozmezí v závislosti na tom, zda se jedná o plné průřezy, tenkostěnné otevřené anebo tenkostěnné uzavřené průřezy.

Příklad T-profilu

Smykové plochy lze tedy u jednoduchých průřezů velmi snadno spočítat. Pokud máme například T-průřez, program SHAPE-THIN stanoví smykovou plochu automaticky.

Vstupní údaje v programu SHAPE-THIN

Analytické řešení výpočtu smykové plochy:

\begin{array}{l} I_{y} = 13.304 {cm}^{2} \\ z_{m} = 8, 786 cm \\ b (z) = 1 cm \\ h = 40 cm \\ d = 45 cm \\ S_{y 1} = b (z) \cdot (h - z_{m} - z) \cdot (\frac{h - z_{m} - z}{2} z) \\ S_{y 2} = b (z) \cdot d \cdot - (z_{m} - b (z)) \\ A_{sz} = \frac{I_{y}^{2}}{\int_{- 30, 124}^{8, 786} \frac{S_{y 1} (z)^{2}}{b (z)} dz \int_{9, 286}^{8, 786} \frac{S_{y 2} (z)^{2}}{b (z)} dz} = 30, 17 {cm}^{2} \end{array}

Vzorec 3

Autor

Ing. Frenzel je zodpovědný za vývoj produktů pro dynamiku. Kromě toho poskytuje technickou podporu pro zákazníky Dlubal Software v Německu.

Odkazy

Programy pro průřezové charakteristiky

;